1. 若向量，，且，則（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】A
【解析】由.
故選：A
2. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得，所以，.
故選：D
3. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若的周長為10，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)闄E圓：，所以.
又根據(jù)橢圓的定義可知：得周長為：，由.
所以橢圓離心率為：.
故選：C
4. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】詳由題意得.
設(shè)，則，
得，，即，，所以.
故選：B.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
同時(shí)除以，得，
即，
故選：C.
6. 將7張不同的郵票分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人至少2張，且郵票都要分完，則甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有（ ）
A. 210種B. 420種C. 240種D. 480種
【答案】A
【解析】依題意可得，甲、乙分得的郵票數(shù)相等且丙至少2張，意味著甲、乙兩人都分得2張郵票，
所以甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有種.
故選：A．
7. 已知過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線，與的一個(gè)交點(diǎn)位于第四象限，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，，
由，得，則，
因此，所以.故選：B
8. 已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋栽?,+∞上均單調(diào)遞增，
所以，即，
對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，
易知時(shí)，f'x>0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，
所以，
因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量及其增長速度如圖所示，則（ ）
A. 2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升
B. 2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量的極差為685.5億件
C. 2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量的增長速度的分位數(shù)為
D. 2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量的增長速度的平均數(shù)為
【答案】ABD
【解析】對(duì)A：由圖可知：2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量逐年上升，故A正確；
對(duì)B：2019~2023年快遞業(yè)務(wù)量的極差為：（億件），故B正確；
對(duì)C：因?yàn)?，所?019~2023年快遞業(yè)務(wù)量的增長速度的分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由，故D正確.
故選：ABD
10. 已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，且的極小值為，則（ ）
A. B.
C. 有3個(gè)零點(diǎn)D. 直線與的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)
【答案】AC
【解析】由函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，得，則，得，A正確.
又且的極小值為，則，得，B錯(cuò)誤.
或x>1，
在，1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，
畫出草圖，所以有3個(gè)零點(diǎn)，直線與的圖像僅有1個(gè)公共點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 在體積為的正四棱錐中，異面直線PC與AB所成角的余弦值為，則（ ）
A.
B. 二面角的余弦值為
C. 正四棱錐的外接球的表面積為
D. 直線BC與平面PCD所成角的正切值為2
【答案】ABD
【解析】取CD的中點(diǎn)，設(shè)為正方形ABCD的中心，連接OE，PE，則.
因?yàn)?，所以異面直線PC與AB所成角即，則.
設(shè)，則，，，則，
所以正四棱錐體積為，解得，所以，A正確.易證，則為二面角的平面角，
所以，B正確.
設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，且，
由，得，解得，
所以正四棱錐的外接球的表面積為，C錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以直線BC與平面PCD所成的角即直線OE與平面PCD所成的角.
過點(diǎn)作，垂足為.易證平面PCD，
則為直線BC與平面PCD所成的角，則，D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，則____.
【答案】
【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，.
又，
所以.
13. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為____.
【答案】3
【解析】因?yàn)?
又因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
即，所以，，且.
所以的最小值為：3.
14. 將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn).若，則___________.
【答案】
【解析】由題可知.
由可得：
，
則，
解得.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).
（1）證明：平面.
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
（1）證明：如圖，連接,由于，分別是，的中點(diǎn).
則,則四邊形為平行四邊形，
,平面,平面,
則平面.
（2）解：如圖，可建空間直角坐標(biāo)系，則
,
,
設(shè)平面法向量為，則
，即，解得，故.
根據(jù)點(diǎn)面距離公式，則點(diǎn)到平面的距離.
16. 2024屆中國國際大學(xué)生創(chuàng)新大賽總決賽現(xiàn)場賽在上海交通大學(xué)舉行. 在本次大賽中，我省高校共斬獲14金10銀50銅，獎(jiǎng)牌總數(shù)74枚，金牌數(shù)和獲獎(jiǎng)總數(shù)均創(chuàng)我省歷史新高，位居全國前列. 已知 A校有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，校有丙、丁兩個(gè)項(xiàng)目參加這一屆大學(xué)生創(chuàng)新大賽，且甲、乙、丙、丁項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率分別.
（1）在A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)情況下，求甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率；
（2）設(shè)這兩個(gè)學(xué)校中有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的學(xué)校的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解：（1）設(shè)事件為A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)，事件為甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)，
在A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的情況下，甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率為：
.
（2）可知：的值可以為：0,1,2
且，
，
.
所以的分布列為：
所以.
17. 已知雙曲線與圓相切，且的漸近線方程為.
（1）求的方程；
（2）若的右頂點(diǎn)為，過的右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求.
解：（1）根據(jù)題意：，.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）如圖：
雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，設(shè)直線：，代入，
得：，整理得：，（）
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2.
則，.
由，
所以.
此時(shí)：，.
所以，
所以.
18. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，，求取值范圍；
（3）求不等式的解集.
解：（1），
所以，因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，則，
則為增函數(shù)，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以在上的最大值為，
所以，即的取值范圍為.
（3）因?yàn)?br>，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以等價(jià)于，
即，
所以，即，
即，
則，得或，
則或，其中，
故不等式的解集為.
19. 已知，定義：數(shù)列共有項(xiàng)，對(duì)任意，存在，使得，或存在，使得，則稱數(shù)列為“封閉數(shù)列”．
（1）若，判斷數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”；
（2）已知遞增數(shù)列為“封閉數(shù)列”，求；
（3）已知數(shù)列單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若，證明：是等比數(shù)列．
解：（1）由題意知，數(shù)列為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
因?yàn)楹途皇侵械捻?xiàng)，
所以數(shù)列不是“封閉數(shù)列”．
（2）由題意數(shù)列遞增可知，則不是中的項(xiàng)，
所以是中的項(xiàng)，即．
因?yàn)?，所以都是中的?xiàng)，
所以，得，
由，得，所以．
（3）因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，則不是中的項(xiàng)，
所以是中的項(xiàng)，即．
因?yàn)椴皇侵械捻?xiàng)，所以是中的項(xiàng)，
所以．
因?yàn)楣灿许?xiàng)，
所以①，
類似地，，則不是中的項(xiàng)，
所以是中的項(xiàng)，
，
所以②，
由①和②得，
所以是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．0
1
2

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