1．（4分）在以下文、博、中、學(xué)四個(gè)字中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)?a3＝a4B．a(chǎn)8÷a2＝a6
C．（﹣a2）3＝a6D．（﹣3a）2＝9a2
3．（4分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3
C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5D．x2+2x+1＝（x+1）2
4．（4分）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣a+b）B．（a﹣b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）D．（﹣b﹣a）（a﹣b）
5．（4分）如圖，已知AB=AD，添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CDB．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DACD．∠B＝∠D＝90°
6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，則m的值為（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4或4
7．（4分）已知△ABC的三邊a，b，c滿足b（a﹣b）+c（b﹣a）=0，則△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
8．（4分）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，則t的取值范圍是（ ）
A．t≥3B．t≤﹣C．﹣3≤t≤﹣D．﹣3≤t＜
10．（4分）如圖，△ABC中，AC＝DC＝4，∠BAC的角平分線AD⊥BD于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值（ ）
A．4B．4.5C．6D．8
二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
12．（4分）若ax＝4，ay＝3，則ax+y＝ ．
13．（4分）計(jì)算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝ ．
14．（4分）等腰三角形的兩邊a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 ．
15．（4分）如圖，△ABC中，AB=AC=4，P是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC=12，則PE+PD= ．
16．（4分）在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=a,AC=b,點(diǎn)P、M、N分別是邊BC、AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的值為 .（用a、b的式子表示）
三.解答題（本題共9小題，共86分.解答應(yīng)有文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算：
（1）（2y2）3﹣（y3）2；
（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．
18．（8分）因式分解：
（1）3x2y﹣27y；
（2）a2+b2﹣9+2ab．
19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
20．（8分）如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE＝BF．求證：AB∥CD．
21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．
（1）尺規(guī)作圖：在AB上求作一點(diǎn)P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證：△PBC是等腰三角形．
22．（10分）已知a，b為實(shí)數(shù)．
（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；
（2）若，分別求和的值；
（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分別求a，b的值．
23．（10分）如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，CE、BD交于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：CE＝BD；
（2）求證：∠AFC＝60°；
（3）判斷線段AF、BF、CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
24．（12分）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問(wèn)題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運(yùn)算時(shí)，利用幾何直觀的方法和面積法獲取結(jié)論，在解決整式運(yùn)算問(wèn)題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用．
【問(wèn)題探究】
探究1：如圖1所示，大正方形的邊長(zhǎng)是（a+b），它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和．根據(jù)等積法，我們可以得出結(jié)論：（a+b）2=a2+2ab+b2．
探究2：請(qǐng)你根據(jù)探究1所使用的等積法，從圖2中探究出（a+b+c）2 的結(jié)果．
【形成結(jié)論】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ ；
【應(yīng)用結(jié)論】
（2）利用（1）問(wèn)所得到的結(jié)論求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，求的值．
25．（12分）如圖，△ADB與△BCA均為等腰三角形，AD=AB=CB，且∠ABC=90°，E為DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAB=2∠EAC．
（1）若∠EAC=20°，求∠CBE的度數(shù)；
（2）求證：AE⊥EC；
（3）若BE=a,AE=b,CE=c,求△ABC的面積（用含a,b,c的式子表示）．
2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)文博中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）
1．（4分）在以下文、博、中、學(xué)四個(gè)字中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的字都不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；
C選項(xiàng)中的字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)?a3＝a4B．a(chǎn)8÷a2＝a6
C．（﹣a2）3＝a6D．（﹣3a）2＝9a2
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：A．a(chǎn)?a3＝a4，原題正確，故此選項(xiàng)不合題意；
B．a(chǎn)3÷a2＝a6，原題正確，故此選項(xiàng)不合題意；
C．（﹣a4）3＝﹣a6，原題錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；
D．（﹣8a）2＝9a8，原題正確，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（4分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3
C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5D．x2+2x+1＝（x+1）2
【考點(diǎn)】因式分解的意義．
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A、不是因式分解；
B、不是因式分解；
C、不是因式分解；
D、是因式分解；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
4．（4分）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣a+b）B．（a﹣b）（b+a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）D．（﹣b﹣a）（a﹣b）
【考點(diǎn)】平方差公式；完全平方公式．
【分析】利用平方差公式，及完全平方公式判斷即可．
【解答】解：A、原式＝﹣（b﹣a）（b﹣a）＝﹣（b﹣a）2＝﹣b2+8ab﹣a2，符合題意；
B、原式＝a2﹣b2，不符合題意；
C、原式＝b2﹣a2，不符合題意；
D、原式＝b2﹣a2，不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，已知AB＝AD，添加下列一個(gè)條件后（ ）
A．CB＝CDB．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DACD．∠B＝∠D＝90°
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后則不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC，
故A選項(xiàng)不符合題意；
B、添加∠BCA＝∠DCA時(shí)，
故B選項(xiàng)符合題意；
C、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC，
故C選項(xiàng)不符合題意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC，
故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，則m的值為（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4或4
【考點(diǎn)】完全平方式．
【分析】根據(jù)完全平方式的特征進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：∵x2+mx+4是一個(gè)完全平方式，
∴x4+mx+4＝（x±2）5，
x2+mx+4＝x6±4x+4，
∴m＝±7．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）已知△ABC的三邊a，b，c滿足b（a﹣b）+c（b﹣a），則△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；等腰三角形的判定．
【分析】將原式化為（a﹣b）（b﹣c）＝0，即可解答．
【解答】解：∵b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，
∴ab﹣b2+cb﹣ac＝4，
∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；角平分線的定義．
【分析】根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：A：由作圖痕跡可知，射線OP為∠AOB的平分線；
B：由作圖痕跡可知，OC＝OD，
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴△ADO≌△BCO（SAS），
同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
射線OP為∠AOB的平分線；
C：由作圖痕跡可知，∠ACP＝∠AOB，
可得∠CPO＝∠POB，
又由圖可知CP＝OP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴∠POB＝∠COP，
射線OP為∠AOB的平分線；
D：由作圖痕跡可知，CO＝OD，
∴射線OP是CD的垂直平分線，
也是∠AOB的平分線．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的定義，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，則t的取值范圍是（ ）
A．t≥3B．t≤﹣C．﹣3≤t≤﹣D．﹣3≤t＜
【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【分析】利用完全平方公式求出ab的取值范圍，可得結(jié)論．
【解答】解：∵a2+ab+b2＝3，
∴（a+b）2＝1+ab≥3，（a﹣b）2＝1﹣6ab≥0，
∴﹣1≤ab≤，
∵t＝ab﹣a2﹣b3＝ab﹣（1﹣ab）＝2ab﹣6，
∴﹣3≤2ab﹣2≤﹣，
即﹣8≤t≤﹣．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查配方法的應(yīng)用，完全平方公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
10．（4分）如圖，△ABC中，AC＝DC＝4，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值（ ）
A．4B．4.5C．6D．8
【考點(diǎn)】角平分線的定義；三角形的面積；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H．設(shè)AD交BE于點(diǎn)O，根據(jù)垂直定義得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出當(dāng)DC⊥AC時(shí)，△ACD的面積最大，最大面積為×4×4＝8．
【解答】解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H，設(shè)AD交BE于點(diǎn)O，
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝4，
∴當(dāng)DC⊥AC時(shí)，△ACD的面積最大×4×4＝8．
∴圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值為8，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，3） ．
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】根據(jù)點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣y），據(jù)此即可求解．
【解答】解：由題意得：
∵（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，
∴（1，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（5，
故答案為：（1，3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握點(diǎn)對(duì)稱規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）若ax＝4，ay＝3，則ax+y＝ 12 ．
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵ax＝4，ay＝3，
∴ax+y＝ax?ay
＝7×3
＝12，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）計(jì)算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝ 0 ．
【考點(diǎn)】完全平方公式．
【分析】利用完全平方公式對(duì)式子進(jìn)行整理，從而可求解．
【解答】解：20242﹣4048×2025+20252﹣6
＝20242﹣2×22024×2025+20252﹣1
＝（2024﹣2025）2﹣7
＝（﹣1）2﹣7
＝1﹣1
＝5．
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，解答的關(guān)鍵是對(duì)完全平方公式的掌握．
14．（4分）等腰三角形的兩邊a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 17 ．
【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】利用配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，可得結(jié)論．
【解答】解：∵a2+b2﹣7a﹣14b+58＝0，
∴（a2﹣4a+9）+（b2﹣14b+49）＝4，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a＝7，b＝7，
當(dāng)a＝3是腰時(shí)，5，3，7不能構(gòu)成三角形．
當(dāng)b＝7是腰時(shí)，7，7，3能構(gòu)成三角形．
故答案為：17．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握配方法，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
15．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，過(guò)P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E△ABC＝12，則PE+PD＝ 6 ．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】連接AP，先分別求出S△ABP＝2PE，S△APC＝2PD，再根據(jù)S△ABC＝S△ABP+S△APC＝12可求出PE+PD的值．
【解答】解：連接AP，如圖所示：
∵AB＝AC＝4，PD⊥AC，
∴S△ABP＝AB?PE＝，S△APC＝AC?PD＝，
又∵S△ABC＝12，
∴S△ABP+S△APC＝12，
∴2PE+2PD＝12，
∴PE+PD＝4．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝75°，AC＝b，點(diǎn)P、M、N分別是邊BC、AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，BP的值為 a﹣ .（用a、b的式子表示）
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題．
【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D、E，連接DE交AB于M，交AC于N．由對(duì)稱性可得：AP＝AD＝AE，∠PAB＝∠DAB，∠PAC＝∠EAC，進(jìn)而得出PM+MN+PN＝DM+MN+NE≥DE，于是當(dāng)點(diǎn)E、M、N、F共線時(shí)，PM+MN+PN最小，最小值＝DE，而DE＝ AP，所以當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最小，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，作BF⊥AC于F，
∵∠A＝45°，∠B＝75°，
∴∠ABF＝∠A＝45°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF＝AF，BC＝2FC，
設(shè)FC＝x，則AF＝b﹣x，
∴x＝，
∴BF＝b﹣，
作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D、E，交AC于N．
∵△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MN+PN＝DM+MN+NE，
∴DM+MN+NE＝DE時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，
根據(jù)對(duì)稱性，AP＝AD＝AE，∠PAC＝∠EAC，
∴∠DAE＝5（∠PAB+∠PAC）＝90°，
∴DE＝，
∴AP最短時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短＝，
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最短，
∵∠A＝45°，∠B＝75°，
∴∠C＝60°，
在Rt△APC中，∠APC＝90°，∠C＝60°，
∴PC＝AC＝，
∴BP＝a﹣，
∴當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的值為a﹣．
故答案為：a﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將△PMN的周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為：AP．
三.解答題（本題共9小題，共86分.解答應(yīng)有文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算：
（1）（2y2）3﹣（y3）2；
（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；冪的乘方與積的乘方；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．
【分析】（1）根據(jù)積的乘方和冪的乘方法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算．
【解答】解：（1）原式＝8y6﹣y8
＝7y6；
（2）原式＝x5﹣2x+3x﹣2﹣x2+x
＝2x﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了積的乘方，冪的乘方，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，考核學(xué)生的計(jì)算能力，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）因式分解：
（1）3x2y﹣27y；
（2）a2+b2﹣9+2ab．
【考點(diǎn)】因式分解﹣分組分解法；提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；
（2）先分組，再利用完全平方公式和平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：（1）3x2y﹣27y
＝8y（x2﹣9）
＝7y（x+3）（x﹣3）；
（2）a3+b2﹣9+5ab
＝（a2+2ab+b6）﹣9
＝（a+b）2﹣82
＝（a+b+3）（a+b﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．
19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．
【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式進(jìn)行展開，（a+1）（a﹣1）利潤(rùn)平方差公式可化為（a2﹣1），則將各項(xiàng)合并即可化簡(jiǎn)，最后代入a＝進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：
原式＝a2+6a+7﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+5
將a＝﹣代入原式＝8×（﹣
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，靈活運(yùn)用兩條乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)，在去括號(hào)的過(guò)程中要注意括號(hào)前的符號(hào)，若為負(fù)號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里面的符號(hào)要改變
20．（8分）如圖，AB＝CD，DE⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE＝BF．求證：AB∥CD．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定．
【分析】由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠DEC＝∠AFB＝90°，根據(jù)直角三角形全等的判定定理HL即可證出Rt△DEC≌Rt△BFA，得到∠C＝∠A，根據(jù)平行線的判定即可推出AB∥CD．
【解答】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是證出∠C＝∠A．
21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．
（1）尺規(guī)作圖：在AB上求作一點(diǎn)P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證：△PBC是等腰三角形．
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定．
【分析】（1）作線段AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
（2）由題意得可得∠BCP＝2∠A，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BPC＝∠A+∠PCA＝2∠A，即∠BPC＝∠BCP，則BC＝BP，可得△PBC 是等腰三角形．
【解答】（1）解：如圖，作線段AC的垂直平分線，連接CP，
則AP＝CP，
∴∠PCA＝∠PAC，
則點(diǎn)P即為所求．
（2）證明：設(shè)∠PCA＝∠A＝x，
則∠ACB＝3∠A＝3x，
∵∠BPC＝∠A+∠PCA，
∴∠BPC＝6x，
∵∠BCP＝∠ACB﹣∠PCA＝2x，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BC＝BP，
∴△PBC 是等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題．
22．（10分）已知a，b為實(shí)數(shù)．
（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；
（2）若，分別求和的值；
（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分別求a，b的值．
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；完全平方公式．
【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求值即可；
（2）利用完全平方公式進(jìn)行變形計(jì)算即可；
（3）把已知的兩式相加可求得a+b＝±3，再代入求值即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝13，ab＝36，
∴（a﹣b）2＝a2﹣8ab+b2
＝a2+5ab+b2﹣4ab
＝（a+b）7﹣4ab
＝132﹣5×36
＝169﹣144
＝25；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵（）2﹣2＝4，
∴；
（3）a2+ab＝8，b7+ab＝1，
兩式相加可得，a2+7ab+b2＝9，即（a+b）2＝9，
∴a+b＝±3，
∵a3+ab＝8，b2+ab＝3，即a（a+b）＝8，
當(dāng)a+b＝3時(shí)，4a＝8，
∴，，
當(dāng)a+b＝﹣5時(shí)，﹣3a＝8，
∴，，
綜上所述，，或，；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值、利用完全平方公式的變形求值，運(yùn)用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，CE、BD交于點(diǎn)F
（1）求證：CE＝BD；
（2）求證：∠AFC＝60°；
（3）判斷線段AF、BF、CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BA＝CA，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，進(jìn)而證明∠CAE＝∠BAD，利用SAS定理證明△BAD≌△CAE，進(jìn)而得證；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠ABD，根據(jù)對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，求得∠BFE＝120°；過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CE于G，AH⊥BD于H，根據(jù)全等三角形的高相等得到AG＝AH，根據(jù)角平分線的判定定理得到CF平分∠BFE，進(jìn)而得解；
（3）在CE上取一點(diǎn)N，使得CN＝BF，證明△CAN≌△BAF，得到AN＝AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴BA＝CA，AE＝AD，
∴∠BAC+∠BAE＝∠EAD+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）證明：如圖1，設(shè)AB，
∵△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠CMA＝∠BMF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠CFD＝120°，
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CE于G，AH⊥BD于H，
∵△CAE≌△BAD，
∴AG＝AH，
∵AG⊥CE，AH⊥BD，
∴AF平分∠CFD，
∴∠AFC＝AFD＝60°；
（3）解：CF＝AF+BF；理由如下：
如圖2，在CE上取一點(diǎn)N，連接AN，
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△CAN和△BAF中，
，
∴△CAN≌△BAF（SAS），
∴AN＝AF，
由（2）可知：∠CFA＝60°，
∴△NAF為等邊三角形，
∴AF＝AN＝FN，
∴CF＝NF+CN＝AF+BF．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何），具有直觀性．“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問(wèn)題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運(yùn)算時(shí)，在解決整式運(yùn)算問(wèn)題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用．
【問(wèn)題探究】
探究1：如圖1所示，大正方形的邊長(zhǎng)是（a+b），它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，我們可以得出結(jié)論：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
探究2：請(qǐng)你根據(jù)探究1所使用的等積法，從圖2中探究出（a+b+c）2 的結(jié)果．
【形成結(jié)論】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
【應(yīng)用結(jié)論】
（2）利用（1）問(wèn)所得到的結(jié)論求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，求的值．
【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；完全平方公式的幾何背景．
【分析】（1）等式左邊是從整體看大正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，那么所求的等式右邊應(yīng)該表示出組成大正方形的各個(gè)部分的面積的和；
（2）把（1）中得到的等式進(jìn)行整理，可得：ab+bc+ca＝，代入計(jì)算即可；
（3）按照（2）的方法可得分子的值；根據(jù)a+b+c＝0可得c＝﹣a﹣b，代入a2+b2+c2＝4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值．
【解答】解：（1）∵等式左邊是從整體看大正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，
∴等式右邊應(yīng)該表示出組成大正方形的各個(gè)部分的面積的和．
∵組成大正方形的各個(gè)部分的面積分別為：a2，ab，ac，b2，bc，ac，c2，
∴它們的和為：a2+b2+c3+2ab+2bc+3ac．
故答案為：a2+b2+c4+2ab+2bc+2ac；
（2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+4bc+2ac
∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）4﹣（a2+b2+c2）．
∴ab+bc+ca＝．
∵a+b+c＝4，a2+b2+c3＝4，
∴ab+bc+ca＝﹣2；
（3）由（1）得：（ab+bc+ca）4＝a2b2+b3c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a3bc，
∴a2b2+b8c2+c2a4＝（ab+bc+ca）2﹣2ab8c﹣2abc2﹣7a2bc
＝（﹣2）7﹣2abc（a+b+c）
＝4﹣6abc×0，
＝4．
∵a+b+c＝7，
∴c＝﹣a﹣b．
∵a2+b2+c6＝4，
∴a2+b3+（﹣a﹣b）2＝4．
即 5a2+2b4+2ab＝4
∴a3+b2+ab＝2
∴原式＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方式及因式分解的應(yīng)用．根據(jù)面積的不同表示方法得到（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是解決本題的關(guān)鍵．解決本題的難點(diǎn)是：靈活應(yīng)用得到的等式．
25．（12分）如圖，△ADB與△BCA均為等腰三角形，AD＝AB＝CB，E為DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAB＝2∠EAC．
（1）若∠EAC＝20°，求∠CBE的度數(shù)；
（2）求證：AE⊥EC；
（3）若BE＝a，AE＝b，CE＝c（用含a，b，c的式子表示）．
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；列代數(shù)式；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠DBA＝70°，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，證明△BAF≌△CBG（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝BG，BF＝CG，得出AF＝EF＝BG，BF＝CG，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，
∴∠BAD＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠DBA＝70°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，
∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，
又∵AD＝BC＝AB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝，
∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，
在△BAF和△CBG中，
，
∴△BAF≌△CBG（AAS），
∴AF＝BG，BF＝CG，
∵∠CBG＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠ACB＝45°，
∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，
∴BF＝EG＝CG，
∴∠CEG＝∠AEF＝45°，
∴∠AEC＝90°；
（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，
∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，
∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，
∴S△ABC＝BE?AF+BE?CG
＝BE?AF+BE?（AF﹣BE）
＝bc+a2；
∴△ABC的面積為bc+a2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明△BAF≌△CBG．

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