2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)文博中學(xué)八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.  B.  C.  D. 3.若≌，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出的值為(    )

 
 
 A.  B.  C.  D. 4.已知下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作”的尺規(guī)作圖痕跡．該尺規(guī)作圖的依據(jù)是(    )
A.  B.  C.  D. 5.如圖，，，添加下列條件，仍不能判斷≌的是(    )A.
B.
C.
D. 6.如圖，是的邊的垂直平分線，為垂足，交于點(diǎn)，且，，則的周長(zhǎng)是
(    )

 A.  B.  C.  D. 7.如圖，點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等若，則等于(    )A.
B.
C.
D.
 8.如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則的長(zhǎng)是(    )

 A.  B.  C.  D. 9.如圖，是三個(gè)等邊三角形隨意擺放的圖形，則等于(    )

 A.  B.  C.  D. 10.如圖，在和中，，，，連接，交于點(diǎn)，連接下列結(jié)論：
，，平分，平分其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有個(gè)．(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.如圖，，，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：__________________________，使得≌．
 12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，≌，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
13.如圖，將一副三角板如圖所示疊放在一起，若，則陰影部分的面積是          ．
 
  
 14.等腰三角形的一個(gè)角為，則它的頂角為______．15.已知有兩個(gè)三角形全等，若一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為、、，另一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為、、，則______．16.如圖，，點(diǎn)，，，在射線上，點(diǎn)，，，在射線上，，，均為等邊三角形．若，則的邊長(zhǎng)為          ．

 三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.本小題分
如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，求證：．
18.本小題分
已知中，，，是的角平分線，于點(diǎn)．
求的度數(shù)；
若，，，求．
19.本小題分

如圖，中，，，是邊上的中線，是上一點(diǎn)且，求的度數(shù)．
20.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；
寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)直接寫(xiě)答案： ______ ；
求的面積．
21.本小題分

如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，于點(diǎn)，≌，且，．
求的長(zhǎng)；
判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
22.本小題分
如圖，在中，
尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．
若的周長(zhǎng)等于，，求的周長(zhǎng)．

 23.本小題分

已知：，，且，，求證：
；
．
24.本小題分
如圖，等邊三角形中，為上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．
求證：；
若，試求的長(zhǎng)．
25.本小題分
已知，是等腰直角三角形，，點(diǎn)在負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上方．

如圖所示，若的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間等量關(guān)系；
如圖，若軸恰好平分，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形定義．2.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：．
本題考查了關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．3.【答案】 【解析】解：≌，
，
故選：．
直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：由作圖得，，
在和中，

≌，
．
故選：．
作圖過(guò)程可得，，利用判定≌，可得．
本題考查了作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．5.【答案】 【解析】解：，

，
當(dāng)時(shí)，不能判定≌，
當(dāng)時(shí)，且，，由“”可證≌，
當(dāng)時(shí)，且，，由“”可證≌，
當(dāng)時(shí)，，，由“”可證≌，
故選：．
運(yùn)用全等三角形的判定可求解．
本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：是的邊的垂直平分線，
，
，，
的周長(zhǎng)是：．
故選：．
直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：到三角形三邊距離相等，
是的內(nèi)心，即三條角平分線交點(diǎn)，
，，都是角平分線，
，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)到三角形三邊距離相等，即可得是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
此題主要考查了角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解題時(shí)注意：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．8.【答案】 【解析】解：過(guò)作，
，
，
在中，，，
，
，
則．
故選B．
過(guò)作垂直于，利用三線合一得到為中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出的長(zhǎng)，由求出的長(zhǎng)即可．
此題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】【分析】
先根據(jù)圖中是三個(gè)等邊三角形可知三角形各內(nèi)角等于，用，，表示出各角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論。
【解答】
解：圖中是三個(gè)等邊三角形，












故選D。10.【答案】 【解析】【分析】
     本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
由證明≌得出，，正確；
由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，正確；
作于，于，則，由證明≌，得出，由角平分線的判定方法得出平分，正確；
假設(shè)平分，則，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，，
≌，
，，故正確；
由三角形的外角性質(zhì)得：
，
得出，故正確；
作于，于，如圖所示，

則，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正確；
假設(shè)平分，則，
在與中，
≌，
，
，
，
而，故錯(cuò)誤；
正確的個(gè)數(shù)有個(gè)；
故選：．11.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．本題要判定≌，因?yàn)橐呀?jīng)具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，則可考慮添加另一組邊或夾角相等，即可判斷兩個(gè)三角形全等．
【解答】
解：添加條件是：，
在與中，
，
≌．
故答案為：答案不唯一．12.【答案】 【解析】解：≌，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：．
根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)，主要利用了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．13.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查含角的直角三角形，等腰直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記公式是解題的關(guān)鍵先利用直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可．
【解答】
解：，，，
．
由題意可知，
，
．
故
故答案為．14.【答案】或 【解析】【分析】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
分角為底角和角為頂角兩種情況進(jìn)行求解即可．
【解答】
解：當(dāng)角為頂角時(shí)，則頂角為，
當(dāng)角為底角時(shí)，則頂角為，
綜上可知，這個(gè)等腰三角形的頂角是或，
故答案為：或．15.【答案】或 【解析】解：兩個(gè)三角形全等，
，或，，
，或，，
或，
故答案為：或．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列方程組即可得到結(jié)論．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、度角直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出，以及，得出，，進(jìn)而得出答案。
此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出，，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【解答】









解：是等邊三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等邊三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
以此類(lèi)推：的邊長(zhǎng)為．
故答案為．17.【答案】解：，
，
，，且

在和中
，
≌，
． 【解析】先證明，再根據(jù)推出≌，便可得結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，證明三角形的邊相等，往往轉(zhuǎn)化證明三角形的全等．18.【答案】解：，，
．
是的角平分線，
．
，
，
；
如圖，過(guò)作于點(diǎn)，

是的角平分線，，
，
又，，
． 【解析】是的角平分線，則將分成兩個(gè)度數(shù)相等的角；
是的角平分線，則點(diǎn)到兩邊的距離相等．
此題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等、三角形內(nèi)角和等于度是解決此題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，，
，
，
，
，是邊上的中線，
，
． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，計(jì)算即可．
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．20.【答案】 【解析】解：如圖，為所作；

．
故答案為：；
的面積．
利用關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
利用割補(bǔ)法求三角形面及即可得答案．
本題考查了作圖軸對(duì)稱(chēng)變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)開(kāi)始的．21.【答案】解：≌，
，
，
；
，理由如下：
，

≌，
，
． 【解析】由全等三角形的性質(zhì)得到，即可求出；
由垂直的定義得到，由全等三角形的性質(zhì)推出，即可證明．
本題考查全等三角形的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是由≌，得到，．22.【答案】解：如圖，直線即為所求．

垂直平分線段，
，，
，
的周長(zhǎng)．
的周長(zhǎng)． 【解析】本題考查尺規(guī)作圖作一條線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作圖的步驟，屬于中考?？碱}型．
根據(jù)要求作出圖形即可．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)，即可得出答案．23.【答案】證明：，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，
，
，
即． 【解析】由，，且，，利用可判定≌，繼而可證得；
由≌，可得，繼而可證得．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24.【答案】解：如圖，作，交于，則，

是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，
在和中，

≌，
，
；
，，
，
，，
又≌，
，
，
又，
． 【解析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
先作，交于，可得為等邊三角形，再判定≌，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論；
根據(jù)，，可得，由此得出，最后根據(jù)即可求得的長(zhǎng)．25.【答案】解：作軸于，如圖，

點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中

，
，，
，
；
理由如下：如圖，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中

，
，，
而，
；
理由如下：
如圖，和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，

，
軸，
，
而，
，
在和中

，
，
軸平分，軸，
，
在和中


，
． 【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形．
作軸于，如圖，易得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，，再利用等角的余角相等得到，則可根據(jù)“”證明≌，得到，，所以；
與一樣的方法可證明≌，得到，，易得；
如圖，和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，先證明≌得到，再利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得，所以．

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