?2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)文博中學(xué)八年級第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1．下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
3．若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（　　）

A．30 B．27 C．35 D．40
4．已知∠AOB．下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺規(guī)作圖痕跡．該尺規(guī)作圖的依據(jù)是（　?。?br />
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
5．如圖，AB∥DE，AB＝DE，添加下列條件，仍不能判斷△ABC≌△DEF的是（　?。?br />
A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF
6．如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
7．如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC等于（　?。?br />
A．110° B．115° C．125° D．130°
8．如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長是（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如圖，是三個(gè)等邊三角形隨意擺放的圖形，則∠1+∠2+∠3等于（　?。?br />
A．90° B．120° C．150° D．180°
10．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（　?。﹤€(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題（本大題共6小題，共24分）
11．如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　 　，使得△ABC≌△DEC．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB≌△COD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是 　 　．

13．如圖，將一副三角板如圖所示疊放在一起，若AB＝8cm，則陰影部分的面積是　 　cm2．

14．等腰三角形的一個(gè)角為40°，則它的頂角為　 　．
15．已知有兩個(gè)三角形全等，若一個(gè)三角形三邊的長分別為3、5、7，另一個(gè)三角形三邊的長分別為3、3a﹣2b、a+2b，則a+b＝　 　．
16．如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1＝1，則△AnBnAn+1的邊長為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求證：BC＝EF．

18．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求∠EDA的度數(shù)；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

19．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC邊上的中線，E是AB上一點(diǎn)且BD＝BE，求∠ADE的度數(shù)．

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)（直接寫答案）：C1　 ?。?br /> （3）求△A1B1C1的面積．

21．如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，AB⊥BC于點(diǎn)B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝2．
（1）求CF的長；
（2）判斷DE與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

22．如圖，在△ABC中，
（1）尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．
（2）若△BCD的周長等于18，AE＝4，求△ABC的周長．

23．已知：AB⊥AC，AD⊥AE，且AB＝AC，AD＝AE，求證：
（1）BE＝DC；
（2）BE⊥DC．

24．如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，DE⊥AC交BC于點(diǎn)F，且DF＝EF．
（1）求證：CD＝BE；
（2）若AB＝12，試求BF的長．

25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，請直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關(guān)系；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，問CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．


參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1．下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形定義．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
解：點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣2）．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
3．若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（　?。?br />
A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．
4．已知∠AOB．下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺規(guī)作圖痕跡．該尺規(guī)作圖的依據(jù)是（　?。?br />
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】作圖過程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．
解：由作圖得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠O′＝∠O．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
5．如圖，AB∥DE，AB＝DE，添加下列條件，仍不能判斷△ABC≌△DEF的是（　?。?br />
A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF
【分析】運(yùn)用全等三角形的判定可求解．
解：∵AB＝DE，
∵AB∥DE
∴∠B＝∠E，
當(dāng)AC＝DF時(shí)，不能判定△ABC≌△DEF，
當(dāng)AB＝DE時(shí)，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可證△ABC≌△DEF，
當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可證△ABC≌△DEF，
當(dāng)AC∥DF時(shí)，∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，由“AAS”可證△ABC≌△DEF，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
6．如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，進(jìn)而得出答案．
解：∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周長是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC等于（　?。?br />
A．110° B．115° C．125° D．130°
【分析】根據(jù)O到三角形三邊距離相等，即可得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．
解：∵O到三角形三邊距離相等，
∴O是△ABC的內(nèi)心，即三條角平分線交點(diǎn)，
∴AO，BO，CO都是角平分線，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，解題時(shí)注意：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
8．如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長是（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】過P作PQ垂直于MN，利用三線合一得到Q為MN中點(diǎn)，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，由OQ﹣MQ求出OM的長即可．
解：過P作PQ⊥MN，
∵PM＝PN，
∴MQ＝NQ＝1，
在Rt△OPQ中，OP＝12，∠AOB＝60°，
∴∠OPQ＝30°，
∴OQ＝6，
則OM＝OQ﹣QM＝6﹣1＝5．
故選：B．

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
9．如圖，是三個(gè)等邊三角形隨意擺放的圖形，則∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°
【分析】先根據(jù)圖中是三個(gè)等邊三角形可知三角形各內(nèi)角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
解：∵圖中是三個(gè)等邊三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟知等邊三角形各內(nèi)角均等于60°是解答此題的關(guān)鍵．
10．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（　　）個(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠AMD，④正確；
假設(shè)MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；

∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正確；

法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，

則∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正確；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四點(diǎn)共圓，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四點(diǎn)共圓，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正確；

假設(shè)MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，
在△AMO與△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；
正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，共24分）
11．如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　AB＝DE　，使得△ABC≌△DEC．

【分析】本題要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，BC＝EC，具備了兩組邊對應(yīng)相等，利用SSS即可判定兩三角形全等了．
解：添加條件是：AB＝DE，
在△ABC與△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案為：AB＝DE．本題答案不唯一．
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定這一知識點(diǎn)的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB≌△COD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ?。ī?，0）?。?br />
【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD＝OB，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．
解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，0）．
故答案為：（﹣2，0）．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，主要利用了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
13．如圖，將一副三角板如圖所示疊放在一起，若AB＝8cm，則陰影部分的面積是　8　cm2．

【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先求出直角邊AC的長；Rt△ABC中，已知斜邊AB及∠B的度數(shù)，易求得AC的長，進(jìn)而可根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法求出陰影部分的面積．
解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝8cm，
∴AC＝4cm．
由題意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝4cm．
故S△ACF＝×4×4＝8（cm2）．
故答案為8．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，發(fā)現(xiàn)△ACF是等腰直角三角形，并能根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出直角邊AC的長，是解答此題的關(guān)鍵．
14．等腰三角形的一個(gè)角為40°，則它的頂角為　40°或100°?。?br /> 【分析】分40°角為底角和頂角兩種情況求解即可．
解：
當(dāng)40°角為頂角時(shí)，則頂角為40°，
當(dāng)40°角為底角時(shí)，則頂角為180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案為：40°或100°．
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
15．已知有兩個(gè)三角形全等，若一個(gè)三角形三邊的長分別為3、5、7，另一個(gè)三角形三邊的長分別為3、3a﹣2b、a+2b，則a+b＝　5或4?。?br /> 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列方程組即可得到結(jié)論．
解：∵兩個(gè)三角形全等，
∴3a﹣2b＝5，a+2b＝7或3a﹣2b＝7，a+2b＝5，
∴a＝3，b＝2或a＝3，b＝1，
∴a+b＝5或4，
故答案為：5或4．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1＝1，則△AnBnAn+1的邊長為 　2n﹣1　．

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…進(jìn)而得出答案．
解：∵△A1B1A2是等邊三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此類推：△AnBnAn+1的邊長為 2n﹣1．
故答案為：2n﹣1．

【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求證：BC＝EF．

【分析】先證明AC＝DF，再根據(jù)SAS推出△ABC≌△DEF，便可得結(jié)論．
解：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF
∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，證明三角形的邊相等，往往轉(zhuǎn)化證明三角形的全等．
18．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求∠EDA的度數(shù)；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【分析】（1）AD是△ABC的角平分線，則AD將∠BAC分成兩個(gè)度數(shù)相等的角；
（2）AD是△ABC的角平分線，則點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如圖，過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
【點(diǎn)評】此題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等、三角形內(nèi)角和等于180度是解決此題的關(guān)鍵．
19．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC邊上的中線，E是AB上一點(diǎn)且BD＝BE，求∠ADE的度數(shù)．

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝40°，∠ADB＝90°，計(jì)算即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝20°．
【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)（直接寫答案）：C1?。?，﹣1）??；
（3）求△A1B1C1的面積．

【分析】（1）（2）利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（3）利用割補(bǔ)法求三角形面及即可得答案．
解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；

（2）C1（1，﹣1）．
故答案為：（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面積＝3×5﹣﹣×2×3﹣×2×3＝6.5．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們在畫一個(gè)圖形的軸對稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的．
21．如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，AB⊥BC于點(diǎn)B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝2．
（1）求CF的長；
（2）判斷DE與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得到EF＝BC＝6，即可求出CF＝CE+EF＝8；
（2）由垂直的定義得到∠ABC＝90°，由全等三角形的性質(zhì)推出∠DEF＝∠ABC＝90°，即可證明DE⊥EF．
解：（1）∵△DEF≌△ABC，
∴EF＝BC＝6，
∵CE＝2，
∴CF＝CE+EF＝2+6＝8；
（2）DE⊥EF，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
∵△DEF≌△ABC，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴DE⊥EF．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是由△DEF≌△ABC，得到EF＝BC，∠DEF＝∠ABC．
22．如圖，在△ABC中，
（1）尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．
（2）若△BCD的周長等于18，AE＝4，求△ABC的周長．

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）求出BC+AB＝18，AC＝8，可得結(jié)論．
解：（1）如圖，直線DE即為所求．

（2）DE垂直平分線段AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝4，
∴AC＝8，
∵△BDC的周長＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AB＝18．
∴△ABC的周長＝BC+AB+AC＝18+8＝26．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的周長，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
23．已知：AB⊥AC，AD⊥AE，且AB＝AC，AD＝AE，求證：
（1）BE＝DC；
（2）BE⊥DC．

【分析】（1）由DA⊥BA，CA⊥EA，且AD＝AB，AE＝AC，利用SAS可判定△DAC≌△BAE，繼而可證得BE＝DC；
（2）由△DAC≌△BAE，可得∠ACD＝∠AEB，繼而可證得BE⊥DC．
【解答】證明：（1）∵DA⊥BA，CA⊥EA，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC+∠APD＝90°，
∴∠AEB+∠ADP＝90°，
∵∠ADP＝∠EPQ，
∴∠ADP+∠EPQ＝90°，
∴∠PQE＝90°，
即BE⊥DC．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
24．如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，DE⊥AC交BC于點(diǎn)F，且DF＝EF．
（1）求證：CD＝BE；
（2）若AB＝12，試求BF的長．

【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM為等邊三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論；
（2）根據(jù)ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BF＝BC，最后根據(jù)AB＝12即可求得BF的長．
解：（1）如圖，作DM∥AB，交CF于M，則∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；

（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4．

【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，請直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關(guān)系；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，問CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【分析】（1）作CH⊥y軸于H，如圖1，易得OA＝3，OB＝1根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，則可根據(jù)“AAS”證明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；
（2）與（1）一樣的方法可證明△ABO≌△BCD，得到OB＝CD，OA＝BD，易得OA＝CD+OD；
（3）如圖3，CF和AB的延長線相交于點(diǎn)D，先證明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，再利用對稱性質(zhì)得CF＝DF，所以CF＝AE．
解：（1）作CH⊥y軸于H，如圖1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，
∴C（﹣1，4）；
（2）OA＝CD+OD．理由如下：如圖2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB＝CD，OA＝BD，
而BD＝OB+OD＝CD+OD，
∴OA＝CD+OD；
（3）CF＝AE．理由如下：
如圖3，CF和AB的延長線相交于點(diǎn)D，
∴∠CBD＝90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D＝90°，
而∠DAF+∠D＝90°，
∴∠BCD＝∠DAF，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，
∵x軸平分∠BAC，CF⊥x軸，
∴CF＝DF，
∴CF＝CD＝AE．


【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形．

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