浙江省臺(tái)州市和合教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-A4

這是一份浙江省臺(tái)州市和合教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-A4，共24頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分.）
1．（3分）下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切
C．相交D．相切或相交
3．（3分）把拋物線y＝﹣3x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2+1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
4．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0時(shí)，配方變形正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝3C．（x﹣2）2＝4D．（x﹣2）2＝3
6．（3分）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．10C．12D．13
7．（3分）在“雙減政策”的推動(dòng)下，我校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．2021年第三季度平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為630分鐘，經(jīng)過(guò)2021年第四季度和2022年第一季度兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為450分鐘，設(shè)每季度平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的季度平均下降率為a，則可列方程為（ ）
A．630（1﹣a）＝450B．450（1+a）＝630
C．630（1﹣a）2＝450D．450（1+a）2＝630
8．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx+m和y＝﹣m（x﹣1）2﹣1（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，AO＝AB，∠OAB＝120°，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）拋物線y＝mx2+4mx﹣4上有（2，y1），（3，y2），，四點(diǎn)，若y1，y2，y3，y4四個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)大于零，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本題共有6小題，每小題3分，共18分.）
11．（3分）點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
12．（3分）若a為方程x2+2x﹣5＝0的一個(gè)解，則3a2+6a﹣7的值為 ．
13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點(diǎn)C，PA＝5cm，PB＝4cm，則BC＝ cm．
14．（3分）某商店銷(xiāo)售一批頭盔，售價(jià)為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔降了 元．
15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2．下列結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；④，其中正確結(jié)論有 ．（填序號(hào)）
16．（3分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊向右作等邊△BPP′，連接CP′．當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為 ；當(dāng)線段CP′的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為 ．
三、解答題（第17-21題，每題8分，第22-23題，每題10分，第24題12分，共72分.）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
18．（8分）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位．
（1）作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移5個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使PA1+PC2的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
19．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m＝8時(shí)，求方程的根．
20．（8分）如圖，拋物線y1＝x2﹣x﹣2與直線y2＝x+1交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
21．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為2，求AE的長(zhǎng)．
22．（10分）一位滑雪者從某山坡滑下并滑完全程，滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）近似滿(mǎn)足“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”或“反比例函數(shù)”關(guān)系中的一種．測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下：
（1）s是t的 函數(shù)（填“一次”、“二次”或“反比例”）；
（2）求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）已知第二位滑雪者也從該山坡滑下并滑完全程，且滑行距離與第一位滑雪者相同，滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系t．記第一位滑雪者滑完全程所用時(shí)間為t1，第二位滑雪者滑完全程所用時(shí)間為t2，則t1 t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
23．（10分）如圖1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接EC，DE．
（1）寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠ADC＝45°，線段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系又是如何的，請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且∠ADC＝45°，AD＝3，BD＝4，直接寫(xiě)出弦CD的長(zhǎng)．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC＝3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市和合教育聯(lián)盟九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分.）
1．（3分）下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．
【解答】解：A．是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形，正確掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．
2．（3分）已知⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切
C．相交D．相切或相交
【分析】因?yàn)椤袿的半徑為4，根據(jù)圓心O到直線l的距離為3得出d＜r，再判斷即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑r＝4，圓心O到直線l的距離d＝3，
∴d＜r，
∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）把拋物線y＝﹣3x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2+1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【解答】解：函數(shù)y＝﹣3x2向右平移2個(gè)單位，得：y＝﹣3（x﹣2）2；
再向上平移1個(gè)單位，得：y＝﹣3（x﹣2）2+1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0時(shí)，配方變形正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝3C．（x﹣2）2＝4D．（x﹣2）2＝3
【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】連接OA，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理計(jì)算出AE，從而得到AB的長(zhǎng)．
【解答】解：連接OA，如圖，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，∠OEA＝90°，
∵CD＝26，
∴OA＝13，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝5，
∴AB＝2AE＝10．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?br>7．（3分）在“雙減政策”的推動(dòng)下，我校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．2021年第三季度平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為630分鐘，經(jīng)過(guò)2021年第四季度和2022年第一季度兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為450分鐘，設(shè)每季度平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的季度平均下降率為a，則可列方程為（ ）
A．630（1﹣a）＝450B．450（1+a）＝630
C．630（1﹣a）2＝450D．450（1+a）2＝630
【分析】根據(jù)“2021年第三季度平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為630分鐘，經(jīng)過(guò)2021年第四季度和2022年第一季度兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為450分鐘”，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題意知630（1﹣a）2＝450，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx+m和y＝﹣m（x﹣1）2﹣1（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限判斷m的符號(hào)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可求解．
【解答】解：A．由y＝﹣m（x﹣1）2﹣1得對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與圖象不符，故不符合題意；
B．由y＝mx+m的圖象得m＜0，∴﹣m＞0，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，頂點(diǎn)在第四象限，與圖象相符合，故符合題意；
C．由y＝mx+m的圖象得m＞0，∴﹣m＜0，拋物線的開(kāi)口應(yīng)向下，與圖象不符，故不符合題意；
D．由y＝﹣m（x﹣1）2﹣1得對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與圖象不符，故不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，掌握二者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，AO＝AB，∠OAB＝120°，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出每次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．
【解答】解：因?yàn)?60°÷60°＝6，
所以每旋轉(zhuǎn)六次，點(diǎn)B的位置重復(fù)出現(xiàn)．
又因?yàn)?024÷6＝337余2，
所以第2024次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的位置與第2次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的位置相同．
過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，垂線為H，
因?yàn)椤螼AB＝120°，
所以∠BAH＝60°．
因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），
所以AB＝AO＝4．
在Rt△ABH中，
sin∠BAH＝，
所以BH＝．
同理可得，
AH＝2，
所以O(shè)H＝4+2＝6，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．
顯然點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（），
即第2024次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律及等腰三角形的性質(zhì)，能根據(jù)題意得出第2024次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的位置與第2次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的位置相同是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）拋物線y＝mx2+4mx﹣4上有（2，y1），（3，y2），，四點(diǎn)，若y1，y2，y3，y4四個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)大于零，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給函數(shù)解析式，可得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，再對(duì)開(kāi)口方向分類(lèi)討論即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題意得，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣，當(dāng)m＞0時(shí)，
∵﹣2+﹣（﹣2）＝＜2﹣（﹣2）＜3﹣（﹣2），且y1，y2，y3，y4四個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)大于零，
∴．
∴＜m≤．
當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線上離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn)，其函數(shù)值越大，
而點(diǎn)（﹣2+，y3）和（﹣2﹣，y4）到直線x＝﹣2的距離相等，且距離最近，
∴此情況下不存在y1，y2，y3，y4四個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)大于零．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共有6小題，每小題3分，共18分.）
11．（3分）點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣1，2） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．
【解答】解：點(diǎn)M（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，2）．
故答案為：（﹣1，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（﹣x，﹣y），即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．
12．（3分）若a為方程x2+2x﹣5＝0的一個(gè)解，則3a2+6a﹣7的值為 8 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，得出a2+2a＝5，再整體代入求值即可．
【解答】解：∵a為方程x2+2x﹣5＝0的一個(gè)解，
∴把x＝a代入，得a2+2a﹣5＝0，
整理，得a2+2a＝5，
則3a2+6a﹣7＝3（a2+2a）﹣7＝3×5﹣7＝8，
即3a2+6a﹣7＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，利用整體代入法是解題關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點(diǎn)C，PA＝5cm，PB＝4cm，則BC＝ cm．
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABP＝90°，由勾股定理求出AB，再根據(jù)三角形面積求出BC即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，
∴∠ACB＝90°，∠ABP＝90°，
在Rt△ABP中，PA＝5cm，PB＝4cm，
∴AB＝＝3cm，
∵S△ABP＝PA?BC＝PB?AB，
∴5BC＝3×4，
即BC＝（cm），
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
14．（3分）某商店銷(xiāo)售一批頭盔，售價(jià)為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔降了 55 元．
【分析】根據(jù)題意，可以得到利潤(rùn)和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，然后化為頂點(diǎn)式，即可得到當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值．
【解答】解：設(shè)每頂頭盔的售價(jià)為x元，獲得的利潤(rùn)為w元，
w＝（x﹣40）[200+（60﹣x）×20]＝﹣20（x﹣55）2+4500，
∴當(dāng)x＝55時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝4500，
即該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為55元．
故答案為：55．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2．下列結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；④，其中正確結(jié)論有 ①②④ ．（填序號(hào)）
【分析】觀察圖象可知，拋物線開(kāi)口向下，故a＜0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，故b＞0，交點(diǎn)在y軸正半軸，故c＞0，從而可判斷①；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），可得出拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），從而得故當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0，從而可判斷②；找到點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（），利用增減性可判斷③；對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝＝2，從而b＝﹣4a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，即a﹣b+c＝0，即5a＝﹣c，又由2＜c＜3，可得2＜﹣5a＜3，即可判斷④．
【解答】解：觀察圖象可知，拋物線開(kāi)口向下，故a＜0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，故b＞0，
交點(diǎn)在y軸正半軸，故c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2．A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
故當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0，即9a+3b+c＞0，
故②正確；
∵點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（），
且，拋物線開(kāi)口向下，
∴y1＜y2，故③錯(cuò)誤；
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝＝2，
∴b＝﹣4a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，
即a﹣b+c＝0，即5a＝﹣c，
又由2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，即．
故④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，各項(xiàng)系數(shù)對(duì)圖象的影響，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊向右作等邊△BPP′，連接CP′．當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為 120° ；當(dāng)線段CP′的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為 75° ．
【分析】當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求出∠PP′C的度數(shù)；以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長(zhǎng)最小，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，如圖，
∵△BPP′是等邊三角形，
∴∠PP'B＝60°，
∴∠PP′C＝180°﹣∠PP'B＝180°﹣60°＝120°；
以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．
∵△BPP′是等邊三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，
如圖，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，
當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO+OP′＝OB+OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案為：120°，75°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
三、解答題（第17-21題，每題8分，第22-23題，每題10分，第24題12分，共72分.）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左邊變形，進(jìn)而解出方程；
（2）利用提公因式法把方程的左邊變形，進(jìn)而解出方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
則（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1），
移項(xiàng)，得（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
則（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位．
（1）作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移5個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使PA1+PC2的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （3，0） ．
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．
（3）作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接DC2交x軸于點(diǎn)P，連接A1P，點(diǎn)P即為所求．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
（3）如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．
故答案為：（3，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．
19．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m＝8時(shí)，求方程的根．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式大于0，建立關(guān)于m的不等式，解答即可；
（2）將m＝8代入x2+2x﹣m＝0得到x2+2x﹣8＝0，因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＞0，
整理得：4+4m＞0，
解得：m＞﹣1；
（2）當(dāng)m＝8時(shí)，原方程為x2+2x﹣8＝0，
即（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式和一元二次方程的解法，熟練掌握判別式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，拋物線y1＝x2﹣x﹣2與直線y2＝x+1交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
【分析】（1）通過(guò)聯(lián)立方程組求解，即可得出答案；
（2）通過(guò)觀察圖象，結(jié)合拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可得出答案．
【解答】解：∵拋物線y1＝x2﹣x﹣2與直線y2＝x+1交于A，B兩點(diǎn)，
∴，
解得：，，
∴A（﹣1，0），B（3，4）；
（2）由圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，拋物線y1＝x2﹣x﹣2位于直線y2＝x+1的下方，
∴不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集為﹣1＜x＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)觀察圖象解決問(wèn)題．
21．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為2，求AE的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OA，由圓周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，則∠OAD＝90°，可證明直線AD是⊙O的切線；
（2）若AE⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)垂徑定理可證明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，則∠OAM＝30°，已知⊙O的半徑OA＝2，則OM＝OA＝1，根據(jù)勾股定理可以求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：如圖，連接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半徑，且AD⊥OA，
∴直線AD是⊙O的切線．
（2）解：如圖，∵BC是⊙O的直徑，且AE⊥BC于點(diǎn)M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝×2＝1，
∴AM＝＝＝，
∴AE＝2AM＝2×＝2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓的切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大．
22．（10分）一位滑雪者從某山坡滑下并滑完全程，滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）近似滿(mǎn)足“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”或“反比例函數(shù)”關(guān)系中的一種．測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下：
（1）s是t的 二次 函數(shù)（填“一次”、“二次”或“反比例”）；
（2）求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）已知第二位滑雪者也從該山坡滑下并滑完全程，且滑行距離與第一位滑雪者相同，滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系t．記第一位滑雪者滑完全程所用時(shí)間為t1，第二位滑雪者滑完全程所用時(shí)間為t2，則t1 ＞ t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，按一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s＝at2+bt+c，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（3）由兩位滑雪者滑行距離都為20米，可求出t1和t2，比較即可．
【解答】解：（1）利用表中數(shù)據(jù)，可以判斷s與t既不滿(mǎn)足一次函數(shù)也不滿(mǎn)足反比例函數(shù)，
故判斷s是t的二次函數(shù)，
故答案為：二次；
（2）設(shè)s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s＝at2+bt+c，
把t＝0，s＝0；t＝1，s＝2；t＝2，s＝6代入s＝at2+bt+c得：
，
解得，
∴s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s＝t2+t；
（3）由表中數(shù)據(jù)可知，s＝20，t1＝4，
∵兩位滑雪者滑行距離相同，
∴t2+2t＝20，
解得t＝（負(fù)值舍去），
∴t2＝，
∴t1＞t2，
故答案為：＞．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接EC，DE．
（1）寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠ADC＝45°，線段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系又是如何的，請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且∠ADC＝45°，AD＝3，BD＝4，直接寫(xiě)出弦CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到條件證明△ABD≌△ACE（SAS），則BD＝CE，∠B＝∠ACE，證明∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理即可得到答案；
（2）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接EC，DE，同（1）的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），則BD＝CE，求出DE2＝2AD2，證明∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理即可得到答案；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于E，證明CD＝CE，證明∠ACB＝∠ADB＝90°，得到∠BDC＝45°＝∠ADC，則AC＝BC，證明∠ACE＝∠BCD，得到AE＝BD，即可求解．
【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根據(jù)勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（2）BD2＝CD2+2AD2，理由如下：
如圖2．將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接EC，DE，
同（1）的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE2＝2AD2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根據(jù)勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，
即：BD2＝CD2+2AD2；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根據(jù)勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，
連接AC，BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴AE＝BD，
∵AD＝3，BD＝3，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝7，
∴2CD2＝72，
∴CD＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線和正確推理是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC＝3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由S△PAC＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝3，即可求解；
（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是定值，DE＝1．根據(jù)AM＝MP，根據(jù)方程求出t，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）由題意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)AP交y軸于點(diǎn)H，
設(shè)P[m，（m+1）（m﹣3）]，
由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得，直線AP的表達(dá)式為：y＝（m﹣3）（x+1），
則點(diǎn)H（0，m﹣3），則CH＝m，
則S△PAC＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝3，
解得：m＝﹣3（舍去）或2，
即點(diǎn)P（2，﹣3）；
（3）結(jié)論：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是定值，DE＝1．
理由：如圖乙中，連接AM，PM，EM，設(shè)M（1，t），P[m，（m+1）（m﹣3）]，E（m，n）．
由題意A（﹣1，0），AM＝PM，
∴22+t2＝（m﹣1）2+[（m+1）（m﹣3）﹣t]2，
解得t＝+（m+1）（m﹣3），
∵M(jìn)E＝PM，PE⊥AB，
故點(diǎn)M在EP的中垂線上，
∴t＝[n+（m+1）（m﹣3）]，
∴n＝2t﹣（m+1）（m﹣3）＝1+（m+1）（m﹣3）﹣（m+1）（m﹣3＝1，
∴DE＝1，
∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是定值，DE＝1．
滑行時(shí)間t/s
0
1
2
3
4
滑行距離s/m
0
2
6
12
20
滑行時(shí)間t/s
0
1
2
3
4
滑行距離s/m
0
2
6
12
20