一、選擇題（每題3分，共30分）
1. 25的平方根是（ ）
A. ±5B. 5C. –5D. 625
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
故選A．
考點(diǎn)：平方根．
2. 一個直角三角形一直角邊長為，另一直角邊長為，則斜邊長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形中勾股定理“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的計(jì)算即可求解．
【詳解】解：直角三角形一直角邊長為，另一直角邊長為，
∴斜邊長為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握直角三角形中勾股定理的計(jì)算方法，二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
3. 下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（ ）
A. 5，12，13B. 1，1，C. 2，2，3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股數(shù)．熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：三個正整數(shù)，滿足兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，5，12，13是勾股數(shù)，符合題意；
B、2不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
C、，2，2，3不是勾股數(shù)，不符合題意；
D、不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
故選：A．
4. 在實(shí)數(shù)，，，，，，（3與1之間依次增加一個0）中，無理數(shù)的個數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查無理數(shù)的判斷，根據(jù)無限不循環(huán)的小數(shù)叫無理數(shù)直接逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，，，是有理數(shù)，
，，（3與1之間依次增加一個0）是無理數(shù)，共有3個，
故選：A．
5. 在中，，，的對邊分別是，，，下列條件不能判斷是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即得答案．
【詳解】A、，
，故不是直角三角形；
B、，且，
，故為直角三角形；
C、，故設(shè)
，故為直角三角形；
D、，故為直角三角形．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握這兩個基本知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6. 下列說法不正確的是（ ）
A. 的平方根是B. 0.2的算術(shù)平方根是
C. 是81的一個平方根D. 的立方根是
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了立方根的定義，算術(shù)平方根的定義，平方根的定義，理解平方根的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義及平方根的定義即可解答．
【詳解】解：A、∵，，
∴的平方根是，故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；
B、∵，
∴0.2的算術(shù)平方根不是，故選項(xiàng)B錯誤，符合題意；
C、∵，
∴是的一個平方根，故選項(xiàng)C正確，但不符合題意；
D、∵，
∴，故選項(xiàng)D正確，但不符合題意；
故選：B．
7. 如圖所示，三個大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（ ）
A. 225B. 144C. 81D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出?EFG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示，?EFG為直角三角形，
∴，
∴正方形A的面積為81，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
8. 下列各式中，是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A、=，故不最簡二次根式；
B、=，故不是最簡二次根式；
C、是最簡二次根式；
D、，故不是最簡二次根式；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的知識，由題意根據(jù)最簡二次根式必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
9. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，那么化簡的結(jié)果是（ ）

A. B. bC. D. a
【答案】C
【解析】
【分析】由實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置確定a、b的符號以及絕對值的大小，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：由實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可知，，且，
∴，
∴原式
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，理解數(shù)軸表示數(shù)的方法，掌握二次根式的性質(zhì)是正確解答的前提．
10. 如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（ ）
A. 15 dmB. 17 dmC. 20 dmD. 25 dm
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求解出最短路程即可．
詳解】最短路徑
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理求最短路程的問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6小題，每題3分，共18分）
11. 的算術(shù)平方根是________；-64的立方根是_______．
【答案】 ①. 2 ②. -4
【解析】
【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根及立方根進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：因?yàn)?，所?的算術(shù)平方根是2；因?yàn)?，所?64的立方根是-4；
故答案為2；-4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根及立方根，熟練掌握算術(shù)平方根及立方根是解題的關(guān)鍵．
12. 比較大?。?______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，無理數(shù)的估算．先將估算的大小，即可比較大小即可．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
13. 計(jì)算：_________．
【答案】3
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的乘法，根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：
故答案為：3
14. 如下圖，作一個以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，長方形對角線為半徑的圓弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算長方形對角線的長，再由點(diǎn)A的位置，確定點(diǎn)A的符號，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【詳解】解：長方形對角線的長：=，
∴OA=，
∵點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，
∴A點(diǎn)表示的數(shù)是：，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系和勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15. 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．
【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，
第三邊的長為：；
②長為3、4的邊都是直角邊時，
第三邊的長為：；
∴第三邊的長為：或5，
故答案為：或5．
16. 在直線上依次擺著七個正方形（如圖），已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個正方形的面積是，則______．
【答案】-2
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是注意發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積．運(yùn)用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)，
，，
，，
，
在與中，
，
，
，
，
，即，
同理．
則．
故答案為：-2．
三、計(jì)算題．
17. 計(jì)算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）利用平方差公式展開括號，計(jì)算二次根式的乘法，再合并即可；
（2）把各二次根式化簡為最簡二次根式，再計(jì)算二次根式乘法，再合并即可．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
18. 已知3x+1的算術(shù)平方根是4，x+2y的立方根是﹣1．
（1）求x、y的值；
（2）求2x﹣5y的平方根．
【答案】（1）x=5、y=-3；（2）±5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的定義知3x+1=16、x+2y=-1，據(jù)此求解可得；
（2）將x、y的值代入2x-5y，再根據(jù)平方根的定義計(jì)算可得．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意知：
3x+1=16、x+2y=-1，
則x=5、y=-3；
（2）∵2x-5y=10+15=25，
則2x-5y的平方根為±5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根、立方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義．
四、解答題
19. 已知a，b，c滿足．
（1）求a，b，c的值；
（2）試問：以a，b，c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，請求出三角形的周長；若不能，請說明理由．
【答案】（1），，
（2）能構(gòu)成三角形，周長為：
【解析】
【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，無理數(shù)的估算，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．
（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出a、b、c的值；
（2）先估算出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，再把三角形三邊相加即可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得：，，，
解得：，，．
【小問2詳解】
解：，
，
、、能構(gòu)成三角形，
此時三角形的周長為．
20. 如圖，一根旗桿在離地面處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部處，旗桿在折斷之前有多高？

【答案】旗桿在折斷之前有24米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理，計(jì)算旗桿的折斷部分是15米，則折斷前旗桿的高度是米．
【詳解】解：旗桿折斷后，落地點(diǎn)與旗桿底部的距離為12米，旗桿離地面9米折斷，且旗桿與地面是垂直的，
∴折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．
根據(jù)勾股定理，折斷部分的旗桿為：米，
∴旗桿折斷之前高度為米．
答：旗桿在折斷之前有24米．
21. 如圖，把一塊直角三角形ABC（其中）土地劃出一個三角形ADC后，測得米，米，米，米．
（1）判斷的形狀，并說明理由；
（2）求圖中陰影部分土地的面積．
【答案】（1）見解析 （2）24平方米
【解析】
【分析】（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC=5，再利用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形；
（2）由，結(jié)合三角形面積公式解答．
【小問1詳解】
解：直角三角形ABC中，
，，
，
，
，
，
是直角三角形；
【小問2詳解】
（平方米）．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
22. 一架云梯長，如圖所示斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．
（1）這個梯子頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出AB的長度，此題得解；
（2）在中，利用勾股定理可求出的長度，用其減去的長度即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：在中，，，，
∴=24()．
答：這個梯子的頂端距地面．
【小問2詳解】
在中，，，
∴，
∴．
答：如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動了．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵：
23. 小宇手里有一張直角三角形紙片，他無意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使落斜邊上，（如圖）小宇經(jīng)過測量得知兩直角邊，．
（1） ； ； ；
（2）設(shè)為，則可用表示為_______；
（3）利用以上結(jié)論求出的長．
【答案】（1）10，6，4
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
（1）利用勾股定理求出，再利用翻折變換的性質(zhì)求出，可得結(jié)論；
（2）利用線段的和差定義求解；
（3）在中，利用勾股定理求解即可．
【小問1詳解】
，，，
，
由翻折的性質(zhì)可知，，
．
故答案為：10，6，4；
【小問2詳解】
，，
．
故答案為：；
【小問3詳解】
由翻折的性質(zhì)可知，，，
在中，，
，
，
．
24. 觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：
例1： ，
例2： ，，
利用以上結(jié)論解答以下問題：（不必證明）
（1） ； ；
（2）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．（有過程）

【答案】（1）； （2）9
【解析】
【分析】本題考查了分母有理化：涉及二次根式的性質(zhì)化簡、平方差公式的運(yùn)用：
（1）根據(jù)例1的過程，仿寫即可作答．
（2）逐個化簡，得，，， ，……，然后進(jìn)行合并同類二次根式，即可作答．
【小問1詳解】
解：∵
∴；
∴；
【小問2詳解】
解：∵，，，，……，
∴
.
25. 綜合與實(shí)踐
問題情境
在學(xué)習(xí)了《勾股定理》和《實(shí)數(shù)》后，某班同學(xué)以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學(xué)活動.
操作發(fā)現(xiàn)
“畢達(dá)哥拉斯”小組的同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.如圖1是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).在圖1中畫出△ABC，其頂點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)，同時構(gòu)造正方形BDEF，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊DE，EF分別經(jīng)過點(diǎn)C、A，他們借助此圖求出了△ABC的面積.

（1）在圖1中，所畫△ABC的三邊長分別是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面積為 .
實(shí)踐探究
（2）在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△DEF（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），使DE=，DF=， EF=，并寫出△DEF的面積.
繼續(xù)探究
“秦九韶”小組的同學(xué)想到借助曾經(jīng)閱讀的數(shù)學(xué)資料： 已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積，對此問題中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究.古希臘的幾何學(xué)家海倫(Hern，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式：
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202 ~1261），給出了著名的秦九韶公式：

（3）一個三角形的三邊長依次為，，，請你從上述材料中選用適當(dāng)?shù)墓?求這個三角形的面積.（寫出計(jì)算過程）
【答案】（1），，，；（2）圖見解析；△DEF的面積為4；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算△ABC的三邊長；利用△ABC所在正方形的面積減去周圍直角三角形的面積可求其面積；
（2）仿照“畢達(dá)哥拉斯”小組的方法利用勾股定理在正方形網(wǎng)格中畫出△DEF，并利用割補(bǔ)法求其面積即可；
（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.
【詳解】解：（1），，，
△ABC的面積＝，
故答案為，，，；
（2）△DEF如圖所示，
△DEF的面積＝；
（3）將，，代入秦九韶公式，
得
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用以及二次根式的運(yùn)算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．

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