A．4，5，6，7B．3，4，6，9
C．8，4，4，2D．5，10，10，15
2．（3分）若關(guān)于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，則a的值為（ ）
A．0B．2
C．﹣2D．不等于2的任意實(shí)數(shù)
3．（3分）已知4個(gè)完全相同的正方形的面積之和為100，則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為（ ）
A．2B．5C．D．10
4．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，則DF的長(zhǎng)是（ ）
A．1.5B．6C．9D．12
6．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
7．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)隨機(jī)組合，兩兩一組做游戲，則甲與乙恰好被分在同一組的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
9．（3分）某種植物的主干長(zhǎng)出若干 數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)分支，則x的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；③AP＝EF；④EF的最小值為3，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空題．（每題3分，共18分）
11．（3分）若＝，則＝ ．
12．（3分）小薇為了了解自家草莓的質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8．若小薇家今年草莓的總產(chǎn)量約為1000kg，據(jù)此估計(jì)小薇家今年“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為 kg．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長(zhǎng)是 ．
14．（3分）若直角三角形三邊長(zhǎng)分別是n，n+3，n+6，則該三角形的面積是 ．
15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2?3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）?（2x+1）＝0，則x的值為 ．
16．（3分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB＝，AG＝1，則EB＝ ．
三.解答題.（本大題9個(gè)小題，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．
18．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求證：無(wú)論k取何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
19．（6分）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，求證：四邊形BFDE是矩形．
20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周長(zhǎng)為10cm．求△A'B'C'的周長(zhǎng)．
21．（8分）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說(shuō)小剛的方法有問(wèn)題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？
解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．
解：原方程變形為（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①
兩邊同時(shí)除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②
移項(xiàng)，合并得2x＝3…③
系數(shù)化為1，得…④
上述解法中，該解法第一步采用的是 法解方程；第二步的依據(jù)是 ，你認(rèn)為第 步有問(wèn)題，問(wèn)題在于 ．
請(qǐng)你將該方法正確的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．
22．（10分）有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放．
（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是 ；
（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．
23．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的長(zhǎng)；
（2）求的值．
24．（12分）某商場(chǎng)以每件280元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí)，每月可售出60件．為了擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每月就可以多售出5件．
（1）降價(jià)前商場(chǎng)每月銷售該商品的利潤(rùn)是多少元？
（2）要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？
（3）該商場(chǎng)1月份銷售量為60件，2月和3月的月平均增長(zhǎng)率為x，若前三個(gè)月的總銷量為285件，求該季度的總利潤(rùn)．
25．（12分）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：
如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE'（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C），延長(zhǎng)AE交CE'于點(diǎn)F，連接DE．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
解決問(wèn)題：
（3）如圖①，若，CF＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年廣東省河源市龍川縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題．（本大題10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列四組長(zhǎng)度的線段中，是比例線段的是（ ）
A．4，5，6，7B．3，4，6，9
C．8，4，4，2D．5，10，10，15
【答案】C
【分析】根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)判斷得到得到結(jié)論．
【解答】解：A、∵4×7≠5×6，∴4，5，6，7不能成比例線段，故不符合題意；
B、∵3×9≠4×6，∴3，4，6，9不能成比例線段，故不符合題意；
C、∵2×8＝4×4，∴8，4，4，2成比例線段，故符合題意；
D、∵5×15≠10×10，∴5，10，10，15不能成比例線段，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．
2．（3分）若關(guān)于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，則a的值為（ ）
A．0B．2
C．﹣2D．不等于2的任意實(shí)數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到a﹣2≠0，則可得到a的值，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：根據(jù)題意得a﹣2≠0，
解得a≠2，
即a取不等于2的任意實(shí)數(shù)．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，正確理解一元二次方程的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（3分）已知4個(gè)完全相同的正方形的面積之和為100，則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為（ ）
A．2B．5C．D．10
【答案】C
【分析】設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則面積為a2，對(duì)角線的長(zhǎng)為，依題意得4a2＝100，由此解出a即可得出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)．
【解答】解：設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則面積為a2，對(duì)角線的長(zhǎng)為，
∵4個(gè)完全相同的正方形的面積之和為100，
∴4a2＝100，
解得：a＝5，
∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的面積公式，正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
4．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】求出判別式的值即可判斷．
【解答】解：方程x2+5x﹣4＝0，
∵Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是記住：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，則DF的長(zhǎng)是（ ）
A．1.5B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理作答即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝3+6＝9，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【答案】C
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，
解得k＝3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
7．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)隨機(jī)組合，兩兩一組做游戲，則甲與乙恰好被分在同一組的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，甲、乙恰好在同一組的結(jié)果有4個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有12個(gè)等可能的結(jié)果，甲、乙恰好在同一組的結(jié)果有4個(gè)，
∴甲、乙恰好在同一組的概率為＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查列表法與樹(shù)狀圖法求概率，樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
8．（3分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
【答案】B
【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD＝12，由菱形的面積得出AC＝9，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）某種植物的主干長(zhǎng)出若干 數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)分支，則x的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】關(guān)鍵描述語(yǔ)是“主干、支干、小分支的總數(shù)是57”，等量關(guān)系為：主干1+支干數(shù)目+小分支數(shù)目＝57，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：∵主干為1，每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，
∴小分支的個(gè)數(shù)為：x×x＝x2，
∴可列方程為：1+x+x2＝57．
解得：x1＝7，x2＝﹣8（舍去）．
答：每個(gè)支干長(zhǎng)出7個(gè)小分支．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程求解．
10．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；③AP＝EF；④EF的最小值為3，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①證明△PDF是等腰直角三角形，則PD＝PF＝CE，即可判斷；
②根據(jù)①可知四邊形PECF為矩形，則四邊形PECF的周長(zhǎng)＝2BC＝8，即可判斷；
③證明△ADP≌△CDP，則AP＝PC，根據(jù)矩形對(duì)角線相等得PC＝EF，即可判斷；
④當(dāng)AP⊥BD時(shí)，即AP＝BD＝2時(shí)，EF的最小值等于2，即可判斷．
【解答】解：連接PC，如圖，
∵BD是正方形的對(duì)角線，則∠PDF＝45°，
而PF⊥CD，則△PDF為等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴CE＝PF，
∴PD＝CE；
故①正確；
∵四邊形PECF為矩形，
∴四邊形PECF的周長(zhǎng)＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；
故②正確；
∵四邊形PECF為矩形，
∴PC＝EF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故③正確；
由EF＝PC＝AP，
∴當(dāng)AP最小時(shí)，EF最小，
則當(dāng)AP⊥BD時(shí)，即AP＝BD＝2時(shí)，EF的最小值等于2；
故④不正確；
綜上，①②③正確，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題．（每題3分，共18分）
11．（3分）若＝，則＝ ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)＝可設(shè)a＝2k，b＝3k，再將a，b代入計(jì)算可求解．
【解答】解：設(shè)a＝2k，b＝3k，
∴＝，
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例的性質(zhì)，靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）小薇為了了解自家草莓的質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8．若小薇家今年草莓的總產(chǎn)量約為1000kg，據(jù)此估計(jì)小薇家今年“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為 800 kg．
【答案】800．
【分析】由題意可得“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的概率等于0.8，再乘以1000即可得出答案．
【解答】解：因?yàn)樵诙啻沃貜?fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，
所以“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的概率等于0.8，
所以估計(jì)小薇家今年的“優(yōu)質(zhì)草莓”的產(chǎn)量約為1000×0.8＝800（kg）．
故答案為：800．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長(zhǎng)是 3 ．
【答案】3．
【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得：BD＝CD＝3，從而可得△BDC是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝CD＝3，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，AC＝6，
∴BD＝CD＝AC＝3，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDC是等邊三角形，
∴BC＝CD＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）若直角三角形三邊長(zhǎng)分別是n，n+3，n+6，則該三角形的面積是 54 ．
【答案】54．
【分析】根據(jù)勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題意可知，n，n+3是直角邊長(zhǎng)，n+6是斜邊長(zhǎng)，
由勾股定理得：n2+（n+3）2＝（n+6）2，
整理得：n2﹣6n﹣27＝0，
解得：n1＝9，n2＝﹣3（不符合題意，舍去），
∴n+3＝12，
∴該三角形的面積＝×9×12＝54，
故答案為：54．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2?3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）?（2x+1）＝0，則x的值為 0或﹣1 ．
【答案】0或﹣1．
【分析】根據(jù)題意列得方程并解方程即可．
【解答】解：由題意得（x﹣1+2x+1）[x﹣1﹣2（2x+1）]＝0，
整理得：3x（﹣3x﹣3）＝0，
即x（x+1）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1，
故答案為：0或﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程，結(jié)合已知條件列得正確的方程是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB＝，AG＝1，則EB＝ ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】首先連接BD交AC于O，由四邊形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，然后利用SAS即可證得△EAB≌△GAD，則可得EB＝GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的長(zhǎng)，繼而可得EB的長(zhǎng)．
【解答】解：連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD，
∵四邊形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．
三.解答題.（本大題9個(gè)小題，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
x＝，
x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
18．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求證：無(wú)論k取何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．
【分析】求出Δ≥0，即可得一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【解答】證明：在x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0中，
Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握Δ≥0時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
19．（6分）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，求證：四邊形BFDE是矩形．
【答案】見(jiàn)解析．
【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD，然后結(jié)合AF＝CE得到FB＝ED，證明出四邊形BFDE是平行四邊形，然后結(jié)合BE⊥CD即可證明出四邊形BFDE是矩形．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
∴FB＝ED．
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四邊形BFDE是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)和矩形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周長(zhǎng)為10cm．求△A'B'C'的周長(zhǎng)．
【答案】15cm．
【分析】直接運(yùn)用三邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)判斷兩三角形相似，進(jìn)而利用性質(zhì)來(lái)求解．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′，
設(shè)△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)分別為x cm，y cm；
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比為，
∴＝，
∵x＝10cm，
∴y＝15cm，
即△A′B′C′的周長(zhǎng)為15cm．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟記相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說(shuō)小剛的方法有問(wèn)題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？
解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．
解：原方程變形為（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①
兩邊同時(shí)除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②
移項(xiàng)，合并得2x＝3…③
系數(shù)化為1，得…④
上述解法中，該解法第一步采用的是 提公因式 法解方程；第二步的依據(jù)是 等式的性質(zhì) ，你認(rèn)為第 二 步有問(wèn)題，問(wèn)題在于 2x﹣1可以為0 ．
請(qǐng)你將該方法正確的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．
【答案】（1）提公因式，等式的性質(zhì)，二，2x﹣1可以為0；
（2）見(jiàn)解答．
【分析】2x﹣1可以為0，所以方程兩邊除以（2x﹣1）不符合方程的同解原理；先移項(xiàng)得到（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）該解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，你認(rèn)為第二步有問(wèn)題，問(wèn)題在于2x﹣1可以為0．
故答案為：提公因式，等式的性質(zhì)，二，2x﹣1可以為0；
（2）正確解法為：（2x﹣1）2＝4x﹣2，
（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，
所以x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22．（10分）有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放．
（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是 ；
（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是，
故答案為：；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的結(jié)果有4種，
∴所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率為＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的長(zhǎng)；
（2）求的值．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解決問(wèn)題；
（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解決問(wèn)題；
【解答】解：（1）∵GF∥BC，
∴＝，
∵BD＝20，＝
∴BG＝8．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
24．（12分）某商場(chǎng)以每件280元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí)，每月可售出60件．為了擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每月就可以多售出5件．
（1）降價(jià)前商場(chǎng)每月銷售該商品的利潤(rùn)是多少元？
（2）要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？
（3）該商場(chǎng)1月份銷售量為60件，2月和3月的月平均增長(zhǎng)率為x，若前三個(gè)月的總銷量為285件，求該季度的總利潤(rùn)．
【答案】（1）4800元；
（2）60元；
（3）20235元．
【分析】（1）利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×月銷售量，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)每件商品降價(jià)m元，則每件的銷售利潤(rùn)為（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×月銷售量，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再結(jié)合要有利于減少庫(kù)存，即可確定結(jié)論；
（3）根據(jù)前三個(gè)月的總銷量為285件，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，將其符合題意的值代入60（1+x），60（1+x）2中，可得出2月份、三月份的銷售量，再利用該季度的總利潤(rùn)＝（該商品1月份的售價(jià)﹣該商品的進(jìn)價(jià)）×1月份的銷售量+（該商品2月份的售價(jià)﹣該商品的進(jìn)價(jià)）×2月份的銷售量+（該商品3月份的售價(jià)﹣該商品的進(jìn)價(jià)）×3月份的銷售量，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（360﹣280）×60
＝80×60
＝4800（元）．
答：降價(jià)前商場(chǎng)每月銷售該商品的利潤(rùn)是4800元；
（2）設(shè)每件商品降價(jià)m元，則每件的銷售利潤(rùn)為（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，
根據(jù)題意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200，
整理得：m2﹣68m+480＝0，
解得：m1＝8，m2＝60，
又∵要有利于減少庫(kù)存，
∴m＝60．
答：每件商品應(yīng)降價(jià)60元；
（3）根據(jù)題意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
整理得：4x2+12x﹣7＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合題意，舍去），
∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件），
∴2月份這種商品的售價(jià)為360﹣＝354（元），3月份這種商品的售價(jià)為360﹣＝345（元），
∴該季度的總利潤(rùn)為（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）．
答：該季度的總利潤(rùn)為20235元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：
如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE'（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C），延長(zhǎng)AE交CE'于點(diǎn)F，連接DE．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
解決問(wèn)題：
（3）如圖①，若，CF＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．
【答案】（1）四邊形BE'FE是正方形，理由見(jiàn)解答過(guò)；
（2）CF＝E'F；理由見(jiàn)解答過(guò)程；
（3）AB＝15．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝CE'，可得結(jié)論；
（3）利用勾股定理可求DH＝12，BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求BC的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）四邊形BE'FE是正方形，理由如下：
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四邊形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四邊形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；理由如下：
如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，
∴AE＝CE'，
∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，
由（2）可知：HE＝CF＝3，
在Rt△DEH中，DH＝＝＝12，
∴DH＝AE＝CE'＝12，
∴BE＝AH＝E'B＝9，
在Rt△BCE′中，BC2＝E'B2+E'C2，
即BC＝＝15，
∴AB＝BC＝15．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/26 0:54:58；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264

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