數(shù)學(xué)
（滿分150分， 120分鐘完成）
A 卷（滿分100分）
一．選擇題（每題各3分，共30分）
1．2023年9月9日，上海微電子研發(fā)的28nm浸沒(méi)式光刻機(jī)的成功問(wèn)世，標(biāo)志著我國(guó)在光刻機(jī)領(lǐng)域邁出了堅(jiān)實(shí)的一步．已知為米（ ）
A．B．C．D．
2．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列三條線段的長(zhǎng)度，能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．5，8，12C．2，5，7D．6，7，14
4．下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，則的值為( )
A．9B．C．27D．
6．如圖，已知，將一塊直角三角板按如圖的位置放置，使直角頂點(diǎn)E在直線上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在中，關(guān)于高的說(shuō)法正確的是（ ）
A．線段是邊上的高B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高D．線段是邊上的高
8．已知和互余，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在中，，，是的一條角平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
10．下表反映的是某地區(qū)電的使用量x（千瓦時(shí)）與應(yīng)繳電費(fèi)y（元）之間的關(guān)系：
以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量
B．用電量每增加1千瓦時(shí)，電費(fèi)增加元
C．若所繳電費(fèi)為元，則用電量為7千瓦時(shí)
D．若用電量為8千瓦時(shí)，則應(yīng)繳電費(fèi)元
二．填空題（每題各4分，共20分）
11．已知，則＝ ．
12．若，則 ；
13．若中，，那么 度．
14．已知某地的地面氣溫是20℃，如果每升高1000m氣溫下降6℃，則氣溫t（℃）與高度h（m）的函數(shù)關(guān)系式為 ．
15．用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若，則的度數(shù)為 度．
三．解答題（共50分）
16．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
17．（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
（2）已知，求的值．
18．游泳池應(yīng)定期換水，某游泳池在一次換水前存水量為936立方米，換水時(shí)關(guān)閉進(jìn)水孔打開排水孔，當(dāng)放水時(shí)間增加時(shí)，游泳池的存水量隨之減少，直至游泳池的水放完，它們的變化情況如表：
(1)設(shè)放水時(shí)間為小時(shí)，游泳池的存水量為立方米，寫出與的關(guān)系式（不要求寫自變量范圍）．
(2)求當(dāng)游泳池的存水量為234立方米時(shí)，已經(jīng)放了幾個(gè)小時(shí)的水？
19．如圖，，，．
(1)求的度數(shù)；
(2)若平分，求的度數(shù)．
20．如圖，在中，，分別是的高和角平分線，

(1)如圖1，若，，求；
(2)若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線交直線于點(diǎn)H，交直線于點(diǎn)，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，請(qǐng)寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
B卷（滿分50分）
一、填空題（每題4分，共20分）
21．若多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積的展開式中不含項(xiàng)與項(xiàng)，則 ．
22．如圖，點(diǎn)D、E、F在內(nèi)，點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，且，已知的面積是1，則的面積為 ．
23．如圖，已知，和分別平分和，若，則 度．（用含m的代數(shù)式表示）
24．若，，則的最小值為 ．
25．如圖，，點(diǎn)在直線左側(cè)，，，射線從射線出發(fā)，繞點(diǎn)B以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)射線從射線出發(fā)，繞點(diǎn)C以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)時(shí)兩條射線都停止旋轉(zhuǎn)．射線與射線交于點(diǎn)，若，則射線旋轉(zhuǎn)了 秒．

二、解答題（共30分）
26．對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)，，，，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)與．我們規(guī)定：．例如：．
根據(jù)上述規(guī)定解決下列問(wèn)題：
(1)計(jì)算；
(2)若是一個(gè)完全平方式，求常數(shù)的值；
(3)若，，求的值．
27．某車間的甲、乙兩名工人分別同時(shí)生產(chǎn)同一種零件，他們一天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)（個(gè)）與生產(chǎn)時(shí)間（時(shí)）的關(guān)系如圖所示：
(1)在生產(chǎn)過(guò)程中，直接寫出甲、乙兩人中誰(shuí)因機(jī)器故障停止生產(chǎn)？并直接寫出停止生產(chǎn)了幾小時(shí)？
(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)在哪一段時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)速度最快；
(3)當(dāng)甲比乙多生產(chǎn)2個(gè)零件時(shí)，求出所對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)時(shí)間．
28．已知，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線、，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)為直線、之間區(qū)域的一點(diǎn)，，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若點(diǎn)為直線、之間區(qū)域的一點(diǎn)，和的角平分線交于點(diǎn)．請(qǐng)說(shuō)明：；
(3)如圖3，若點(diǎn)、是直線上的點(diǎn)，連接，直線交的角平分線于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)．當(dāng)時(shí)，求（用含的代數(shù)式表示）．
參考答案與解析
1．B
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．由此即可求解，確定的取值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．
故選：B．
2．C
【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，積的乘方和冪的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，注意積的乘方和冪的乘方指數(shù)是相乘，同底數(shù)冪乘除法指數(shù)是相加減．
【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算正確，符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
3．B
【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系．根據(jù)三角形三邊關(guān)系“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：A選項(xiàng)：，故不能構(gòu)成三角形；
B選項(xiàng)：，故能構(gòu)成三角形；
C選項(xiàng)：，故不能構(gòu)成三角形；
D選項(xiàng)：，故不能構(gòu)成三角形．
故選：B．
4．B
【分析】題目主要考查平方差公式的計(jì)算，熟練掌握平方差公式的形式是解題關(guān)鍵
【詳解】解：A、C、D選項(xiàng)都符合平方差公式的形式，故不符合題意；
B選項(xiàng)不符合平方差公式的形式，故符合題意；
故選：B
5．A
【分析】先對(duì)因式分解，然后將代入求解即可．
【詳解】解：∵，即，
∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和平方差公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用因式分解是正確解答本題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．根據(jù)平角的定義得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．
【詳解】如圖，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：D．
7．B
【分析】本題主要考查了三角形高的定義，從三角形一個(gè)端點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作一條垂線，三角形頂點(diǎn)和垂足之間的線段稱三角形這條邊上的高，據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、線段是邊上的高，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、線段是邊上的高，原說(shuō)法正確，符合題意；
C、線段是邊上的高，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、線段是邊上的高，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
8．B
【分析】此題考查了余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角的性質(zhì)．
根據(jù)余角的性質(zhì)直接解答．
【詳解】∵和互余，，
∴．
故選：B．
9．A
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義即可求得的度數(shù)．
本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵。
【詳解】∵中，，，
，
∵平分，
，
故選：A．
10．C
【分析】根據(jù)圖表，先寫出函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)．
【詳解】解：由圖表可知：應(yīng)交電費(fèi)與用電量間的關(guān)系為，
對(duì)于這個(gè)函數(shù)關(guān)系，x、y都是變量，x是自變量，y是x的函數(shù)．所以選項(xiàng)A正確，不符合題意；
根據(jù)圖表可知，用電量每增加1千瓦時(shí)，電費(fèi)增加元，選項(xiàng)B正確，不符合題意；
當(dāng)元時(shí)，（千瓦時(shí)），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
當(dāng)千瓦時(shí)，（元），故選項(xiàng)D正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．題目難度不大，根據(jù)圖表列出函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
11．
【分析】利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則即可解答．
【詳解】∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
12．2
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出的結(jié)果即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
13．
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度結(jié)合已知條件求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
故答案為：．
14．t=﹣0.006h+20
【分析】根據(jù)題意得到每升高1m氣溫下降0.006℃，由此寫出關(guān)系式即可．
【詳解】∵每升高1000m氣溫下降6℃，
∴每升高1m氣溫下降0.006℃，
∴氣溫t（℃）與高度h（m）的函數(shù)關(guān)系式為t=﹣0.006h+20，
故答案為t=﹣0.006h+20．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，正確找出氣溫與高度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15．130
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，先由折疊的性質(zhì)得到，再由平角的定義得到，則由平行線的性質(zhì)可得．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】題目主要考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算及整式的乘法運(yùn)算，零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵
（1）先計(jì)算有理數(shù)的乘方運(yùn)算、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后計(jì)算加減法即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算即可；
（3）先計(jì)算積的乘方，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘法，最后計(jì)算加減法即可；
（4）利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可
【詳解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
17．（1）；；（2）12
【分析】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）先根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后代入數(shù)據(jù)求值即可；
（2）由得出，將變形，然后代入求值即可．
【詳解】解：（1）
，
把，代入得：原式；
（2）∵，
∴，
∴
．
18．(1)
(2)9
【分析】本題考查了函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)：變量，求函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)；
（1）根據(jù)題中表格信息，列出函數(shù)解析式即可；
（2）利用解析（1）列出的函數(shù)解析式，把代入求出t的值即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，每小時(shí)放水量為78立方米，
∴與的函數(shù)關(guān)系式為：．
（2）解：把代入得：
，
解得：，
答：當(dāng)游泳池的存水量為234立方米時(shí)，已經(jīng)放了9個(gè)小時(shí)的水．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出即可；
（2）根據(jù)平分，，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出答案即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行同位角相等．
20．(1)
(2)①，理由見(jiàn)解析；②成立，理由見(jiàn)解析
【分析】題目主要考查三角形的高線和角平分線，三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得出，確定，再由角平分線得出，即可求解；
（2）①根據(jù)題意得出，，利用三角形外角的性質(zhì)得出，進(jìn)行等量代換求解即可；
②根據(jù)垂直及等角的余角相等得出，再由角平分線及等量代換代入求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴；
（2）①∵，，，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
21．3
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先計(jì)算，得出，再根據(jù)展開式中不含項(xiàng)與x項(xiàng)，求出，，然后求出結(jié)果即可．
【詳解】解：
，
∵展開式中不含項(xiàng)與x項(xiàng)，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案為：3．
22．10
【分析】本題考查的是三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相對(duì)的兩部分是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積間的關(guān)系計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，，
∵E分別為的中點(diǎn)，
，
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵E分別為的中點(diǎn)，
∴，
∴
．
故答案為：10．
23．
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
過(guò)作，過(guò)作，可得，，，，，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)作，過(guò)作，
，
，
，，，，
設(shè)，，
，，
和分別平分和，
， ，
，，
，，
，
，
解得：，
；
故答案為：．
24．
【分析】本題主要考查完全平方公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，然后根據(jù)完全平方公式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，即，，
∴
，
∵，
∴，
∴最小值為；
故答案為：．
25．25或65
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)，先求出，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)，如圖所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖所示：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
綜上分析可知：射線旋轉(zhuǎn)了25秒或65秒．
故答案為：25或65．
26．(1)14
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，完全平方公式的變形求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．
（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；
（2）原式利用題中的新定義計(jì)算求出，然后再根據(jù)完全平方公式，即可求出k的值；
（3）原式利用題中的新定義計(jì)算得出，根據(jù)，得出，求出的值即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
27．(1)甲因機(jī)器故障停止生產(chǎn)；停止生產(chǎn)了2小時(shí)
(2)甲在時(shí)內(nèi)，生產(chǎn)速度快
(3)當(dāng)甲比乙多生產(chǎn)2個(gè)零件時(shí)，所對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)時(shí)間為時(shí)或時(shí)
【分析】本題考查了從圖象中獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相關(guān)的信息．
（1）根據(jù)圖象信息進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)圖象可得各個(gè)時(shí)段甲、乙的生產(chǎn)速度，從而得出生產(chǎn)速度最快的時(shí)間段；
（3）分兩種情況討論：在甲停產(chǎn)之前，在甲又恢復(fù)生產(chǎn)后，分別列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：由圖象可知，甲工作2個(gè)小時(shí)后，因機(jī)器故障停止生產(chǎn)，且停止生產(chǎn)時(shí)間為：
（小時(shí)）；
（2）解：由圖象可知：
甲在時(shí)，生產(chǎn)速度為（個(gè)/時(shí)）；
甲在時(shí)，生產(chǎn)速度為（個(gè)/時(shí)）；
乙在時(shí)，生產(chǎn)速度為（個(gè)/時(shí)）；
甲在時(shí)，生產(chǎn)速度為（個(gè)/時(shí)）；
∴甲在時(shí)，生產(chǎn)速度最快．
（3）解：在甲停產(chǎn)之前，根據(jù)題意得：，
解得：；
在甲又恢復(fù)生產(chǎn)后，根據(jù)題意得：，
解得：；
答：當(dāng)甲比乙多生產(chǎn)2個(gè)零件時(shí)，所對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)時(shí)間為時(shí)或時(shí)．
28．(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，然后求出結(jié)果即可．
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)角平分線的定義得出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可．
（3）分點(diǎn)P在H的左側(cè)和右側(cè)，畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴
．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，如圖所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
；
即；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角的平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線公理的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
用電量x（千瓦時(shí)）
1
2
3
4
5
…
應(yīng)繳電費(fèi)y（元）
…
放水時(shí)間小時(shí)
1
2
3
4
5
游泳池的存水量立方米
858
780
702
624
546

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