一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽車的車標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）一個三角形兩邊的長分別是3和5，則這個三角形第三邊的長可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
3．（4分）點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，則a的值為（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
4．（4分）下列運算正確的是（ ）
A．x?x2＝x2B．（xy）2＝xy2C．（x2）3＝x6D．x2+x2＝x4
5．（4分）如圖，過△ABC的頂點B，作AC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如圖，已知AC＝BD，添加下列條件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AE＝DED．AB＝CD
7．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，則點D到AB的距離為（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．不能確定
8．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D為BC中點，則線段AD的取值范圍是（ ）
A．7＜AD＜9B．1＜AD＜4C．2＜AD＜16D．1＜AD＜8
9．（4分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊后恰好使得點A落到邊BC上的點G處，若∠GEF＝α，則∠FGC＝（ ）
A．αB．2αC．90°﹣2αD．180°﹣2α
10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D，E的運動而變化；④△DEF面積的最小值為2；⑤△CDE面積的最大值為4，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①③⑤B．①②④C．②③④D．①②⑤
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是 ．
12．（4分）y4?y3?y2?y＝ ，（﹣x2y）2＝ ．
13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交CB、AB于點D和E，∠B＝30°，CD＝3，則BD的長為 ．
14．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．則∠ADC的度數(shù)為 ．
15．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于 ．
16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延長AB至點E，連接CE，若△AEC的周長為25，則△BCE的周長為 ．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD、AC上的動點，則EC+EF的最小值為 ．
18．（4分）若一個三位正整數(shù)m=abc（各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對于一個“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）=m+n9．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．則最小的“吉祥數(shù)”是 ；對于任意一個“吉祥數(shù)”m，若F（m）能被7整除，則滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是 ．
三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，20～26題每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。
19．（8分）（1）（﹣2x3）3?（x2）2；
（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．
（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖中，連接CE，求證：AB∥CE．（請補全下面的證明過程）
證明：∵點D為BC邊上的中點，
∴DC＝DB，（ ）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，（ ）
∴AD＝ ，
在△ADB和△EDC中，
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC，（ ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ ）．
21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上且BE＝BD，連接AE、DE、DC．
（1）求證：AE＝CD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．
22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點A2，B2，C2的坐標(biāo)；
（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最?。?biāo)出點P位置，直接寫出點P的坐標(biāo)）
23．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求證：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的長．
24．（10分）（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，直線a∥AB，D為邊BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°，求證：CD+CE＝CA．
25．（10分）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE，利用所學(xué)知識解決下列問題：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求證：BD＝CE；
（2）連接BE，當(dāng)點D在線段BE上時：
①如圖2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠BEC的度數(shù)為 ，線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
②如圖3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM為△ADE中DE邊上的高，求出∠BEC的度數(shù)以及線段AM、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
26．（10分）已知：平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，點A（a，b），AB⊥x軸于點B，并且滿足a+4+|b-4|=0．
（1）試判斷△AOB的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，若點C為線段AB的中點，連OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，連AD交x軸于點E，求證：BC＝2BE．
（3）如圖3，點M為點B的左邊x軸負(fù)半軸上一動點，以AM為一邊作∠MAN＝45°交y軸負(fù)半軸于點N，連MN，將△AMN沿直線AN翻折，點M的對應(yīng)點為M′，點P是x軸上的一動點，當(dāng)OM'=12AB且△PAM′的周長最小時，請直接寫出S△PAM'S△PMM'的值．
2024-2025學(xué)年重慶市開州區(qū)云楓中學(xué)教育集團(tuán)七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的框涂黑．
1．（4分）下列新能源汽車的車標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到多條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：C．
2．（4分）一個三角形兩邊的長分別是3和5，則這個三角形第三邊的長可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【答案】D
【解答】解：設(shè)三角形第三邊的長為x，則：
5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
只有選項D符合題意．
故選：D．
3．（4分）點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，則a的值為（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，
∴a＝3．
故選：A．
4．（4分）下列運算正確的是（ ）
A．x?x2＝x2B．（xy）2＝xy2C．（x2）3＝x6D．x2+x2＝x4
【答案】C
【解答】解：A、x?x2＝x3同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加，故本選項錯誤；
B、（xy）2＝x2y2，積的乘方，等于各因式乘方的積，故本選項錯誤；
C、（x2）3＝x6，冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，故本選項正確；
D、x2+x2＝2x2，故本選項錯誤．
故選：C．
5．（4分）如圖，過△ABC的頂點B，作AC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：AC邊上的高命中兩個條件：①經(jīng)過點B．②垂直AC；
故選：D．
6．（4分）如圖，已知AC＝BD，添加下列條件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AE＝DED．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：由題可知AC＝BD，BC＝CB，
A．∠A＝∠D，屬于邊邊角，不能證明△ABC≌△DCB，故本選項符合題意；
B．∠ACB＝∠DBC，利用SAS證明△ABC≌△DCB，故本選項不符合題意；
C．∵AE＝DE，
∴BE＝CE，
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），故本選項不符合題意；
D．AB＝CD，利用SSS證明△ABC≌△DCB，故本選項不符合題意；
故選：A．
7．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，則點D到AB的距離為（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．不能確定
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距離即為CD長
CD＝5﹣3＝2
故選：C．
8．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D為BC中點，則線段AD的取值范圍是（ ）
A．7＜AD＜9B．1＜AD＜4C．2＜AD＜16D．1＜AD＜8
【答案】D
【解答】解：延長AD到點E，使ED＝AD，連接BE，則AE＝2AD，
∵D為BC中點，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
BD=CD∠EDB=∠ADCED=AD，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∵AB＝9，AC＝7，
∴EB＝AC＝7，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，
∴9﹣7＜2AD＜9+7，
∴1＜AD＜8，
故選：D．
9．（4分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊后恰好使得點A落到邊BC上的點G處，若∠GEF＝α，則∠FGC＝（ ）
A．αB．2αC．90°﹣2αD．180°﹣2α
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∵△EGF是△EAF沿直線EF折疊得到的，
∴∠AEF＝∠GEF＝α，∠A＝∠EGF＝90°．
在Rt△EBG中，
∵∠BEG+∠BGE＝90°，
又∵∠BGE+∠FGC＝90°，
∴∠BEG＝∠FGC．
∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，
即a+a+∠BEG＝180°，
∴∠FGC＝∠BEG＝180°﹣2a．
故選：D．
10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D，E的運動而變化；④△DEF面積的最小值為2；⑤△CDE面積的最大值為4，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①③⑤B．①②④C．②③④D．①②⑤
【答案】B
【解答】解：連接CF，作FH⊥AC于點H，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
∵F是AB邊的中點，
∴CF＝BF＝AF=12AB，CF⊥AB，∠DCF＝∠BCF=12∠ACB＝45°，
∴∠BFC＝∠AFC＝90°，∠DCF＝∠B，
∵AD＝CE，
∴CD＝AC﹣AD＝BC﹣CE＝BE，
在△DCF和△EBF中，
CD=BE∠DCF=∠BCF=BF，
∴△DCF≌△EBF（SAS），
∴∠CDF＝∠BEF，∠CFD＝∠BFE，DF＝DE，S△DCF＝S△EBF，
故①正確；
∴∠DFE＝∠CFD+∠CFE＝∠BFE+∠CFE＝∠BFC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故②正確；
∵S△ABC=12AC?BC=12×4×4＝8，
∴S△AFC＝S△BFC=12S△ABC＝4，
∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△ECF＝S△EBF+S△ECF＝S△BFC＝4，
∴四邊形CDFE的面積不隨D，E的運動而變化，
故③錯誤；
∵CF＝AF，∠AFC＝90°，F(xiàn)H⊥AC于點H，
∴HF＝HC＝HA=12AC＝2，
∴12HF2=12×22＝2，
∵DF≥HF，S△DEF=12DF2，
∴12DF2≥12HF2，
∴S△DEF≥2，
∴S△DEF的最小值是2，
故④正確；
∵S△CDE＝S四邊形CDFE﹣S△DEF＝4﹣S△DEF，
∴當(dāng)S△DEF取得最小值2時，S△CDE取得最大值2，
故⑤錯誤，
故選：B．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是 5 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
則（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5，
故答案為：5．
12．（4分）y4?y3?y2?y＝ y10 ，（﹣x2y）2＝ x4y2 ．
【答案】y10，x4y2．
【解答】解：y4?y3?y2?y＝ y4+3+2+1＝y(tǒng)10，
（﹣x2y）2＝x4y2．
故答案為：y10，x4y2．
13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交CB、AB于點D和E，∠B＝30°，CD＝3，則BD的長為 6 ．
【答案】6．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，CD＝3，
∴DA＝2CD＝6，
∴BD＝AD＝6．
故答案為：6．
14．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．則∠ADC的度數(shù)為 65° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：解法一：連接EF．
∵點E、F是以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別與AB、AC的交點，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；
∴AG是線段EF的垂直平分線，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個銳角互余）；
解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線，∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個銳角互余）；
故答案為：65°．
15．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵點D是邊BC的中點，△ABC的面積等于8，
∴S△ABD=12S△ABC＝4，
∵E是AB的中點，
∴S△BDE=12S△ABD=12×4=2，
故答案為：2．
16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延長AB至點E，連接CE，若△AEC的周長為25，則△BCE的周長為 19 ．
【答案】19．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝AC＝6，
∵△AEC的周長為25，
∴AE+EC＝25﹣AC＝25﹣6＝19，
∴△BCE的周長＝BE+BC+CE＝BE+AB+CE＝AE+EC＝19，
故答案為：19．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD、AC上的動點，則EC+EF的最小值為 5 ．
【答案】5．
【解答】解：在AB上取一點F'，使AF'＝AF，連接EF'，CF'，過點C作CH⊥AB于點H，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝∠EAF'，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF＝EF'，
∴EC+EF＝EC+EF'≥CF'≥CH，
∴EC+EF的最小值為CH，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝30°，
∵CD=103，
∴AD＝2CD=203，
在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AC=AD2-CD2=(203)2-(103)2=1033，
在Rt△ABC中，
AB＝2AC=2033，
由勾股定理，得BC=AB2-AC2=(2033)2-(1033)2=10，
在Rt△BCH中，
CH=12BC＝5．
故答案為：5．
18．（4分）若一個三位正整數(shù)m=abc（各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對于一個“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）=m+n9．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．則最小的“吉祥數(shù)”是 117 ；對于任意一個“吉祥數(shù)”m，若F（m）能被7整除，則滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是 351 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，這個三位數(shù)要最小，
∴百位上是1，十位上是1，
∴個位是7，
∴最小的“吉祥數(shù)”是 117；
（2）設(shè)m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，則n＝100c+10b+a，
∴F（m）=100a+10b+c+100c+10b+a9=101(a+c)+20b9=101(9-b)+20b9=909-81b9=101﹣9b，
∵a+b+c＝9，且a，b，c均不為0，
∴b＝1，2，，
當(dāng)b＝1時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×1＝92，不能被7整除，不合題意，
當(dāng)b＝2時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×2＝83，不能被7整除，不合題意，
當(dāng)b＝3時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×3＝74，不能被7整除，不合題意，
當(dāng)b＝4時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×4＝65，不能被7整除，不合題意，
當(dāng)b＝5時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×5＝56，能被7整除，符合題意，
∴a+c＝4，
∴a=1c=3，a=2c=2，a=3c=1，
∴m＝153或252或351，
當(dāng)b＝6時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×6＝47，不能被7整除，不合題意，
當(dāng)b＝7時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×7＝38，不能被7整除，不合題意，
∴滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是315．
故答案為：117，351．
三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，20～26題每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。
19．（8分）（1）（﹣2x3）3?（x2）2；
（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7．
【答案】（1）﹣8x13；
（2）0．
【解答】解：（1）（﹣2x3）3?（x2）2
＝﹣8x9?x4
＝﹣8x13；
（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7
＝2x6?x3﹣27x9+25x2?x7
＝2x9﹣27x9+25x9
＝0．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．
（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖中，連接CE，求證：AB∥CE．（請補全下面的證明過程）
證明：∵點D為BC邊上的中點，
∴DC＝DB，（ 線段中點的定義 ）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，（ ASA ）
∴AD＝ ED ，
在△ADB和△EDC中，
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC，（ SAS ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）．
【答案】（1）作圖見解析過程；
（2）線段中點的定義；ASA；ED；SAS；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
【解答】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）證明：∵點D為BC邊上的中點，
∴DC＝DB，（線段中點的定義）
在△ADC和△EDB中，
∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB
∴△ADC≌△EDB（ASA）
∴AD＝ED，
在△ADB和△EDC中
DB=DC∠ADB=∠EDCAD=ED，
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為線段中點的定義；ASA；ED；SAS；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上且BE＝BD，連接AE、DE、DC．
（1）求證：AE＝CD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】7已修改，（1）證明：在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBD=90°BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°﹣15°＝75°．
22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點A2，B2，C2的坐標(biāo)；
（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最小．（標(biāo)出點P位置，直接寫出點P的坐標(biāo)）
【答案】（1）見解答．
（2）點A2的坐標(biāo)為（2，﹣4），點B2的坐標(biāo)為（1，﹣2），點C2的坐標(biāo)為（5，﹣3）．
（3）畫圖見解答；點P的坐標(biāo)為（135，0）．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）由題意得，點A2的坐標(biāo)為（2，﹣4），點B2的坐標(biāo)為（1，﹣2），點C2的坐標(biāo)為（5，﹣3）．
（3）如圖，連接B2C交x軸于點P，連接BP，
此時PB+PC＝PB2+PC＝B2C，為最小值，
則點P即為所求．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），
∵S△B2BC=S△B2BP+S△BCP，
∴12×4×4=12×4×(m-1)+12×[(m-1)+4]×3-12×2×(m-1)-12×4×1，
解得m=135，
∴點P的坐標(biāo)為（135，0）．
23．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求證：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的長．
【答案】（1）見詳解；（2）8．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF為等腰三角形．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝4．
又∵CE＝CF＝4，
∴DF＝4+4＝8．
24．（10分）（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，直線a∥AB，D為邊BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°，求證：CD+CE＝CA．
【答案】（1）DA＝DC+DB，理由見解答過程；
（2）證明見解答過程．
【解答】（1）解：DA＝DC+DB，理由如下：
如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABD=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，
即DA＝DC+DB；
（2）證明：在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵直線a∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
∠ADM=∠EDCMD=CD∠AMD=∠ECD，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
即CD+CE＝CA．
25．（10分）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE，利用所學(xué)知識解決下列問題：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求證：BD＝CE；
（2）連接BE，當(dāng)點D在線段BE上時：
①如圖2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠BEC的度數(shù)為 60° ，線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是 BD＝CE ；
②如圖3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM為△ADE中DE邊上的高，求出∠BEC的度數(shù)以及線段AM、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；
（2）①60°，BD＝CE；②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由見解析．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝35°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABC和△ADE均是等邊三角形，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
同（1）可證明△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°；
故答案為：60°，BD＝CE；
②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由如下：
同（1）可證明BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，
∵AD＝AE，AM為△ADE中DE邊上的高，
∴DM＝ME＝AM，
∴BE＝BD+DE＝CE+2AM．
26．（10分）已知：平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，點A（a，b），AB⊥x軸于點B，并且滿足a+4+|b-4|=0．
（1）試判斷△AOB的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，若點C為線段AB的中點，連OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，連AD交x軸于點E，求證：BC＝2BE．
（3）如圖3，點M為點B的左邊x軸負(fù)半軸上一動點，以AM為一邊作∠MAN＝45°交y軸負(fù)半軸于點N，連MN，將△AMN沿直線AN翻折，點M的對應(yīng)點為M′，點P是x軸上的一動點，當(dāng)OM'=12AB且△PAM′的周長最小時，請直接寫出S△PAM'S△PMM'的值．
【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形．理由見解答過程；
（2）證明見解答過程；
（3）87．
【解答】（1）解：△AOB是等腰直角三角形．
理由如下：∵a+4+|b-4|=0，
∴a+4＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴點A的坐標(biāo)為（﹣4，4），
∵AB⊥x軸于點B，
∴∠ABO＝90°，AB＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形；
（2）如圖2，過點D作DE⊥x軸于點E，
∴∠DEO＝∠OBC＝90°，
∵OD⊥OC，
∴∠DOC＝90°，
∴∠BOC+∠BCO＝∠BOC+∠DOE＝90°，
∴∠BCO＝∠DOE，
又∵∠DEO＝∠OBC，OD＝OC，
∴△BOC≌△DOE（AAS），
∴OE＝BC，DE＝AB，
∵點C為線段AB的中點，AB＝OB＝4，
∴OE＝BC＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，
設(shè)AD與x軸交于點F，
∵∠ABF＝∠DEF＝90°，∠AFB＝∠DFE，AB＝DE，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF=12BE＝1，
又∵BC＝2，
∴BC＝2BE；
（3）如圖3，作出點M'關(guān)于x軸的對稱點M“，
連接AM“，交x軸于點P，
此時△PAM′的周長最小，
過點A作AG⊥y軸，連接MM'，
∴四邊形ABOG為正方形，
∴OG＝AG＝AB＝4，
又∵AM'＝AM，∠ABM＝∠AGM'＝90°，
∴Rt△ABM≌Rt△AGM'（HL），
∴BM＝GM'，
∵＝2，OG＝4，
∴BM＝GM'＝2，
設(shè)直線AM“的解析式為y＝kx+b，
把點A（﹣4，4），點M''（0，﹣2）分別代入y＝kx+b，得：
-4k+b=4b=-2，
解得：k=-32b=-2，
∴直線AM“的解析式為y=-32x﹣2，
當(dāng)y＝0時，x=-43，
∴點P坐標(biāo)為（-43，0）
∴OP=43，BP=83，
S△PAM'＝S正方形ABOG﹣S△ABP﹣S△POM'﹣S△AGM'＝4×4-12×4×83-12×4×2-12×2×43=16-163-4-43=163，
S△PMM'=12MP×OM'=12×（2+83）×2=143，
∴S△PAM'S△PMM'=163143=87．

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