?2023-2024學(xué)年重慶市開州區(qū)云楓教育集團九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
?一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的絕對值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．（4分）下列圖形是化學(xué)中常用實驗儀器的平面示意圖，從左至右分別代表廣口瓶、圓底瓶、蒸餾燒瓶和錐形瓶，其中不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（4分）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，則∠BAD的度數(shù)為（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（4分）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形
（　?。?br />
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
5．（4分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x+k的圖象大致是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．（4分）把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4個三角形，第②個圖案中有6個三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案中三角形的個數(shù)為（　?。?br />
A．14 B．16 C．18 D．20
7．（4分）估計的值應(yīng)在（　　）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
8．（4分）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城，在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（km）（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法錯誤的是（　?。?br />
A．A，B兩城相距300千米
B．乙車比甲車晚出發(fā)1小時，卻早到1小時
C．乙車出發(fā)后1.5小時追上甲車
D．在一車追上另一車之前，當(dāng)兩車相距40千米時，t＝
9．（4分）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E是BC邊上一點，連接DE，EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱（　?。?br />
A． B．2 C．2﹣ D．
10．（4分）在多項式a+b+c+d+e中添加1個絕對值符號，使得絕對值符號內(nèi)含有k（2≤k≤5）項，并把絕對值符號內(nèi)最右邊項的“+”改為“﹣”，得到的結(jié)果記為M．例如：將原多項式添加絕對值符號后，可得|a+b|+c+d+e，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一種“絕對操作”得到的M有2種可能的情況：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列說法正確的個數(shù)為①若k＝5，M＝0；②共有2種“絕對操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e，使得可能得到的M中有且只有2個“﹣”（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的撗線上．
11．（4分）（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝　 ?。?br /> 12．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一個根，則2022﹣m2+3m的值為 　 ?。?br /> 13．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為 　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，AB＝AC＝5，BC＝6，則AD＝　 ?。?br />
15．（4分）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是　 　．
17．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，連接BE．若BE＝2，OC＝5，則O到CD的距離為 　 ?。?br /> ?

18．（4分）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題．
材料一：對于個位數(shù)字非零的任意三位數(shù)M，將個位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)得到M′，則稱M′為M的“倒序數(shù)”，F(xiàn)（M）表示一個數(shù)與它的“倒序數(shù)”的差的絕對值與99的商，如：325的“倒序數(shù)”為523，F(xiàn)（325）＝＝2；
材料二：任意三位數(shù)滿足：c＞a且a+c＝3b，稱這個數(shù)為“登高數(shù)”．如：138為“登高數(shù)”，且F（M）＝3，則M的最大值為 　 　．
三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計算：
（1）（x﹣y）（x+2y）﹣（2x﹣y）2；
（2）．
20．（10分）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明發(fā)現(xiàn)將矩形ABCD折疊，使得點B與點D重合，折痕平分矩形的面積．他想對此折痕平分矩形的面積進行證明．他的思路是首先作出線段BD的垂直平分線，通過三角形全等的證明，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作BD的垂直平分線MN，交BC于點N，垂足為點O．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴①　 　，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②　 　，
∴③　 　，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四邊形ABNM＝S四邊形ABOM+S△BON+S△BON，
＝S四邊形ABOM+S△DOM，
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④　 　，
即MN平分矩形ABCD的面積．

21．（10分）2022年，教育部制定了獨立的《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：以勞動項目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的核心勞動素養(yǎng)，某校分別從該校七、八年級學(xué)生中各隨機調(diào)查了100名學(xué)生，勞動時間記為x分鐘，將所得數(shù)據(jù)分為5個組別（A組：90≤x≤100；B組：80≤°x＜90；C組：70≤x＜80；D組：60≤x＜70；E組：0≤x＜60），得到如下統(tǒng)計：
①八年級B組學(xué)生上周勞動時間從高到低排列，排在最后的10個數(shù)據(jù)分別是：
82，82，81，81，81，80，80
②八年級100名學(xué)生上周勞動時間頻數(shù)分布統(tǒng)計表：
分組
A
B
C
D
E
頻數(shù)
14
b
28
13
6
③七、八年級各100名學(xué)生上周帶動時間的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
81.3
79.5
82
八年級
81.3
c
83
④七年級100名學(xué)生上周勞動時間分布扇形統(tǒng)計圖如圖．
請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ?。?br /> （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認為七、八年級哪個年級學(xué)生上周勞動情況更好，請說明理由；（寫出一條理由即可）
（3）已知七年級有800名學(xué)生，八年級有600名學(xué)生，請估計兩個年級上周勞動時間在80分鐘以上（含80分鐘）

22．（10分）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周圍30海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

23．（10分）隨著六一國際兒童節(jié)的臨近，兒童產(chǎn)品逐漸熱銷．去年5月某兒童用品超市購進A，B兩款兒童玩具共180套進行銷售
（1）夢夢小朋友的媽媽去年5月買了3個A款玩具和5個B款玩具一共花費275元，則去年5月A，B兩款玩具銷售單價分別是多少元？
（2）已知去年5月初，為了購進這批兒童產(chǎn)品，該商場花費1920元購買A款玩具，且購入一個A款玩具和一個B款玩具成本之比為2：3，去年5月購進B款玩具多少套？
24．（10分）如圖1，△ABC為等邊三角形，AB＝6，以每秒1個單位長度沿著BA運動到A點停止，作DE⊥AB交直線AC于E，點D的運動時間為t．
（1）直接寫出y與t之間的函數(shù)表達式，并寫出對應(yīng)t的取值范圍；
（2）在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合圖象直接寫出y＝5時t的值．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）

25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），且與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點C（m，4）．
（1）求m的值及一次函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若點P是x軸上的一個動點，連接PB，當(dāng)PB+PC最小時，求PB+PC的最小值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）將（2）問中PB+PC最小時的P點向右平移個單位長度，點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個點，當(dāng)以點A，M，N，請直接寫出符合條件的所有點N的坐標(biāo)，并選其中一個寫出求解過程．

26．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是邊AC上一點，連接DB
（1）如圖1，若∠DBC＝4∠DCE，BE＝2；
（2）如圖2，在EC上截取EF＝EB，連接AF交BD于點G；
（3）如圖3，若CD＝CB，AC＝8，連接MD，將線段MD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段M′D，點Q是線段BD上一個動點，連接PQ，當(dāng)PQ+M′Q最小時，請直接寫△PBQ的面積．
?

2023-2024學(xué)年重慶市開州區(qū)云楓教育集團九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
?一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的絕對值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】利用絕對值的定義求解即可．
【解答】解：﹣5的絕對值是5，
故選：B．
【點評】本題主要考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是熟記絕對值的定義．
2．（4分）下列圖形是化學(xué)中常用實驗儀器的平面示意圖，從左至右分別代表廣口瓶、圓底瓶、蒸餾燒瓶和錐形瓶，其中不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形；
B、是軸對稱圖形；
C、不是軸對稱圖形；
D、是軸對稱圖形．
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
3．（4分）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，則∠BAD的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠CAB＝130°，由垂直可得∠CAD＝90°，從而可求∠BAD的度數(shù)．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝130°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝40°．
故選：B．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
4．（4分）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形
（　?。?br />
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再添加AC＝BD，可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵四邊形ABCD的對角線互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，
∴四邊形ABCD是矩形，
故選：D．
【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是矩形的判定：
①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
②有三個角是直角的四邊形是矩形；
③對角線相等的平行四邊形是矩形．
5．（4分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x+k的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)自正比例函數(shù)的性質(zhì)得到k＜0，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到一次函數(shù)y＝x+k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸的負半軸相交．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∵一次函數(shù)y＝x+k的一次項系數(shù)大于4，常數(shù)項小于0，
∴一次函數(shù)y＝x+k的圖象經(jīng)過第一、三象限．
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象：一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小；圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，b）．
6．（4分）把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4個三角形，第②個圖案中有6個三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案中三角形的個數(shù)為（　?。?br />
A．14 B．16 C．18 D．20
【分析】根據(jù)題目中的圖案，可以寫出前幾個圖案中三角形的個數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)的變化規(guī)律，進而得到第⑧個圖案中三角形的個數(shù)．
【解答】解：由圖可知，
第①個圖案中三角形的個數(shù)為：2×2＝3（個），
第②個圖案中三角形的個數(shù)為：2×3＝5（個），
第③個圖案中三角形的個數(shù)為：2×4＝2（個），
…，
則第⑧個圖案中三角形的個數(shù)為：2×9＝18（個），
故選：C．
【點評】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中三角形個數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
7．（4分）估計的值應(yīng)在（　　）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
【分析】先進行化簡后，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)4+的大小即可．
【解答】解：原式＝4+，
∵6＜＜3，
∴4＜4+＜5，
故選：C．
【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．
8．（4分）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城，在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（km）（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法錯誤的是（　?。?br />
A．A，B兩城相距300千米
B．乙車比甲車晚出發(fā)1小時，卻早到1小時
C．乙車出發(fā)后1.5小時追上甲車
D．在一車追上另一車之前，當(dāng)兩車相距40千米時，t＝
【分析】由圖象所給數(shù)據(jù)可求得甲、乙兩車離開A城的距離y與時間t的關(guān)系式，可求得兩函數(shù)圖象的交點，進而判斷，再令兩函數(shù)解析式的差為40，可求得t，可得出答案．
【解答】解：由圖象可知A、B兩城市之間的距離為300km；
設(shè)甲車離開A城的距離y與t的關(guān)系式為y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
當(dāng)y＝150時，60t＝150，
解得t＝2.8，
故乙的速度：150÷（2.5﹣4）＝100（km/h），
乙到達B地的時間為：1+（300÷100）＝4（h），
設(shè)乙車離開A城的距離y與t的關(guān)系式為y乙＝mt+n，
把（5，0）和（4，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y(tǒng)乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.7，
即甲、乙兩直線的交點橫坐標(biāo)為t＝2.5，
乙的時間：300÷100＝5，
甲行駛的時間為5小時，而乙是在甲出發(fā)1小時后出發(fā)的，即比甲早到5小時；
甲、乙兩直線的交點橫坐標(biāo)為t＝2.5，即乙車出發(fā)6.5小時后追上甲車；
乙還未出發(fā)，甲在，
乙在甲后面40km時，y甲﹣y乙＝40，可得60t﹣100t+100＝40，
即在一車追上另一車之前，當(dāng)兩車相距40千米時或，故D錯誤．
故選：D．
【點評】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)圖象的意義是解題的關(guān)鍵，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．
9．（4分）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E是BC邊上一點，連接DE，EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱（　?。?br />
A． B．2 C．2﹣ D．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)得出DF＝DC和DB＝DC，進而解答即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，DC＝2，
∴DB＝DC＝8，
∴OD＝
∵△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱，
∴DF＝DC＝8，
∴OF＝DF﹣OD＝2﹣，
故選：C．
【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DB和OD解答．
10．（4分）在多項式a+b+c+d+e中添加1個絕對值符號，使得絕對值符號內(nèi)含有k（2≤k≤5）項，并把絕對值符號內(nèi)最右邊項的“+”改為“﹣”，得到的結(jié)果記為M．例如：將原多項式添加絕對值符號后，可得|a+b|+c+d+e，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一種“絕對操作”得到的M有2種可能的情況：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列說法正確的個數(shù)為①若k＝5，M＝0；②共有2種“絕對操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e，使得可能得到的M中有且只有2個“﹣”（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】依據(jù)題意，讀懂題目然后根據(jù)絕對值的意義進行化簡即可得解．
【解答】解：依據(jù)題意，分別分析如下：
①k＝5，即M＝|a+b+c+d+e|＝|a+b+c+d﹣e|＝0，
又4的絕對值是0，
∴a+b+c+d﹣e＝0．
∴a+b+c+d＝e．
∴①正確．
②k＝6，M＝a+|b+c|+d+e＝a+|b﹣c|+d+e．
M＝a+b+|c+d|+e＝a+b+|c﹣d|+e，則可能M＝a+b﹣c+d+e．
k＝3，M＝|a+b+c|+d+e＝|a+b﹣c|+d+e．
∴②正確．
③k＝2時只有5個“﹣”，k＝3時，k＝4時．
∴③錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題時注意結(jié)合分類討論是關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的撗線上．
11．（4分）（﹣2）﹣2+（π﹣2）0＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪運算法則計算即可．
【解答】解：（﹣2）﹣2+（π﹣3）0
＝+1
＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一個根，則2022﹣m2+3m的值為 　2023?。?br /> 【分析】根據(jù)題意可得m2﹣3m+1＝0，從而得到m2﹣3m＝﹣1，再代入，即可求解．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+8＝0的一個根，
∴m2﹣8m+1＝0，
∴m2﹣3m＝﹣1，
∴2022﹣m6+3m＝2022﹣（m2﹣7m）＝2022﹣（﹣1）＝2023．
故答案為：2023．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為 　7?。?br /> 【分析】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴這個多邊形的邊數(shù)為7．
故答案為：7．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等量關(guān)系列出方程從而解決問題．
14．（4分）如圖，AB＝AC＝5，BC＝6，則AD＝　4?。?br />
【分析】由AB＝AC，AD⊥BC，可得BD＝CD＝BC＝3，再用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝4，
故答案為：6．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握并能熟練應(yīng)用勾股定理．
15．（4分）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是　x1＝1，x2＝?。?br /> 【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝3（x﹣1），
3x（x﹣5）﹣2（x﹣1）＝8，
（x﹣1）（3x﹣5）＝0，
∴x﹣1＝8或3x﹣2＝3，
∴x1＝1，x5＝．
故答案為：x4＝1，x2＝．
【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，連接BE．若BE＝2，OC＝5，則O到CD的距離為 　?。?br /> ?

【分析】連接DE交AC于點N，過點O作OM⊥CD于點M，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知CN是DE的垂直平分線，故DN＝EN，∠OND＝90°，再由平行四邊形的性質(zhì)可知OD＝OB，故ON是△BDE的中位線，故ON＝BE＝1，NC＝ON+OC＝1+5＝6，OD＝BD＝3，根據(jù)勾股定理求出DN的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接DE交AC于點N，過點O作OM⊥CD于點M，
∵將△DOC沿著對角線AC翻折得到△EOC，
∴DN＝EN，∠OND＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，BE＝2，BD＝6
∴OD＝OB＝BD＝3，
∴ON是△BDE的中位線，
∴ON＝BE＝1，
∴NC＝ON+OC＝4+5＝6，OD＝，
∴DN＝＝＝2＝＝2，
∴S△ODC＝CD?OM＝，即2，
∴OM＝＝．
故答案為：．

【點評】本題考查的是翻折變換和平行四邊形的性質(zhì)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題．
材料一：對于個位數(shù)字非零的任意三位數(shù)M，將個位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)得到M′，則稱M′為M的“倒序數(shù)”，F(xiàn)（M）表示一個數(shù)與它的“倒序數(shù)”的差的絕對值與99的商，如：325的“倒序數(shù)”為523，F(xiàn)（325）＝＝2；
材料二：任意三位數(shù)滿足：c＞a且a+c＝3b，稱這個數(shù)為“登高數(shù)”．如：138為“登高數(shù)”，且F（M）＝3，則M的最大值為 　659?。?br /> 【分析】通過設(shè)M這個三位數(shù)為100a+10b+c，則根據(jù)材料一，可得M′＝100c+10b+a，再根據(jù)F（M）＝3，形成關(guān)于a，c的關(guān)系式，再根據(jù)c＞a，a+c＝3b，及a，b，c都是0～9之內(nèi)的數(shù)，進行分類討論，最后確定M的最值．
【解答】解：設(shè)M這個三位數(shù)為100a+10b+c，則M′＝100c+10b+c．
∴F（M）＝＝，
∵F（M）＝3，
∴＝3，
整理得，|a﹣c|＝5，
∵c＞a，
∴c﹣a＝3，即c＝a+3．
∵7≤c≤9，
∴1≤a+2≤9，解得﹣2≤a≤6．
∵1≤a≤9，
∴4≤a≤6
∵a+c＝3b，
∴a＝（b﹣1），
∴2≤（b﹣2）≤6≤b≤5．
∴b取整數(shù)，故可取2，8，4，5
又∵b﹣4取偶數(shù)，
∴b取奇數(shù)，故b只能取3，5．
∴當(dāng)b＝6時，a＝，c＝8；
   當(dāng)b＝5時（5﹣1）＝8，此時M＝659
∵求M的最大值，
∴M最大值是659．
故答案為：659．
【點評】本題考查了新定義、不等式的解法、因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵理解掌握題目中的新定義，根據(jù)新定義得出有關(guān)字母的等量關(guān)系，再根據(jù)字母的取值范圍確定字母的值．
三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計算：
（1）（x﹣y）（x+2y）﹣（2x﹣y）2；
（2）．
【分析】（1）原式利用多項式乘多項式法則，以及完全平方公式化簡，去括號合并即可得到結(jié)果；
（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式＝x2+2xy﹣xy﹣5y2﹣（4x6﹣4xy+y2）
＝x5+2xy﹣xy﹣2y8﹣4x2+6xy﹣y2
＝﹣3x3+5xy﹣3y7；
（2）原式＝÷
＝?
＝．
【點評】此題考查了分式的混合運算，多項式乘多項式，以及完全平方公式，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．
20．（10分）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明發(fā)現(xiàn)將矩形ABCD折疊，使得點B與點D重合，折痕平分矩形的面積．他想對此折痕平分矩形的面積進行證明．他的思路是首先作出線段BD的垂直平分線，通過三角形全等的證明，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作BD的垂直平分線MN，交BC于點N，垂足為點O．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴①　AD∥BC　，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②　MN垂直平分線段BD　，
∴③　DO＝BO　，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四邊形ABNM＝S四邊形ABOM+S△BON+S△BON，
＝S四邊形ABOM+S△DOM，
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④　S四邊形ABNM＝S矩形ABCD　，
即MN平分矩形ABCD的面積．

【分析】根據(jù)要求作出圖形，證明△BON≌△DOM（AAS）推出S四邊形ABNM＝S四邊形ABOM+S△BON+S△BON＝S四邊形ABOM+S△DOM＝S△ABD，可得結(jié)論．
【解答】解：圖形如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴①AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DMO＝∠BNO，
∵②MN垂直平分線段BD，
∴③DO＝BO，
∴△BON≌△DOM（AAS），
S四邊形ABNM＝S四邊形ABOM+S△BON+S△BON
＝S四邊形ABOM+S△DOM
＝S△ABD，
又∵S△ABD＝S矩形ABCD，
∴④S四邊形ABNM＝S矩形ABCD，
即MN平分矩形ABCD的面積．
故答案為：AD∥BC，MN垂直平分線段BD，S四邊形ABNM＝S矩形ABCD．
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
21．（10分）2022年，教育部制定了獨立的《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：以勞動項目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的核心勞動素養(yǎng)，某校分別從該校七、八年級學(xué)生中各隨機調(diào)查了100名學(xué)生，勞動時間記為x分鐘，將所得數(shù)據(jù)分為5個組別（A組：90≤x≤100；B組：80≤°x＜90；C組：70≤x＜80；D組：60≤x＜70；E組：0≤x＜60），得到如下統(tǒng)計：
①八年級B組學(xué)生上周勞動時間從高到低排列，排在最后的10個數(shù)據(jù)分別是：
82，82，81，81，81，80，80
②八年級100名學(xué)生上周勞動時間頻數(shù)分布統(tǒng)計表：
分組
A
B
C
D
E
頻數(shù)
14
b
28
13
6
③七、八年級各100名學(xué)生上周帶動時間的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
81.3
79.5
82
八年級
81.3
c
83
④七年級100名學(xué)生上周勞動時間分布扇形統(tǒng)計圖如圖．
請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）a＝　10　，b＝　39　，c＝　80?。?br /> （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認為七、八年級哪個年級學(xué)生上周勞動情況更好，請說明理由；（寫出一條理由即可）
（3）已知七年級有800名學(xué)生，八年級有600名學(xué)生，請估計兩個年級上周勞動時間在80分鐘以上（含80分鐘）

【分析】（1）在扇形統(tǒng)計圖中，先求出“B組”所占的百分比，再求出“A組”所占的百分比，確定a的值，根據(jù)八年級的頻數(shù)之和等于100可求出b的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義求出c的值；
（2）從中位數(shù)、眾數(shù)的大小比較得出答案；
（3）求出七年級、八年級上周勞動時間在80分鐘以上（含80分鐘）的學(xué)生數(shù)即可．
【解答】解：（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖可知，“B組”所占的百分比為，
所以“A組”所占的百分比為1﹣40%﹣25%﹣18%﹣7%＝10%，
即a＝10；b＝100﹣14﹣28﹣13﹣2＝39；
八年級的中位數(shù)在B組，將100名學(xué)生的勞動時間從大到小排列，
即c＝80；
故答案為：10，39；
（2）八年級的較好，理由：八年級學(xué)生參加勞動的時間的中位數(shù)；
（3）（人），
答：七、八年級上周勞動時間在80分鐘以上（含80分鐘）的學(xué)生大約有718人．
【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計總體，理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是正確解答的前提．
22．（10分）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周圍30海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
【解答】解：（1）由題意得，∠PAB＝30°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°，
（2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°，
∴PB＝AB＝40（海里），
過點P作PD⊥AB于點D，在Rt△PBD中，
PD＝BPsin60°＝20（海里），
20＞30，
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）隨著六一國際兒童節(jié)的臨近，兒童產(chǎn)品逐漸熱銷．去年5月某兒童用品超市購進A，B兩款兒童玩具共180套進行銷售
（1）夢夢小朋友的媽媽去年5月買了3個A款玩具和5個B款玩具一共花費275元，則去年5月A，B兩款玩具銷售單價分別是多少元？
（2）已知去年5月初，為了購進這批兒童產(chǎn)品，該商場花費1920元購買A款玩具，且購入一個A款玩具和一個B款玩具成本之比為2：3，去年5月購進B款玩具多少套？
【分析】（1）設(shè)去年5月A款玩具銷售單價為x元，B款玩具銷售單價為y元，根據(jù)B款玩具每套售價比A款玩具每套售價的兩倍少10元．買了3個A款玩具和5個B款玩具一共花費275元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)一個A款玩具的成本為2a元，則一個B款玩具的成本為3a元，根據(jù)去年5月某兒童用品超市購進A，B兩款兒童玩具共180套，列出分式方程，解方程，即可解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)去年5月A款玩具銷售單價為x元，B款玩具銷售單價為y元，
由題意得：，
解得：，
答：去年5月A款玩具銷售單價為25元，B款玩具銷售單價為40元；
（2）設(shè)一個A款玩具的成本為2a元，則一個B款玩具的成本為3a元，
由題意得：+＝180，
解得：a＝8，
經(jīng)檢驗，a＝8是原方程的解，
∴＝＝60（套），
答：去年5月購進B款玩具60套．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
24．（10分）如圖1，△ABC為等邊三角形，AB＝6，以每秒1個單位長度沿著BA運動到A點停止，作DE⊥AB交直線AC于E，點D的運動時間為t．
（1）直接寫出y與t之間的函數(shù)表達式，并寫出對應(yīng)t的取值范圍；
（2）在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合圖象直接寫出y＝5時t的值．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）

【分析】（1）根據(jù)題意得AB＝AC＝6，∠A＝60°，BD＝t，可得AD＝6﹣t，AE＝2AD＝12﹣2t，分兩種情況：當(dāng)0≤t≤3時，CE＝AE﹣AC＝12﹣2t﹣6＝6﹣2t，y＝AD+CE＝6﹣t+6﹣2t＝﹣3t+12，當(dāng)3＜t≤6時，CE＝AC﹣AE＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6，y＝AD+CE＝6﹣t+（2t﹣6）＝t；
（2）描點再順次連接可得函數(shù)圖象，由圖象可得函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）觀察圖象可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AB＝AC＝6，∠A＝60°，
∴AD＝6﹣t，∠AED＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴AE＝4AD＝12﹣2t，
當(dāng)0≤t≤3時，如圖：

∴CE＝AE﹣AC＝12﹣2t﹣6＝6﹣2t，
∴y＝AD+CE＝6﹣t+5﹣2t＝﹣3t+12，
當(dāng)8＜t≤6時，如圖：

∴CE＝AC﹣AE＝6﹣（12﹣3t）＝2t﹣6，
∴y＝AD+CE＝7﹣t+（2t﹣6）＝t；
∴y＝；
（2）當(dāng)t＝0時，y＝12，y＝3，y＝6

由圖象可知，當(dāng)t＝3時；
（3）觀察圖象可得，y＝3時．
【點評】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)及圖象，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），且與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點C（m，4）．
（1）求m的值及一次函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若點P是x軸上的一個動點，連接PB，當(dāng)PB+PC最小時，求PB+PC的最小值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）將（2）問中PB+PC最小時的P點向右平移個單位長度，點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個點，當(dāng)以點A，M，N，請直接寫出符合條件的所有點N的坐標(biāo)，并選其中一個寫出求解過程．

【分析】（1）將點C（m，4）代入y＝2x中可得m的值，進而得點C（2，4），再將點A（﹣6，0），C（2，4）代入y＝kx+b求出k，b，進而可得一次函數(shù)的表達式；
（2）先求出點B（0，3），作點B關(guān)于x軸的對稱的B'，則點B'（0，﹣3），連接CB'交x軸于P'，當(dāng)點P與點P'重合時，PB+PC為最小，最小值為線段B'C的長，可根據(jù)點C，B'的坐標(biāo)求出DB'＝7，CD＝2，然后由勾股定理可求出B'C的長，進而得PB+PC的最小值，根據(jù)△B'OP'和△B'DC相似可求出，OP'的長，進而P的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)點的坐標(biāo)得點M（2，1），然后分三種情況進行討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，先由中點坐標(biāo)公式求出點E的坐標(biāo)，進而點N的坐標(biāo)；②當(dāng)AB、BM均為平行四邊形的一邊時，③當(dāng)BM為平行四邊形的對角線時，同樣利用中點坐標(biāo)公式可求出點N的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點C（m，4）代入y＝2x得：m＝7，
∴點C的坐標(biāo)為（2，4），
將點A（﹣6，0），4）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函數(shù)的表達式為：，
故得m＝2，一次函數(shù)的表達式為：．
（2）對于，當(dāng)x＝0時，
∴點B的坐標(biāo)為（2，3），
作點B關(guān)于x軸的對稱的B'，則點B'（0，連接CB'交x軸于P'，PB'，
當(dāng)點P與點P'重合時，PB+PC為最小．

理由如下：
∵點B，B'關(guān)于x軸對稱，
∴PB＝PB'，P'B＝P'B'，
∴PB+PC＝PB'+PC，P'B+P'C＝P'B'+P'C＝B'C，
根據(jù)“兩點之間線段最短”得：PB'+PC≥B'C
∴PB+PC≥P'B+P'C，
∴當(dāng)點P與點P'重合時，PB+PC為最小，
∵點C（4，4），﹣3），
∴CD＝4，OD＝4，
∴DB'＝OD+OB'＝7，
在Rt△CDB'中，DB'＝3，
由勾股定理得：，
∴PB+PC的最小值為，
∵OP'∥CD，
∴△B'OP'∽△B'DC，
∴OP'：CD＝OB'：B'D，
即：OP'：2＝3：7，
∴，
∴點P'的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)PB+PC為最小時，點P的坐標(biāo)為．
（3）符合條件的點N的坐標(biāo)為（﹣8，8）或（4，4）．
理由如下：
由（2）可知：點，
由平移的性質(zhì)得點M的坐標(biāo)為（3，1），
設(shè)點N的坐標(biāo)為（m，n）
∵以點A，M，N，B為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴有以下三種情況：
①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，
連接MN交AB于點E，則點E為AB，

∵A（﹣6，6），3）
由中點坐標(biāo)公式得：點E的橫坐標(biāo)為：，點E的縱坐標(biāo)為：，
∴點E的坐標(biāo)為，
又點M的坐標(biāo)為（2，2），
∴，，解
得m＝﹣8，n＝2，
∴點N的坐標(biāo)為（﹣8，2）；
②當(dāng)AB、BM均為平行四邊形的一邊，

同理得點N的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）；
③當(dāng)BM為平行四邊形的對角線時，

同理得點N的坐標(biāo)為（8，8）．
綜上所述：符合條件的點N的坐標(biāo)為（﹣8，2）或（﹣5，4）．
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，點的坐標(biāo)的平移，平行四邊形的性質(zhì)等，解答（1）的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式，解答（2）的關(guān)鍵利用軸對稱求最短路線；解答（3）的關(guān)鍵是進行分類討論，漏解是解答此題的易錯點之一．
26．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是邊AC上一點，連接DB
（1）如圖1，若∠DBC＝4∠DCE，BE＝2；
（2）如圖2，在EC上截取EF＝EB，連接AF交BD于點G；
（3）如圖3，若CD＝CB，AC＝8，連接MD，將線段MD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段M′D，點Q是線段BD上一個動點，連接PQ，當(dāng)PQ+M′Q最小時，請直接寫△PBQ的面積．
?
【分析】（1）設(shè)∠DCE＝α，則∠DBC＝4α，∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝45°﹣α，可得方程45°﹣α+4α＝90°，從而得出α＝15°，所以∠BCE＝45°﹣α＝30°，進而求得結(jié)果；
（2）方法一：作AH⊥BD，交BD的延長線于點H，可證得△ABH≌△BCE，從而得出BE＝AH，BH＝CF，進而證明△AGH≌△FGE，從而GH＝GE，進一步得出結(jié)論；
方法二：連接BF，延長FE至H，使EH＝EF，連接AH，BH，可證明△ABH≌△CBF，從而AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，進而得出∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，進而得出AH＝2EG，從而CF＝2EG；
（3）作DN⊥AC，截取DN＝CD，連接NM′，連接CN，可證得△NDM′≌△CDM，從而得出∠N＝∠ACB＝45°，可得點M′在CN上，作點P關(guān)于BD的對稱點P′，作P′R⊥CN，交BD于點Q′，則當(dāng)M′在R處，點Q在Q′處，PQ+QM′最小，可一次求得BC，BP，PB的值，可得出∠BPQ′＝∠ACB＝45°，從而Q′H＝，進一步得出結(jié)果．
【解答】（1）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
設(shè)∠DCE＝α，則∠DBC＝4α，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BED＝90°，
∴∠DBC+∠BCE＝90°，
∴45°﹣α+4α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BCE＝45°﹣α＝30°，
∴BC＝6BE＝4；
∴AC＝BC＝2；
（2）方法一：如圖1，

作AH⊥BD，交BD的延長線于點H，
∴∠H＝∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABH，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCE（AAS），
∴BE＝AH，BH＝CF，
∵EF＝EB，
∴AH＝EF，
∵∠H＝∠FEG＝90°，∠AGH＝∠FGE，
∴△AGH≌△FGE（AAS），
∴GH＝GE，
∴EH＝6EG，
∵BH＝CE，BE＝EF，
∴CF＝EH＝2EG，
方法二：如圖2，

連接BF，延長FE至H，連接AH，
∵CE⊥BD，
∴BH＝BF，
∴∠BFE＝∠BHF，
∵BE＝EF，∠CEB＝90°，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°，
∴∠HBF＝90°，
∴∠HBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABH＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，
∴∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，
∴∠AHF＝∠CED＝90°，
∴EG∥AH，
∴AH＝4EG，
∴CF＝2EG；
（3）如圖3，

作DN⊥AC，截取DN＝CD，連接CN，
∴∠CDN＝90°，∠N＝45°，
∵∠MDM′＝90°，
∴∠CDN＝∠MDM′，
∴∠NDM′＝∠CDM，
∵DM＝DM′，
∴△NDM′≌△CDM（SAS），
∴∠N＝∠ACB＝45°，
∴點M′在CN上，
作點P關(guān)于BD的對稱點P′，作P′R⊥CN，
則當(dāng)M′在R處，點Q在Q′處，
∵BC＝AC＝，
∴BP＝BC＝2，
∴PQ′＝P′Q′＝PB＝2，
∵CD＝BC，∠CBD＝∠PBQ′，
∴∠BPQ′＝∠ACB＝45°，
∴Q′H＝，
∴S△PQ′B＝＝，
∴△PQBD的面積為：2．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/9/12 13:35:07；用戶：婁老師；郵箱：15225657626；學(xué)號：48669677

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