一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4,5,9}，B={x|x2?6x+8≤0}，則?A(A∩B)=( )
A. {1,5,9}B. {1,2,9}C. {3,4,5}D. {2,3,4}
2.已知復(fù)數(shù)z=2i(1?i)+1，則|z|=( )
A. 5B. 13C. 5D. 13
3.已知平面上三個(gè)單位向量a，b，c滿足c=2(a+b)，則a?c=( )
A. 12B. 32C. 14D. 34
4.已知00,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C上，過點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，E，若PF1?PF2=0，且3|PD‖PE|=S△PF1F2，則雙曲線C的離心率為______．
14.已知函數(shù)f(x)=ex|x|，若函數(shù)g(x)=[f(x)]2+2af(x)?e2?ae恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2=5a2．
(1)若sinB= 62sinC，求csA；
(2)若AB?AC=8，求△ABC的面積的最大值．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，
AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求證：PD⊥平面PAB；
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說明理由．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+ax?1．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)≥0；
(2)若函數(shù)f(x)有極小值，且f(x)的極小值小于a?a2，求a的取值范圍．
18.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為P，長軸長為4 2，直線PF2的傾斜角為135°．
(1)求橢圓C的方程．
(2)若橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)A，B均在x軸上方，且AF1//BF2，求證：1|AF1|+1|BF2|的值為定值．
(3)在(2)的條件下求四邊形的ABF2F1的面積S的取值范圍．
19.(本小題17分)
設(shè)任意一個(gè)無窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，若?n∈N?，Tn∈{an}，則稱{an}是T數(shù)列．
(1)若{an}是首項(xiàng)為?2，公差為1的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷{an}是否為T數(shù)列？并說明理由；
(2)證明：若{an}的通項(xiàng)公式為an=n?2n，則{an}不是T數(shù)列；
(3)設(shè){an}是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1=5，公比為q(q>0)，若{an}是T數(shù)列，求q的值．
參考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6.A
7.D
8.C
9.ACD
10.ABD
11.ACD
12.230
13. 3
14.(?∞,?e)
15.解：(1)由sinB= 62sinC及正弦定理得：b= 62c，即 2b= 3c，
又因?yàn)閎2+c2=5a2，所以b= 3a，c= 2a，
從而csA=b2+c2?a22bc=5a2?a22 3a? 2a= 63．
(2)由余弦定理可知，b2+c2?2bccsA=a2，
因?yàn)閎2+c2=5a2，所以bccsA=2a2，
又因?yàn)锳B?AC=bccsA=8，所以a=2，
所以b2+c2=20，所以2bc≤20，即bc≤10，
所以S△ABC=12bcsinA=12 b2c2?(bccsA)2=12 b2c2?64≤3，
當(dāng)b=c= 10時(shí)取等號(hào)，即△ABC的面積的最大值為3．
16.(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，
∴PD⊥平面PAB；
(2)解：取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO，
∵CD=AC= 5，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,?1,0)，C(2,0,0)，
則PB=(1,1,?1),PD=(0,?1,?1)，PC=(2,0,?1)，
設(shè)n=(x0,y0,z0)為平面PCD的法向量，
則由n?PD=0n?PC=0，得?y0?z0=02x0?z0=0，令z0=1，則n=(12,?1,1)．
設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則
sinθ=|cs|=|n?PB|n||PB||=|12?1?1 14+1+1× 3|= 33；
(3)解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM/?/平面PCD，設(shè)AMAP=λ∈(0,1)，M(0,y1,z1)，
由(2)知，A(0,1,0)，P(0,0,1)，AP=(0,?1,1)，B(1,1,0)，AM=(0,y1?1,z1)，
則有AM=λAP，可得M(0,1?λ,λ)，
∴BM=(?1,?λ,λ)，
∵BM/?/平面PCD，n=(12,?1,1)為平面PCD的法向量，
∴BM?n=0，即?12+λ+λ=0，解得λ=14．
綜上，存在點(diǎn)M，即當(dāng)AMAP=14時(shí)，M點(diǎn)即為所求．
17.解：(1)證明：要證f(x)≥0，
需證f(x)min≥0．
當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+1x?1，函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，
可得f′(x)=1x?1x2=x?1x2，
當(dāng)00，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0時(shí)，
當(dāng)0

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