一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.i(1?3i)1+i=( )
A. 2+iB. 2?iC. ?2+iD. ?2?i
2.已知集合A={x|x2?3x≥0}，B={0,1,2,3}，則(?RA)∩B=( )
A. {3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,1,2,3}
3.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)?x1?1，?x2?1，…，?x100?1的平均數(shù)與方差分別為( )
A. ?5，4B. ?5，16C. 4，16D. 4，4
4.已知函數(shù)f(x)=csxex+2x，則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為( )
A. 2x?2y+1=0B. x+y?1=0C. x?y+1=0D. 2x?y+1=0
5.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)F的距離為5，該拋物線的頂點(diǎn)在直線MF上的射影為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. (6425,4825)B. (45,85)C. (643,485)D. (425,825)
6.已知函數(shù)f(x)=sinωx+acsωx(ω>0)圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ+π4(k∈Z)，則f(a2π)=( )
A. 1B. ?1C. 22D. ? 22
7.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)M使得∠F1MF2=2α(α≠0)，則橢圓C的離心率e的取值范圍為( )
A. (0,sin2α]B. (0,sinα]C. [sin2α,1)D. [sinα,1)
8.已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=CD=2，則CA?CB+DA?DB的最大值為( )
A. 6B. 12C. 24D. 32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知二項(xiàng)式(xm+1x)n(x>0且x≠1，n∈N?，n≥2)的展開式中第n?1項(xiàng)為15，則下列結(jié)論正確的是( )
A. n=6B. m=2
C. Cn?1m+Cn?1m?1=10D. Anm=4Cnm
10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=lg2(x2+ax+b)，g(x)=(x?a)(x+b)，其中a，b分別是將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次得到的點(diǎn)數(shù).設(shè)“函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)”為事件A，“函數(shù)g(x)為偶函數(shù)”為事件B，則下列結(jié)論正確的是( )
A. P(AB)=118B. P(A+B)=736C. P(B|A)=12D. P(B|A?)=130
11.一般地，我們把三組對(duì)棱分別相等的四面體叫做等面四面體.下列結(jié)論正確的是( )
A. 若一個(gè)四面體的四個(gè)面的周長都相等，則該四面體是等面四面體
B. 等面四面體的一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線與這組對(duì)棱都垂直
C. 三組對(duì)棱長度分別為a，b，c的等面四面體外接球的表面積為4π(a2+b2+c2)
D. 過等面四面體任一頂點(diǎn)的三個(gè)面且以該點(diǎn)為頂點(diǎn)的三個(gè)角之和為π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a4=24，則12a2+a3= ______．
13.某金屬晶體的原子排列的正八面體最密堆積(表示金屬晶體原子的六個(gè)等徑球按如圖1所示的方式排列：相鄰的兩個(gè)等徑球相切且六個(gè)球體中心的連線成正八面體形狀，如圖2)依然存在空隙(最密堆積中六個(gè)球所圍成的中間空著的地方).若等徑球的半徑為rA，空隙中能容納的最大外來原子(圖3中位于中間的小球)的半徑為rB，則rBrA= ______．
14.max{x1,x2,x3}表示三個(gè)數(shù)中的最大值，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，則max{x,2y,4x2+1y2}的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=4acsC．
(1)求tan(C?A)的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；
(2)若b=4，tanB=2，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
如圖，已知在多面體ABCDEF中，AD//BC，AB⊥BC，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，
(1)求證：平面BCF//平面ADE；
(2)若BC=AE=2，AB=AD=CF=1，求二面角E?BD?F的余弦值．
17.(本小題15分)
某學(xué)校在2023—2024年度體育節(jié)活動(dòng)中設(shè)置了一項(xiàng)趣味輪滑比賽，比賽設(shè)置了2個(gè)動(dòng)作項(xiàng)目組，其中項(xiàng)目組一中有3個(gè)規(guī)定動(dòng)作，項(xiàng)目組二中有2個(gè)自選動(dòng)作，比賽規(guī)則：每位運(yùn)動(dòng)員從2個(gè)項(xiàng)目組的5個(gè)動(dòng)作中選擇3個(gè)參賽，最后得分越多者，排名越靠前.評(píng)分規(guī)則：對(duì)于項(xiàng)目組一中的每個(gè)動(dòng)作，若沒有完成得0分，若完成得10分.對(duì)于項(xiàng)目組二中的動(dòng)作，若沒有完成得0分，若只完成1個(gè)得20分，若完成2個(gè)得50分.已知運(yùn)動(dòng)員甲完成項(xiàng)目組一中每個(gè)動(dòng)作的概率均為12，完成項(xiàng)目組二中每個(gè)動(dòng)作的概率均為13，且每個(gè)動(dòng)作是否能完成相互獨(dú)立．
(1)若運(yùn)動(dòng)員甲選擇項(xiàng)目組一中的3個(gè)動(dòng)作參賽，設(shè)甲的最后得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，判斷運(yùn)動(dòng)員甲應(yīng)選擇怎樣的方案參賽，請(qǐng)說明你的理由．
18.(本小題17分)
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)P，Q在雙曲線E的右支上且直線PQ的斜率為2，點(diǎn)T在雙曲線E的左支上且OT=λOQ(λ∈R)，∠QPT=π4，求雙曲線E的漸近線方程；
(2)若b?a，ab，a+b成等比數(shù)列，OP⊥OQ，證明直線PQ與定圓相切．
19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=(a+1a)lnx+1x?x(a>0)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
(2)給定x1，x2∈D且x10，所以3tan2A?2tanA?1=0，
所以tanA=1，tanC=3，
易知△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則D在邊AC上，

設(shè)CD=x，則AD=BD=3x，
由AD+DC=AC得3x+x=4，所以x=1，從而BD=3，
所以S△ABC=12AC?BD=12×4×3=6．
16.(1)證明：因?yàn)锳D//BC，BC?平面ADE，AD?平面ADE，
所以BC/?/平面ADE，
因?yàn)锳E⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，所以AE/?/CF，
因?yàn)镃F?平面ADE，AE?平面ADE，
所以CF/?/平面ADE，
又BC∩CF=C，BC，CF?平面BCF，
所以平面BCF/?/平面ADE．
(2)解：因?yàn)锳D//BC，AB⊥BC，
所以AB⊥AD，
又AE⊥平面ABCD，且AB、AD?平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，
所以AB，AD，AE兩兩垂直，
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,2,1)，
所以BD=(?1,1,0)，BE=(?1,0,2)，BF=(0,2,1)，
設(shè)平面BDE的法向量為m=(x1,y1,z1)，則m?BD=0m?BE=0，即?x1+y1=0?x1+2z1=0，
令x1=1，則y1=1，z1=12，所以m=(1,1,12)，
設(shè)平面BDF的法向量為n=(x2,y2,z2)，則n?BD=0n?BF=0，即?x2+y2=02y2+z2=0，
令x2=1，則y2=1，z2=?2，所以n=(1,1,?2)，
所以cs=m?n|m|?|n|=1+1?1 1+1+14× 1+1+4= 69，
由圖可知，二面角E?BD?F為銳二面角，
所以二面角E?BD?F的余弦值為 69．
17.解：(1)由題意得X的所有可能取值為0，10，20，30，
所以P(X=0)=C30×(1?12)3=18，P(X=10)=C31×12×(1?12)2=38，P(X=20)=C32×(12)2×(1?12)1=38，P(X=30)=C33×(12)3=18，
故X的分布列為：
所以E(X)=0×18+10×38+20×38+30×18=308+608+308=15；
(2)由題意，運(yùn)動(dòng)員甲的參賽方案有3個(gè)：
方案1：從項(xiàng)目組一中選擇3個(gè)動(dòng)作參賽，
方案2：從項(xiàng)目組一中選擇2個(gè)動(dòng)作、從項(xiàng)目組二中選擇1個(gè)動(dòng)作參賽，
方案3：從項(xiàng)目組一中選擇1個(gè)動(dòng)作、從項(xiàng)目組二中選擇2個(gè)動(dòng)作參賽，
對(duì)于方案1：由(1)知甲的最終得分的數(shù)學(xué)期望為15，
對(duì)于方案2：設(shè)甲的最終得分為Y，則Y的所有可能取值為0，10，20，30，40，
則P(Y=0)=(1?12)2×(1?13)=16，
P(Y=10)=C21×12×(1?12)×(1?13)=13，
P(Y=20)=(12)2×(1?13)+(1?12)2×13=14，
P(Y=30)=13×C21×12×(1?12)=16，P(Y=40)=(12)2×13=112，
所以E(Y)=0×16+10×13+20×14+30×16+40×112=103+5+5+103=503，
對(duì)于方案3：設(shè)甲的最終得分為Z，則Z的所有可能取值為0，10，20，30，50，60，
則P(Z=0)=(1?12)×(1?13)2=29，P(Z=10)=12×(1?13)2=29，
P(Z=20)=C21×13×(1?13)×(1?12)=29，P(Z=30)=12×C21×13×(1?13)=29，
P(Z=50)=(13)2×(1?12)=118，P(Z=60)=(13)2×12=118，
所以E(Z)=0×29+10×29+20×29+30×29+50×118+60×118=209+409+609+259+309=1759，
因?yàn)?50)的定義域?yàn)?0,+∞)，
f′(x)=a+1ax?1x2?1=?x2?(a+1a)x+1x2=?(x?a)(x?1a)x2，
令f′(x)=0，解得x=a或x=1a．
當(dāng)0

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