2024~2025學(xué)年河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”高二上學(xué)期階段性考試月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知空間向量，，滿足，則實數(shù)的值是（）
A. -5B. -4C. 4D. 5
【答案】D
【解析】，，
即，解得：.
故選：D
2. 拋物線的焦點坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，
所以，則焦點坐標(biāo)為0,1.故選：B.
3. “”是“直線與直線互相垂直”（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為“直線與直線互相垂直”可得,
所以，故或.
所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，長軸長，焦距為，過點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】D
【解析】因為橢圓方程為，長軸長為，則，
的周長為.
故選：D
5. 某校A，B，C，D，E五名學(xué)生分別上臺演講，若A須在B前面出場，則不同的出場次序有（）
A. 18種B. 36種C. 60種D. 72種
【答案】C
【解析】因為A，B，C，D，E五名學(xué)生分別上臺演講，且A須在B前面出場，
所以有種出場順序.
故選：C
6. 拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，則的最小值為（）
A. 5B. 9C. 8D. 10
【答案】B
【解析】由拋物線焦點弦性質(zhì)可得，則，
所以，令，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
所以的最小值為9.
故選：B.
7. 已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】兩點，B0,3，則，直線方程為，
圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，
因此點到直線距離的最小值為，
所以面積的最小值是.
故選：D
8. 已知，分別是雙曲線的左、右焦點，為上一點，，且的面積等于8，則（）
A B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】因為，所以，
即，
由雙曲線定義可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.

故選：.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則（）
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法
C. 5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法
【答案】BD
【解析】對A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯誤；
對B：甲、乙看作一個元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；
對C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C錯誤；
對D：5人站成一排，有種排法，
則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；
甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；
甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；
則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.
故選：BD.
10. 在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱的中點，點在底面內(nèi)運動（含邊界），且平面，則（）
A. 若，則平面
B. 點到直線的距離為
C. 若，則
D. 直線與平面所成角的正弦值為
【答案】ACD
【解析】分別取棱，，，的中點M，N，P，Q，
∵點E，F(xiàn)分別為棱，的中點，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面，
∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，
∴，同理，
∵平面，
∴平面，
根據(jù)條件平面，可得平面即為平面，
于是點G的軌跡即為線段
對于A，若，則點G在上，
又點G的軌跡即為線段，
則點G為棱的中點P，
連，∵，
∴為平行四邊形，
∴，又平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B，∵點F，Q分別為棱，的中點，
∴，
∴正六邊形的邊長為，
設(shè)正六邊形的中心，
則均是邊長為的正三角形，
∵,
∴，
即與間的距離，
因為，
所以點G到的距離即為與間的距離，
所以點G到的距離為，所以 B錯誤；
對于C，連，交點為，
∵，則點G在上，
又點G的軌跡即為線段，則點G為與的交點，
∵分別為的中點，則，
此時，于是滿足，所以C正確；
對于D，設(shè)平面，根據(jù)對稱性可知，為的中點，
∴，
∵平面，∴為直線與平面所成的角，
又，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，
故選：ACD.
11. 已知曲線，稱曲線上的點Px,y為“邊線點”，曲線稱為“邊線曲線”，則（）
A. “邊線曲線”關(guān)于對稱
B. “邊線曲線”在處切線的斜率為
C. 存在“邊線點”Px,y，使得
D. “邊線點”Px,y到原點距離的最小值為2
【答案】ABD
【解析】對于A：因為Px,y在曲線上，則，點滿足，
所以點也在曲線上，所以“邊線曲線”關(guān)于對稱，A選項正確：
對于B：由，可得，，
所以“邊線曲線”關(guān)于軸，軸，原點對稱，
所以“邊線曲線”在處切線的斜率有正負兩個值，且互為相反數(shù)，
因為，所以以為例，
，當(dāng)時，，
所以由對稱性可知，在處切線斜率為，B正確；
對于C：因為，所以，所以，即得，C錯誤；
對于D：“邊線點”Px,y到原點距離
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取最小值2，D選項正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知雙曲線的漸近線方程為，則_____.
【答案】
【解析】對于雙曲線，得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，又雙曲線的漸近線方程為，
所以，即，解得；
故答案為：.
13. 的展開式中的系數(shù)為_____.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】因為，
所以的展開式中含的項為，
故的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
14. 已知雙曲線的離心率為2，把上所有點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角所得曲線的方程為，則的虛軸長為_____.
【答案】
【解析】設(shè)Px,y在曲線上，
也在曲線上，且也在曲線上，
曲線兩條對稱軸分別為，
而與曲線沒有交點，
為曲線實軸所在的直線，聯(lián)立，解得，
則直線和曲線的交點為和，
因此，雙曲線中，又雙曲線的離心率為2，則，
，則虛軸長為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 曲線
（1）若曲線表示雙曲線，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時，點在曲線上，，，，求點的橫坐標(biāo).
解：（1）曲線表示雙曲線，則，
即，解得.
（2）當(dāng)時，曲線為雙曲線，
點在曲線上，設(shè)，
則，
所以，
因為，
所以，
解得，故點的橫坐標(biāo)為.
16. 已知平面直角坐標(biāo)系中，圓，點，
（1）若是圓上的動點，線段的中點為，求的軌跡方程；
（2）過點作直線與點的軌跡方程交于、兩點，若，求直線的方程.
解：（1）設(shè)Mx,y，Ax0,y0，因為線段的中點為，
則，所以，
點在圓上，代入圓，得，
化簡得，即為的軌跡方程；
（2）由（1）知：的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，
則的圓心到直線的距離，
所以，解得，故直線為；
當(dāng)直線斜率不存在時，，也符合題意，
所以直線的方程為或.
17. 如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離.
解：（1）在三棱柱中，D，E為的中點，
，
平面，
平面，
平面，，
在三角形中，，為中點，
，
，，平面，
平面；
（2）如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
在直角三角形中，，，
，，，A1,0,0，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
，令，則，，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以；
（3）設(shè)點到平面的距離為，所以，
故點到平面的距離.
18. 已知是拋物線的焦點，不過原點的動直線交拋物線于，兩點，是線段的中點，點在準(zhǔn)線上的射影為，當(dāng)時，.
（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)時，求證：直線過定點.
解：（1）由對稱性可知，當(dāng)時，軸且過焦點，
不妨設(shè)在軸上方，則,此時，，
因為，所以，解得或（舍去），
所以拋物線方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率為0時，顯然不符合題意；
當(dāng)直線的斜率不為0時，
設(shè)直線，、、，
由化簡得，，
，，，
所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），
所以直線過定點；

19. 平面內(nèi)有一點和直線，動點滿足：到點的距離與到直線的距離的比值是.點的運動軌跡是曲線，曲線上有、、、四個動點.
（1）求曲線的方程.
（2）若在軸下方，，求直線的斜率.
（3）若、都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.
解：（1）依題意，，
兩邊平方得，化簡得，
所以曲線的方程為.
（2）依題意，直線的斜率是負數(shù)，設(shè)直線的方程為，其斜率為，
由化簡得，設(shè)，，
則，，由，得，
聯(lián)立消去得，，解得，
所以直線的斜率是.
（3）延長交橢圓于點，連接，由及橢圓的對稱性，得，
則，設(shè)點，直線的方程為，
由（2）知，，
于是四邊形的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以四邊形的面積最大值為.

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