1．已知數(shù)列1，，，，3，?，按此規(guī)律，7是該數(shù)列的（ ）
A．第24項(xiàng)B．第25項(xiàng)C．第26項(xiàng)D．第27項(xiàng)
2．在等差數(shù)列中，，且，則等于（ ）
A．B．C．0D．1
3．已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
4．在數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．B．C．2D．3
5．在中國古代，人們用圭表測(cè)量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（ ）
A．24.5尺B．25.5尺C．37.5尺D．96尺
6．某網(wǎng)店經(jīng)銷某商品，為了解該商品的月銷量（單位：千件）與售價(jià)（單位：元/件）之間的關(guān)系，收集5組數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如下數(shù)表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，以下說法正確的是（ ）
A．，具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)
B．每增加一個(gè)單位，平均減少個(gè)單位
C．第二個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差
D．第三個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使的最小的的值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
二、多選題
9．國家統(tǒng)計(jì)局月日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，年上半年我國經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)，其中新能源產(chǎn)業(yè)依靠持續(xù)的技術(shù)創(chuàng)新實(shí)現(xiàn)較快增長．某企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，則下列敘述正確的是（ ）
A．，
B．由散點(diǎn)圖知變量和正相關(guān)
C．相關(guān)系數(shù)
D．用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為
10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A．是遞增數(shù)列B．
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
11．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．是等差數(shù)列
B．的前項(xiàng)和為
C．是單調(diào)遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
三、填空題
12．已知等比數(shù)列滿足，，則 ．
13．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則
14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為 ．
四、解答題
15．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最大值及此時(shí)的值．
16．近年來，解放軍強(qiáng)軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學(xué)子獻(xiàn)身國防，投身軍營．2024年高考，很多高考畢業(yè)學(xué)生報(bào)考了軍事類院校．從某地區(qū)內(nèi)學(xué)校的高三年級(jí)中隨機(jī)抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報(bào)考軍事類院校意向的男生、女生各100名．
(1)完成給出的列聯(lián)表；
(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．
參考公式及數(shù)據(jù)：．
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的階和數(shù)列．
(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；
(2)若，求的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)的公差．
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
8
8
9
有報(bào)考意向
無報(bào)考意向
合計(jì)
男學(xué)生
女學(xué)生
合計(jì)
α
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
1．323
2．706
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
1．B
根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)找出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再令通項(xiàng)公式的值等于，進(jìn)而求出是該數(shù)列的第幾項(xiàng).
【詳解】此數(shù)列可寫為：，，，，，?，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，解得，
故選：B．
2．C
設(shè)出公差，由題目條件得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，
若，則有，
又由，則，
解得，，
故.
故選：C．
3．B
利用等差數(shù)列和等比中項(xiàng)的公式可得答案.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，所以，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得，
所以.
故選：B
4．C
通過數(shù)列的遞推公式計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)，可得數(shù)列為周期數(shù)列，由此可得結(jié)果.
【詳解】∵，，
∴，，，
∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為.
∵，
∴.
故選：C．
5．B
利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，通過已知的兩個(gè)和式來推導(dǎo)出第三個(gè)和式的值.
【詳解】設(shè)這十二個(gè)節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，其中冬至的日影長為，
由題意可得，冬至、立春、春分日影長之和為，
小寒、雨水、清明日影長之和為，
大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為，
所以．
故選：B．
6．C
根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不超過1可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)回歸直線方程可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)殘差的概念可得選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】A.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不超過1，A錯(cuò)誤；
B.由回歸直線方程知，每增加一個(gè)單位，平均減少個(gè)單位，B錯(cuò)誤；
C.第二個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差，C正確；
D.第三個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差，D錯(cuò)誤．
故選：C.
7．D
根據(jù)條件可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
∵，，
∴數(shù)列為遞減數(shù)列，
∴，，，
由得，即，
∴，
∴使的最小的的值為.
故選：D．
8．A
根據(jù)充分條件、必要條件的概念，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.
由，，依次成等差數(shù)列，可得，
當(dāng)時(shí)，，，，不滿足，故，
∴，
∵，∴，解得或（舍）．
當(dāng)時(shí)，，，
∴，即，，依次成等差數(shù)列，故充分性成立．
由，，依次成等差數(shù)列可得，即，
由得，解得或，故或．
當(dāng)時(shí)，，，，不滿足，故必要性不成立.
綜上可得，“，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的充分不必要條件．
故選：A．
9．ABC
根據(jù)平均數(shù)的概念可得選項(xiàng)A正確；畫出散點(diǎn)圖可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)變量和正相關(guān)可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】A.，，A正確；
B.根據(jù)表格作出散點(diǎn)圖，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖的分布從左下到右上，所以和正相關(guān)，B正確；
C.由選項(xiàng)B可知相關(guān)系數(shù)，故C正確；
D.由題意得，樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，回歸直線過點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．BC
根據(jù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用通項(xiàng)公式可得選項(xiàng)B正確；利用通項(xiàng)公式解不等式可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，
∵，滿足上式，
∴，
∵，
∴是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤.
B.由得，故B正確；
C.由得，故C正確；
D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，，
∴當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．BCD
由題意可得，則可得的通項(xiàng)公式，再求出并求和即可得A、B；借助的通項(xiàng)公式即可得C；結(jié)合基本不等式及其取等條件可得D.
【詳解】對(duì)A、B：由，得，因?yàn)椋?br>所以，，?，，從而，
所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，
即，所以，
所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)C：由，易知是單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；
對(duì)D：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
又為正整數(shù)，所以上述不等式等號(hào)不成立，
故當(dāng)時(shí)，有最小值，D正確.
故選：BCD．
12．2
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式判斷的正負(fù)，再利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求出的值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解得．
故答案為：2.
13．626
根據(jù)所給遞推關(guān)系式，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求和，再分組求和即可.
【詳解】數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，
即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，
則，
當(dāng)時(shí)，，
即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，
則，
所以.
故答案為：626
14．28
由題意分析數(shù)列的情況，求出和時(shí)的值，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由題意得數(shù)列的前項(xiàng)依次為：
1，2個(gè)3，3，個(gè)3，7，個(gè)3，15，個(gè)3，31，??，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以使得成立的的最小值為28.
故答案為：28.
15．(1)
(2)，的最大值，此時(shí)
（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，通過已知條件求出公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；
（2）根據(jù)前項(xiàng)和公式的函數(shù)特點(diǎn)求出其最大值.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以的通項(xiàng)公式是．
（2）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為16．
16．(1)列聯(lián)表見解析
(2)有90%的把握認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)
（1）根據(jù)已知條件填寫列聯(lián)表；
（2）根據(jù)已知計(jì)算，再與臨界值比較判斷即可.
【詳解】（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表如下：
（2），
所以有90%的把握認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．
17．(1)，；
(2)
（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到的表達(dá)式，再通過與的關(guān)系求出通項(xiàng)公式；
（2）求出，采用錯(cuò)位相減法求出其前項(xiàng)和.
【詳解】（1）∵，，成等差數(shù)列，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，， 也滿足，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；
（2）由（1）得，
則數(shù)列前項(xiàng)和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得．
18．(1) ； (2) .
(1)由可得兩式相減得.利用等比數(shù)列的定義求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】(1)由可得兩式相減得.
又，則.
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故.
(2)由(1)已知可得，
故其前n項(xiàng)和，
化簡可得.
19．(1)
(2)
(3)的最大值是，公差為
（1）根據(jù)一階和數(shù)列的定義可計(jì)算出，，的值，根據(jù)二階和數(shù)列的定義計(jì)算出，的值，由的二階和數(shù)列是等比數(shù)列可得公比，從而得到，，的值，再由定義可求出的值.
（2）根據(jù)定義可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的前項(xiàng)和公式.
（3）由可得，從而可得公差，結(jié)合條件可得正整數(shù)的最大值.
【詳解】（1）由題意得，，，，
∴，，
設(shè)數(shù)列的二階和數(shù)列的公比為，則，
∴，，，
∴，，，
∴，，．
（2）設(shè)的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和為，
由題意得，，，
由得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴.
（3）∵，
∴，故．
設(shè)數(shù)列的公差為，則，
∴，得，
∵反比例函數(shù)在上為增函數(shù)，
∴由得，，故，
∵，
∴，故，
∴的最大值是，由得公差.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
B
C
D
A
ABC
BC
題號(hào)
11









答案
BCD









有報(bào)考意向
無報(bào)考意向
合計(jì)
男學(xué)生
100
400
500
女學(xué)生
100
300
400
合計(jì)
200
700
900

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