1．實(shí)際問題中函數(shù)建模的基本步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.
(3)求解：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.
(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.
2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用
一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).
一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.
3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用
二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).
二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值
問題常用到二次函數(shù)模型.
4．冪函數(shù)模型的應(yīng)用
冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略
(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.
(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
5．分段函數(shù)模型的應(yīng)用
由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.
6．“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用
對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.
【題型1 一次函數(shù)模型的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
在應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象解題時(shí)，應(yīng)注意一次函數(shù)有單調(diào)遞增（一次項(xiàng)系數(shù)為正）和單調(diào)遞減（一次
項(xiàng)系數(shù)為負(fù)）兩種情況.
【例1】（2021秋?通州區(qū)期中）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（ ）
A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）
B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）
C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）
D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）
【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式的變化得出圖象的變化即可．
【解答過程】解：設(shè)目前車票價(jià)格為k1，支出費(fèi)用為b1，則y＝k1x﹣b1，
對于建議（I），設(shè)建議后的支出費(fèi)用為b2（b2＜b1），則y＝k1x﹣b2，
顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；
對于建議（II），設(shè)建議后的車票價(jià)格為k2（k2＞k1），則y＝k2x﹣b1，
顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．
故選：C．
【變式1-1】（2022?曲靖模擬）某大型家電商場，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售A、B兩種電器，已知這兩種電器每臺的進(jìn)價(jià)都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進(jìn)貨B的臺數(shù)不高于A的臺數(shù)的2倍，且進(jìn)貨B至少2臺，而銷售A、B的售價(jià)分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進(jìn)貨A、B的總資金為6萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售A、B電器的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）的最大值為（ ）
A．1.2萬元B．2.8萬元C．1.6萬元D．1.4萬元
【解題思路】設(shè)該賣場在一周內(nèi)進(jìn)貨B的臺數(shù)為x臺，則一周內(nèi)進(jìn)貨A的臺數(shù)為（6﹣x），根據(jù)已知條件，先求出x的取值范圍，再寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【解答過程】解：設(shè)該賣場在一周內(nèi)進(jìn)貨B的臺數(shù)為x臺，
則一周內(nèi)進(jìn)貨A的臺數(shù)為（6﹣x），
由題意可得，x≥2x≤2(6?x)，解得2≤x≤4，且x∈N，
y＝0.2（6﹣x）+0.25x＝0.05x+1.2，
函數(shù)y＝0.05x+1.2隨著x的增大而增大，
故y的最大值為0.05×4+1.2＝1.4（萬元）．
故選：D．
【變式1-2】某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x+30000．而出廠價(jià)格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（ ）
A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套
【解題思路】設(shè)利潤為z，則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z≥0求解一元一次不等式得答案．
【解答過程】解：設(shè)利潤為z，
則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，
由z＝6x﹣30000≥0，得x≥5000．
∴要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒5000套．
故選：D．
【變式1-3】（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）某醫(yī)院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產(chǎn)，其中外購的單價(jià)是每個1.2元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產(chǎn)一個口罩還需要材料費(fèi)和勞務(wù)費(fèi)共0.8元，設(shè)該醫(yī)院每月所需口罩n（n∈N*）個，則自己生產(chǎn)口罩比外購口罩較合算的充要條件是（ ）
A．n＞800B．n＞5000C．n＜800D．n＜5000
【解題思路】根據(jù)已知條件，可得關(guān)于n的不等式，求解后可得正確的選項(xiàng)．
【解答過程】解：由已知條件可得，0.8n+2000＜1.2n，即n＞5000，
故自己生產(chǎn)口罩比外購口罩較合算的充要條件是n＞5000．
故選：B．
【題型2 二次函數(shù)模型的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
在應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，不能簡單套用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不一定是實(shí)際問
題的最值，一定要注意自變量的取值范圍，特別注意隱含條件，如：月份、天、周、商品件數(shù)等應(yīng)為正整
數(shù).
【例2】（2021秋?新鄉(xiāng)期末）某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價(jià)10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價(jià)格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（ ）
A．3000元B．4000元C．3800元D．4200元
【解題思路】先建立二次函數(shù)模型，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．
【解答過程】解：設(shè)燈具商店每月的利潤為z元，
則z＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣30）2+4000≤4000，
故選：B．
【變式2-1】（2021秋?浙江期末）某公司在甲、乙兩地銷售同一種產(chǎn)品，利潤（單位：萬元）分別為L1＝0.506x﹣0.0015x2，L2＝0.2x，其中x（單位：件）為在當(dāng)?shù)氐匿N量．若該公司在甲、乙兩地共銷售該產(chǎn)品150件，則公司能獲得的最大利潤為（ ）
A．45.606萬元B．45.6萬元C．45.56萬元D．45.51萬元
【解題思路】設(shè)該公司在甲地銷x輛，那么乙地銷150﹣x輛，根據(jù)條件列出關(guān)于利潤的函數(shù)，求可借助二次函數(shù)求其最值．
【解答過程】解：設(shè)該公司在甲地銷x輛，x∈[0，150]，
那么乙地銷150﹣x輛，
利潤L（x）＝0.506x﹣0.0015x2+0.2（150﹣x）＝﹣0.0015x2+0.306x+30，為開口向下的拋物線，
對稱軸方程為x＝102，
∴x＝102時(shí)，L（x）取到最大值，這時(shí)最大利潤為45.606萬元，
故選：A．
【變式2-2】（2021秋?南昌期末）一般來說，產(chǎn)品進(jìn)入市場，價(jià)格越高，銷量越小．某門店對其銷售產(chǎn)品定價(jià)為p元/件，日銷售量為q件，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為p，q滿足關(guān)系q＝200﹣p（80≤p≤150），如當(dāng)定價(jià)p＝90元，毛收入為9900元．為了追求最大利潤，不會無限提高售價(jià)，根據(jù)信息推測每天最少毛收入為（ ）
A．7500元B．9600元C．9900元D．10000元
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【解答過程】解：設(shè)每天的毛收入為y元，單價(jià)為p元/件，
則y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，
由對稱軸為p＝100，開口向下，
故當(dāng)p＝150時(shí)，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．
故選：A．
【變式2-3】（2021秋?廬江縣期中）某種商品進(jìn)價(jià)為4元/件，當(dāng)零售價(jià)為6元/件時(shí)，日均銷售100件，銷售數(shù)據(jù)表明，單個每增加1元，日均銷量減少10件．該商家銷售此商品每天固定成本為20元，若要利潤最大，則該商品每件的價(jià)格應(yīng)該定為（ ）
A．8元B．9元C．10元D．11元
【解題思路】由題意，列出利潤關(guān)于商品定價(jià)的函數(shù)關(guān)系f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最大值．
【解答過程】解：由題意，設(shè)該商品定價(jià)為x元，利潤為f（x），
故f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20＝﹣10x2+200x﹣660，
為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x＝10，
故當(dāng)x＝10時(shí)，f（x）取得最大值，
因此若要利潤最大，則該商品每件的價(jià)格應(yīng)該定為10元，
故選：C．
【題型3 冪函數(shù)模型的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.
(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
【例3】（2022?廣西模擬）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（ ）
A．14B．12C．23D．34
【解題思路】設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），根據(jù)x1，x2，y1，y2的關(guān)系代入后可求解．
【解答過程】解：設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），
則x2＝16x1，y2＝8y1，
又∵y1=kx1α，y2=kx2α，
∴8y1=k(16x1)α=k?16α?x1α，
∴8＝16α，即α＝lg168=lg2423=34，
故選：D．
【變式3-1】（2021秋?南充期末）今年中國“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發(fā)A、B兩種芯片，研發(fā)芯片前期已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)A芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元：生產(chǎn)B芯片的凈收入y（千萬元）是關(guān)于投入的資金x（千萬元）的冪函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）試分別求出生產(chǎn)A、B兩種芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)A、B兩種芯片．設(shè)投入x千萬元生產(chǎn)B芯片，用f（x）表示公司所獲利潤，求公司最大利潤及此時(shí)生產(chǎn)B芯片投入的資金．（利潤＝A芯片凈收入+B芯片凈收入﹣研發(fā)耗費(fèi)資金）
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，分別設(shè)出正比例函數(shù)，以及冪函數(shù)，通過代入對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12?2=x12?0.25x+8=?0.25(x12?2)2+9，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【解答過程】解：（1）設(shè)芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，
∵已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元，
∴k＝0.25，
故y＝0.25x，
生產(chǎn)B芯片的凈收入y（千萬元）是關(guān)于投入的資金x（千萬元）的冪函數(shù)關(guān)系式為y＝xα，
由圖象可知，y＝xα 的圖象過點(diǎn)（4，2），即2＝4α，解得α=12，
故所求函數(shù)的關(guān)系式為y=x12．
（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12?2=x12?0.25x+8=?0.25(x12?2)2+9，
故當(dāng)x12=2，即x＝4時(shí)，f（x）有最大值9，
故公司最大利潤為9千萬元，此時(shí)生產(chǎn)B芯片投入的資金為4千萬元．
【變式3-2】（2021秋?深圳期中）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益f（x）與投資額x成正比，且投資1萬元時(shí)的收益為18萬元；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益g（x）與投資額x的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬元時(shí)的收益為0.5萬元，
（Ⅰ）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？
【解題思路】（Ⅰ）設(shè)f（x）＝kx，g（x）＝mx，代入已知數(shù)據(jù)解出k和m的值即可；
（Ⅱ）設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為（20﹣x）萬元，故收益y＝f（x）+g（20﹣x）（0≤x≤20），然后結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
【解答過程】解：（Ⅰ）設(shè)f（x）＝kx，g（x）＝mx，
則f（1）＝k?1=18，g（1）＝m?1=0.5，
∴k=18，m=12．
∴f（x）=18x（x≥0），g（x）=12x（x≥0）．
（Ⅱ）設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為（20﹣x）萬元，
∴收益y＝f（x）+g（20﹣x）=18x+1220?x（0≤x≤20），
令t=20?x∈[0，25]，
則y=18（20﹣t2）+12t=?18（t﹣2）2+3，
∴當(dāng)t＝2，即x＝16時(shí)，收益最大，為3萬元．
故投資債券類產(chǎn)品16萬元，投資股票類產(chǎn)品4萬元時(shí)，其收益最大，為3萬元．
【變式3-3】（2020秋?鄒城市期中）近年來，我國積極參與國際組織，承擔(dān)國際責(zé)任，為國家進(jìn)步、社會發(fā)展、個人成才帶來了更多機(jī)遇，因此，面臨職業(yè)選擇時(shí)，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值．其中，某位大學(xué)生帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)自主創(chuàng)業(yè)，通過直播帶貨的方式售賣特色農(nóng)產(chǎn)品，下面為三年來農(nóng)產(chǎn)品銷售量的統(tǒng)計(jì)表：
結(jié)合國家支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)政策和農(nóng)產(chǎn)品市場需求情況，該大學(xué)生提出了2019年銷售115萬斤特色農(nóng)產(chǎn)品的目標(biāo)，經(jīng)過創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)所有隊(duì)員的共同努力，2019年實(shí)際銷售123萬斤，超額完成預(yù)定目標(biāo)．
（Ⅰ）將2016、2017、2018、2019年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現(xiàn)有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型為f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；冪函數(shù)模型為g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．請你通過計(jì)算分析確定：選用哪個函數(shù)模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；
（Ⅱ）依照目前的形勢分析，你能否預(yù)測出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2020年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量嗎？
【解題思路】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法分別求出二次函數(shù)模型f（x）和冪函數(shù)模型g（x）的解析式，再分別計(jì)算與2019年實(shí)際銷量的誤差，選誤差較小的模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知選用二次函數(shù)模型f（x）＝7x2﹣7x+41 進(jìn)行預(yù)測，計(jì)算f（5）即可預(yù)測出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2020年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量．
【解答過程】解：（Ⅰ）若選擇二次函數(shù)模型：依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
得f(1)=41f(2)=55f(3)=83，即a+b+c=414a+2b+c=559a+3b+c=83，
解得a=7b=?7c=41，
所以f（x）＝7x2﹣7x+41，
將x＝4代入f（x），得f（4）＝7×42﹣7×4+41＝125，
所以，此與2019年實(shí)際銷售量誤差為125﹣123＝2（萬斤），
若選擇冪函數(shù)模型：依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入g（x）＝kx3+mx+n（k≠0），
得g(1)=41g(2)=55g(3)=83，即k+m+n=418k+2m+n=5527k+3m+n=83，
解得k=76m=356n=34，
所以g（x）=76x3+356x+34，
將x＝4代入g（x），得g（4）=76×43+356×4+34=132，
所以，此與2019年銷售量的實(shí)際誤差為132﹣123＝9（萬斤），
顯然2＜9，
因此，選用二次函數(shù)f（x）＝7x2﹣7x+41 模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系．
（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ），選用二次函數(shù)模型f（x）＝7x2﹣7x+41 進(jìn)行預(yù)測，
得f（5）＝7×52﹣7×5+41（萬斤），
即預(yù)測該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2020年的農(nóng)產(chǎn)品銷售量為181萬斤．
【題型4 分段函數(shù)模型的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
涉及分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再合到一起，要
注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.
【例4】（2022秋?平遙縣校級月考）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)，已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量y（微克）隨著時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=2?x8?x(0≤x≤6)12?x(6＜x≤12)．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用1粒藥，多長時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？
【解題思路】（1）根據(jù)y≥4，代入第一段解析式中求不等式即可．（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可．
【解答過程】解：（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小小時(shí)能有效抗病毒，
即血液含藥量須不低于4微克，可得0≤x≤62x8?x≥4'，
解得163≤x≤6，
所以163小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．
（2）設(shè)經(jīng)過x小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；
若0＜x≤6，藥物濃度2x8?x≥4，
解得163≤x≤6，
若6＜x≤12，藥物濃度(12?x)+2(x?6)8?(x?6)≥4，
化簡得x2﹣20x+100≥0，所以6＜x≤12；
若12＜x≤18，藥物濃度12﹣（x﹣6）≥4，
解得x≤14，所以12＜x≤14；
綜上x∈[163，14]，
故14?163=263，
所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為263小時(shí)．
【變式4-1】（2022秋?襄都區(qū)校級月考）第四屆中國國際進(jìn)口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進(jìn)博會有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務(wù)．某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào)．生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計(jì)全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且R=10x2+ax，0≤x＜40901x2?9450x+10000x，x≥40．經(jīng)測算，當(dāng)生產(chǎn)10千臺空調(diào)時(shí)需另投入的資金R＝4000萬元．現(xiàn)每臺空調(diào)售價(jià)為0.9萬元時(shí)，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當(dāng)年能全部銷售完．
（1）求2022年該企業(yè)年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）2022年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤＝銷售額﹣成本．
【解題思路】（1）由題意可知x＝10時(shí)，R＝4000，代入函數(shù)中可求出a，然后由年利潤等于銷售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別當(dāng)0≤x＜40和x≥40求出函數(shù)的最大值，比較即可得答案．
【解答過程】解：（1）由題意知，當(dāng)x＝10時(shí)，R（x）＝10×102+10a＝4000，所以a＝300．
當(dāng)0≤x＜40時(shí)，W＝900x﹣（10x2+300x）﹣260＝﹣10x2+600x﹣260；
當(dāng)x≥40時(shí)，W=900x?901x2?9450x+10000x?260=?x2+9190x?10000x，
所以W=?10x2+600x?260，0≤x＜40?x2+9190x?10000x，x≥40．
（2）當(dāng)0≤x＜40時(shí)，W＝﹣10（x﹣30）2+8740，
所以當(dāng)x＝30時(shí)，W有最大值，最大值為8740；
當(dāng)x≥40時(shí)，W=?(x+10000x)+9190≤?2x?10000x+9190=8990，
當(dāng)且僅當(dāng)x=10000x，即x＝100時(shí)，W有最大值，最大值為8990，
因?yàn)?740＜8990，
所以當(dāng)2022年產(chǎn)量為100千臺時(shí)，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元．
【變式4-2】（2022?南京模擬）某電子廠生產(chǎn)某電子元件的固定成本是4萬元，每生產(chǎn)x萬件該電子元件，需另投入成本f（x）萬元，且f(x)=14x2+3x，0＜x≤6，9x+64x?38，6＜x≤20．已知該電子元件每件的售價(jià)為8元，且該電子加工廠每月生產(chǎn)的這種電子元件能全部售完．
（1）求該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該電子廠這種電子元件利潤的最大值．
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤等于總收入減去總成本，即可求解．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分類討論求得兩段函數(shù)的最值，通過比較大小，即可求解．
【解答過程】解：（1）當(dāng)0＜x≤6時(shí)，y=8x?(14x2+3x)?4=?14x2+5x?4，
當(dāng)6＜x≤20時(shí)，y=8x?(9x+64x?38)?4=?x?64x+34，
故該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為y=?14x2+5x?4，0＜x≤6?x?64x+34，6＜x≤20．
（2）當(dāng)0＜x≤6時(shí)，函數(shù)y=?14x2+5x?4圖像的對稱軸方程為x＝10，
所以y=?14x2+5x?4在（0，6]上單調(diào)遞增，
則ymax=?14×62+5×6?4=17（萬元），
當(dāng)6＜x≤20時(shí)，因?yàn)閤+64x≥264=16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時(shí)，等號成立，
所以y=?x?64x+34≤?16+34=18，即當(dāng)x＝8時(shí)，y取得最大值18，
因?yàn)?7＜18，所以當(dāng)x＝8時(shí)，y取得最大值18，
則利潤的最大值為18萬元，
故該電子廠這種電子元件利潤的最大值18萬元．
【變式4-3】（2021秋?武城縣校級月考）2020年初新冠肺炎襲擊全球，嚴(yán)重影響人民生產(chǎn)生活．為應(yīng)對疫情，某廠家擬加大生產(chǎn)力度．已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每年生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x）．當(dāng)年產(chǎn)量不足50千件時(shí)，C(x)=12x2+20x（萬元）；年產(chǎn)量不小于50千件時(shí)，C(x)=51x+3600x?600（萬元）．每千件商品售價(jià)為50萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤＝銷售額﹣成本公式，分類討論，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答過程】解：（1）∵每千件商品售價(jià)為50萬元，
∴x千件產(chǎn)品銷售額為50x，
當(dāng)0＜x＜50時(shí)，L（x）＝50x?(12x2+20x)?200=?12x2+30x?200，
當(dāng)x≥50時(shí)，L（x）＝50x?(51x+3600x?600)?200=400?(x+3600x)．
綜上所述，L（x）=?12x2+30x?200，0＜x＜50400?(x+3600x)，x≥50．
（2）當(dāng)0＜x＜50時(shí)，L（x）=?12(x?30)2+250，
則L（x）≤L（30）＝250萬元，
當(dāng)x≥50時(shí)，L（x）=400?(x+3600x)≤400?2x?360x=400﹣120＝280，當(dāng)且僅當(dāng)x=3600x，即x＝60時(shí)，等號成立，
由于280＞250，
則當(dāng)年產(chǎn)量為60千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是280萬元．
【題型5 “對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合實(shí)際問題，構(gòu)建“對勾函數(shù)”模型，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行解題，注意取值要滿足實(shí)際情況.
【例5】（2022秋?太原月考）物聯(lián)網(wǎng)（InternetfThings，縮寫：IOT）是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨(dú)立功能的普通物體實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)．其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運(yùn)輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場前景．現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費(fèi)y1（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，x＞0），其中y1與x+1成反比，每月庫存貨物費(fèi)y2（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和7.2萬元．
（1）求出y1與y2的解析式；
（2）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？最小費(fèi)用是多少？
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出y1，y2的解析式，再結(jié)合在距離車站9千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和7.2萬元，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【解答過程】解：（1）設(shè)y1=kx+1(k≠0)，y2＝mx（m≠0），其中x＞0，
當(dāng)x＝9時(shí)，y1=k9+1=2，y2＝9m＝7.2，解得k＝20，m＝0.8，
故y1=20x+1，y2＝0.8x．
（2）設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用之和為z，
則z＝y(tǒng)1+y2=20x+1+0.8x=20x+1+0.8(x+1)?0.8≥220x+1×0.8(x+1)?0.8=7.2，當(dāng)且僅當(dāng)20x+1=0.8(x+1)，即x＝4時(shí)，等號成立，
故這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站4千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是7.2萬元．
【變式5-1】（2022?二七區(qū)校級開學(xué)）鄭州市某地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足2≤t≤20，t∈N*，經(jīng)測算，在某一時(shí)段，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)10≤t≤20時(shí)地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)2≤t＜10時(shí)，載客量會減少，減少的人數(shù)與（10﹣t）的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)載客量為560人，記地鐵載客量為p（t）．
（1）求p（t）的解析式；
（2）若該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益為Q=6p(t)?3360t?360（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益最大？
【解題思路】（1）先分別寫出分段函數(shù)，再結(jié)合p（2）＝560，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，分段求出凈收益Q，再通過比較大小，即可求解．
【解答過程】解：（1）當(dāng)2≤t＜10時(shí)，
p（t）＝1200﹣k（10﹣t）2，
當(dāng)10≤t≤20時(shí)，
p（t）＝1200，
∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝1200﹣64k＝560，
∴k＝10，
∴p（t）=?10t2+200t+200，2≤t＜101200，10≤t≤20．
（2）Q=6p(t)?3360t?360（元），
當(dāng)2≤t＜10時(shí)，
Q=6(?10t2+200t+200)?3360t?360=840?60(t+36t)≤840﹣60×2t?36t=840﹣60×12＝120，當(dāng)且僅當(dāng)t=36t，即t＝6時(shí)，等號成立，
當(dāng)10≤t≤20時(shí)，
Q=7200?3360t?360≤384﹣360＝24，當(dāng)t＝10時(shí)，等號成立，
綜上所述，當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益最大．
【變式5-2】（2022春?愛民區(qū)校級期末）已知快遞公司要從A地往B地送貨，A，B兩地的距離為100km，按交通法規(guī)，A，B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60～120km/h（含端點(diǎn)），假設(shè)汽車的油耗為（42+7x2400）元/時(shí)，司機(jī)的工資為70元/時(shí)（設(shè)汽車為勻速行駛），若燃油費(fèi)用與司機(jī)工資都由快遞公司承擔(dān)．
（1）試建立行車總費(fèi)用y元關(guān)于車速x的函數(shù)關(guān)系；
（2）若不考慮其他費(fèi)用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？
【解題思路】（1）依題意設(shè)車速為xkm/h，即可得到函數(shù)解析式；
（2）利用基本不等式求最值，即可得解．
【解答過程】解：（1）設(shè)車速為xkm/h，則時(shí)間為100x?，
依題意可得y=100x(42+7x2400+70)=7x4+11200x，x∈[60，120]；
（2）y=7x4+11200x≥274?11200=280，
當(dāng)且僅當(dāng)7x4=11200x，即x＝80時(shí)取等號，
所以以80km/h車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為280元．
【變式5-3】（2022?浙江開學(xué)）某地中學(xué)生社會實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段的交通擁堵情況，經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：
v=600n+10，n≤933000n2+k，n≥10，n∈N?其中常數(shù)k∈R．該路段上每日t時(shí)的行車數(shù)量n＝﹣2（|t﹣12|﹣5）2+100，t∈[0，24）．
已知某日17時(shí)測得的平均行車速度為3km/h．（注：3.16＜10＜3.17）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）定義車流量q＝nv（單位：輛?km/h），求一天內(nèi)車流量q的最大值（結(jié)果保留整數(shù)部分）．
【解題思路】（Ⅰ）根據(jù)題意把17時(shí)測得的平均行車速度為3km/h代入函數(shù)解析式即可求出k；
（Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)求最值的方法，分別利用函數(shù)單調(diào)性求每段的最值，即可得出函數(shù)q＝nv的最大值．
【解答過程】解：（Ⅰ）由17時(shí)測得的平均行車速度為3km/h，
代入v=600n+10，n≤933000n2+k，n≥10，n∈N?，
可得：330001002+k=3，
解得k＝1000．
（Ⅱ）①當(dāng)n≤9時(shí)，q＝nv=600nn+10=6001+10n為增函數(shù)，
所以q≤600×99+10＜300；
②當(dāng)n≥10時(shí)，q＝nv=33000nn2+1000=33000n+1000n，
由函數(shù)f（x）＝n+1000n在（0，1000）上遞減，在（1000，+∞）上遞增，
且1000∈（31，32），知q=33000n+1000n，當(dāng)n＝31，n＝32時(shí)，較大的q值為最大值，
代入n＝31，32計(jì)算，結(jié)果均為522，
故qmax≈522．
綜上可知，一天內(nèi)車流量q的最大值為522輛?km/h．
【題型6 函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
(1)求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)
①認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；
②根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).
(2)利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).
【例6】（2022秋?余姚市校級月考）經(jīng)長期觀測得到：在某地交通繁忙時(shí)段內(nèi)，公路汽車的車流量y（單位：千輛/h）與汽車的平均速度v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為y=910vv2+11v+1600（v＞0）．
（1）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過9.1千輛/h，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大的車流量為多少？
【解題思路】（1）由條件得910vv2+11v+1600＞9.1，求出v的取值范圍，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【解答過程】解：（1）由條件得910vv2+11v+1600＞9.1，解得25＜v＜64，
所以汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h．
（2）由已知得y=91011+v+1600v≤91011+21600=10，
當(dāng)且僅當(dāng)v=1600v，即v＝40時(shí)，等號成立，
所以汽車的平均速度為40km/h時(shí)車流量最大，最大的車流量為10千輛/h．
【變式6-1】（2022秋?中原區(qū)校級月考）.某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以成都大運(yùn)會為主題的文化衫進(jìn)行銷售文化衫的進(jìn)價(jià)為每件30元，當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費(fèi)2元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕担畠r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)），若設(shè)這款文化衫的銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？
【解題思路】（1）由題意可知，y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，將對應(yīng)的點(diǎn)代入，即可求解．
（2）設(shè)銷售這款文化衫每天所獲得的利潤為p元，則p＝y(tǒng)（x﹣32），再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【解答過程】解：（1）由題意可知，y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，
設(shè)y＝kx+b，
則70k+b=2069k+b=22，解得k=?2b=160，
故y＝﹣2x+160（x≥30）．
（2）設(shè)銷售這款文化衫每天所獲得的利潤為p元，
則p＝y(tǒng)（x﹣32）＝﹣2（x﹣80）（x﹣32）＝﹣2（x2﹣112x+2560），
當(dāng)x=?112?2=56（元）時(shí)，p取得最大值﹣2×（2560﹣562）＝1152（元），
故當(dāng)銷售單價(jià)為56元時(shí)，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元．
【變式6-2】（2022?興縣校級開學(xué)）如圖，某農(nóng)業(yè)研究所要在一個矩形試驗(yàn)田ABCD內(nèi)種植三種農(nóng)作物，三種農(nóng)作物分別種植在并排排列的三個形狀相同、大小相等的小矩形中，試驗(yàn)田四周和三個種植區(qū)域之間均設(shè)有1米寬的非種植區(qū)．已知種植區(qū)的占地面積為200平方米．
（1）設(shè)小矩形的寬為x米，試驗(yàn)田ABCD的面積為S平方米，求函數(shù)S＝f（x）的解析式；
（2）求試驗(yàn)田ABCD占地面積的最小值．
【解題思路】（1）設(shè)小矩形的長為y米，則3xy=200，y=2003x，再結(jié)合矩形面積公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【解答過程】解：（1）設(shè)小矩形的長為y米，則3xy=200，y=2003x，
試驗(yàn)田ABCD的面積S=(3x+4)(y+2)=(3x+4)(2003x+2)=6x+8003x+208(x＞0)，
故f(x)=6x+8003x+208(x＞0)．
（2）∵x＞0，
∴6x+8003x≥26x?8003x=80，當(dāng)且僅當(dāng)6x=8003x，即x=203時(shí)等號成立，
∴當(dāng)x=203時(shí)，f（x）取最小值288，此時(shí)AB＝3x+4＝24，AD＝y(tǒng)+2＝12，
故試驗(yàn)田ABCD的長與寬分別為24米、12米時(shí)，試驗(yàn)田ABCD的占地面積取最小值，最小值是288平方米．
【變式6-3】（2021秋?石鼓區(qū)校級月考）如圖，計(jì)劃在一面墻進(jìn)行粉刷與裝飾．墻長為18m．用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域．
（1）若每個區(qū)域的面積為24m2，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域長和寬分別是多少米？求彩帶總長最小值？
（2）若每個區(qū)域矩形長為x（m）如圖，寬為長的一半．每米彩帶價(jià)格為5元，墻的粉刷與裝飾費(fèi)用每平方米為10元．總費(fèi)用不超過180元．問每個區(qū)域應(yīng)如何設(shè)計(jì)？
【解題思路】（1）設(shè)每個區(qū)域的長和寬分別為x（m）和y（m），由題意可知，xy＝24，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
（2）先求出總費(fèi)用f（x），再結(jié)合總費(fèi)用不超過180元，即可求解．
【解答過程】解：（1）設(shè)每個區(qū)域的長和寬分別為x（m）和y（m），
由題意可知，xy＝24，
則彩帶總長為l＝4x+6y≥224xy=48，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝6y，即x＝6且y＝4時(shí)，等號成立，
故每個區(qū)域長和寬分別是6（m）和4（m）時(shí)，彩帶總長最小，且最小值為48（m）．
（2）由題意可知，每個區(qū)域矩形長為x（m），寬為x2（m），0＜x≤9，
則長方形區(qū)域的面積為4x?x2=2x2，彩帶總長為4x+6×x2=7x，
則總費(fèi)用f（x）＝10×2x2+5×7x＝20x2+35x，
∵總費(fèi)用不超過180元，
∴20x2+35x≤180，又0＜x≤9，
∴0＜x≤94，
故每個區(qū)域矩形長不超過94（m），費(fèi)用不超過180元，
故應(yīng)該設(shè)計(jì)為每個區(qū)域矩形長為94（m），寬為98（m）． 年份
2016
2017
2018
銷售量/萬斤
41
55
83

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