1.設(shè)全集U=R，集合A=x|xam”是“an為遞增數(shù)列”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
9.中國茶文化博大精深．茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85的水泡制，再等到茶水溫度降至60時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．已知室內(nèi)的溫度為25，設(shè)茶水溫度從85開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為y．y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為y=60×0.923x+25，那么在25室溫下，由此估計，剛泡
好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達到最佳口感(參考數(shù)據(jù)：ln0.923≈?0.08,ln12?ln7≈0.54)( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
10.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P是對角線AC1上的動點(點P與A,C1不重合).則下面結(jié)論中錯誤的是
A. 存在點P，使得平面A1DP//平面B1CD1
B. 存在點P，使得AC1⊥平面A1DP
C. S1,S2分別是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影圖形的面積，對任意點P，S1≠S2
D. 對任意點P，△A1DP的面積都不等于 26
11.若直線l1:ax+2y=8與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則a= ．
12.在x+2x26的展開式中，常數(shù)項為 .(用數(shù)字作答)
13.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，則a1= ；使得數(shù)列{an}前n項的和Sn取到最大值的n= ．
14.在矩形ABCD中，若AB=1，BE=13BC，且AB?AE=AD?AE，則AD的值為 ，AE?AC的值為 ．
15.顆粒物過濾效率η是衡量口罩防護效果的一個重要指標(biāo)，計算公式為η=Cut?CinCut×100%，其中Cut表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量(單位：ind./L)，Cin表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量(單位：ind./L).某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了4次測試，測試結(jié)果如圖所示．圖中點Aij的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時Cut的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時Cin的值i=1,2,j=1,2,3,4．
該研究小組得到以下結(jié)論：
①在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高;
②在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高;
③在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高;
④在第3次和第4次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
16.設(shè)函數(shù)fx=ax+1,x0，?t∈R，使得fx=t無解；②對?t>0，?a∈R，使得fx=t有兩解；③當(dāng)a0，使得fx=t有解；④當(dāng)a>2時，?t∈R，使得fx=t有三解.其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
17.在?ABC中，c=2，C=30°，在從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：
(1)a的值；
(2)?ABC的面積．
條件①：2b= 3a；
條件②：A=45°；
條件③：b=2 3．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
18.如圖，在三棱錐V?ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分別為VA，VB的中點．
(Ⅰ)求證：AB//平面CMN；
(Ⅱ)求證：AB⊥VC；
(Ⅲ)求直線VB與平面ABC所成角的正弦值．
19.近年來，隨著5G網(wǎng)絡(luò)、人工智能等技術(shù)的發(fā)展，無人駕駛技術(shù)也日趨成熟．為了盡快在實際生活中應(yīng)用無人駕駛技術(shù)，國內(nèi)各大汽車研發(fā)企業(yè)都在積極進行無人駕駛汽車的道路安全行駛測試．某機構(gòu)調(diào)查了部分企業(yè)參與測試的若干輛無人駕駛汽車，按照每輛車的行駛里程(單位：萬公里)將這些汽車分為4組：5,6,6,7，7,8,8,9并整理得到如下的頻率分布直方圖：
(I)求a的值；
(Ⅱ)該機構(gòu)用分層抽樣的方法，從上述4組無人駕駛汽車中隨機抽取了10輛作為樣本．從樣本中行駛里程不小于7萬公里的無人駕駛汽車中隨機抽取2輛，其中有X輛汽車行駛里程不小于8萬公里，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(Ⅲ)設(shè)該機構(gòu)調(diào)查的所有無人駕駛汽車的行駛里程的平均數(shù)為μ0.若用分層抽樣的方法從上述4組無人駕駛汽車中隨機抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為μ1;若用簡單隨機抽樣的方法從上述無人駕駛汽車中隨機抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為μ2.有同學(xué)認為μ0?μ10時，f(x)>x2?3x+1恒成立．
21.已知函數(shù)fx=2sinx?xcsx?axa∈R．
(1)若曲線y=fx在點0,f0處的切線的斜率為1．
(ⅰ)求a的值；
(ⅱ)證明：函數(shù)fx在區(qū)間0,π內(nèi)有唯一極值點；
(2)當(dāng)a≤1時，證明：對任意x∈0,π，fx>0．
22.已知數(shù)列an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)k∈N?，使得a2n?1+a2n=kan對任意的n∈N?成立，則稱數(shù)列an具有性質(zhì)Ψk．
(1)分別判斷下列數(shù)列an是否具有性質(zhì)Ψ2；(直接寫出結(jié)論)
①an=1；
②an=2n．
(2)若數(shù)列an滿足an+1≥ann=1,2,3,?，求證：“數(shù)列an具有性質(zhì)Ψ2”是“數(shù)列an為常數(shù)列”的充分必要條件；
(3)已知數(shù)列an中a1=1，且an+1>ann=1,2,3,?.若數(shù)列an具有性質(zhì)Ψ4，求數(shù)列an的通項公式．
參考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
9.B
10.C
11.1
12.60
13.9；5
14.3；2
15.②④
16.③④
17.(1)(1)選擇條件①，
2b= 3a，由于C=30°，c=2，
所以csC=a2+b2?c22ab=a2+ 32a2?42a? 32a= 32，解得a=4；
選擇條件②，
A=45°，由于C=30°，c=2，
由正弦定理csinC=asinA，a=csinAsinC=2 2．
選擇條件③，
b=2 3，由正弦定理csinC=bsinB，得sinB=bsinCc= 32，
此時B=60°或B=120°，三角形不唯一，不合題意．
(2)選擇條件①，
2b= 3a，由a=4，則b=2 3，滿足a2=b2+c2，
故?ABC為直角三角形，所以S ?ABC=12bc=2 3；
選擇條件②，
A=45°，在?ABC中，sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC= 6+ 24，
所以S?ABC=12acsinB=12×2 2×2× 6+ 24= 3+1．

18.證明：(Ⅰ)在△VAB中，M，N分別為VA，VB的中點，
所以MN為中位線．
所以MN//AB．
又因為AB?平面CMN，MN?平面CMN，
所以AB//平面CMN
(Ⅱ)在等腰直角三角形△VAC中，AC=CV，
所以VC⊥AC．
因為平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC=AC，VC?平面VAC，
所以VC⊥平面ABC.又因為AB?平面ABC，
所以AB⊥VC．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，VC⊥平面ABC，
直線VB與平面ABC所成角為∠VBC，
因為?ABC是等腰直角三角形，AC=2，所以AB=BC= 2，
所以VB= 22+ 22= 6
所以sin∠VBC=VCVB=2 6= 63

19.(I)由題意可知：1×0.1+0.2+0.4+a=1，所以a=0.3；
(Ⅱ)4組無人駕駛汽車的數(shù)量比為1:2:4:3，若使用分層抽樣抽取10輛汽車，
則行駛里程在7,8這一組的無人駕駛汽車有10×410=4輛，
則行駛里程在8,9這一組的無人駕駛汽車有10×310=3輛，
有題意可知：X的所有可能取值為0,1,2
PX=0=C42C72=27，
PX=1=C41C31C72=47，
PX=2=C32C72=17，
所以X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×27+1×47+2×17=67．
(Ⅲ)這種說法不正確，理由如下：
由于樣本具有隨機性，故μ1，μ2是隨機變量，受抽樣結(jié)果的影響．
因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，
所以μ0?μ10時，令f′(x)=0，解得x=lna．
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
所以a>0時，f(x)在?∞,lna上單調(diào)遞減，在lna,+∞上單調(diào)遞增．
綜上所述，a≤0時，fx單調(diào)增區(qū)間為R，無單調(diào)減區(qū)間，
a>0時，fx單調(diào)增區(qū)間為lna,+∞，單調(diào)減區(qū)間為?∞,lna．
(Ⅱ)a=3時，fx=ex?3x
令x=0，得y=1，則A0,1，
因為f′x=ex?3，所以f′0=1?3=?2，
所以在A點處的切線方程為y?1=?2(x?0)，即y=?2x+1．
(Ⅲ)證明：令gx=f(x)?(x2?3x+1)=ex?x2?1，
則g′x=ex?2x.
令?x=ex?2x，則?′x=ex?2，
當(dāng)00，
即g′x>0恒成立.
所以gx在?∞,+∞上單調(diào)遞增，
所以gx>g0=1?0?1=0，
所以ex?x2?1>0，
即當(dāng)x>0時，fx>x2?3x+1恒成立．

21.(1)(ⅰ)因為fx=2sinx?xcsx?ax，
所以f′x=2csx?csx?xsinx?a=csx+xsinx?a．
因為曲線y=fx在點0,f0處的切線的斜率為1，
所以f′0=1，即1?a=1，故a=0．
經(jīng)檢驗，符合題意.
(ⅱ)由(ⅰ)可知fx=2sinx?xcsx，f′x=csx+xsinx．
設(shè)gx=f′x，則g′x=xcsx．
令g′x=0，又x∈0,π，得x=π2．
當(dāng)x∈0,π2時，g′x>0﹔當(dāng)x∈π2,π時，g′xg0>0，即f′x>0，
此時fx在區(qū)間0,π2上無極值點；
當(dāng)x∈π2,π時，gx=0有唯一解x0，即f′x=0有唯一解x0，
且易知當(dāng)x∈π2,x0時，f′x>0，當(dāng)x∈x0,π時，f′x0﹔當(dāng)x∈π2,π時，?′x0，f′π=?1?a．
(i)當(dāng)f′π=?1?a≥0，即a≤?1時，f′x≥0．
此時函數(shù)fx在0,π內(nèi)單調(diào)遞增，fx>f0=0﹔
(ii)當(dāng)f′π=?1?a0．
由(i)(ii)可知，當(dāng)a≤1時，對任意x∈0,π，總有fx>0．

22.(1)①an=1，對于n∈N?，a2n?1+a2n=2=2an，所以數(shù)列{an}具有“性質(zhì)ψ2”；
②an=2n，對于n∈N?，a2n?1+a2nan=22n?1+22n2n=2n?1+2n≥21?1+21=3，
故a2n?1+a2n≠2an，所以數(shù)列{an}不具有“性質(zhì)ψ2”.
(2)證明：先證“充分性”：
當(dāng)數(shù)列{an}具有“性質(zhì)ψ2”時，有a2n?1+a2n=2an，
又因為an+1≥an，
所以0≤a2n?an=an?a2n?1≤0，
進而有an=a2n
結(jié)合an+1≥an有an=an+1=…=a2n，
即“數(shù)列{an}為常數(shù)列”；
再證“必要性”：
若“數(shù)列{an}為常數(shù)列”，
則有a2n?1+a2n=2a1=2an，
即“數(shù)列{an}具有“性質(zhì)ψ2”.
(3)首先證明：an+1?an≥2．
因為{an}具有“性質(zhì)ψ4”，
所以a2n?1+a2n=4an．
當(dāng)n=1時，有a2=3a1=3．
又因為a2n?1,a2n,an∈N?，且a2n>a2n?1，
所以有a2n≥2an+1，a2n?1≤2an?1，
進而有2an+1≤a2n≤a2n+1?1≤2an+1?2，
所以2(an+1?an)≥3，
結(jié)合an+1,an∈N?可得：an+1?an≥2．
然后利用反證法證明：an+1?an≤2．
假設(shè)數(shù)列{an}中存在相鄰的兩項之差大于3，
即存在k∈N?滿足：a2k+1?a2k≥3或a2k+2?a2k+1≥3，
進而有4(ak+1?ak)=(a2k+2+a2k+1)?(a2k+a2k?1)
=(a2k+2?a2k)+(a2k+1?a2k?1)=[(a2k+2?a2k+1)+(a2k+1?a2k)]+[(a2k+1?a2k)+(a2k?a2k?1)]≥12．
又因為ak+1?ak∈N?，
所以ak+1?ak≥3
依此類推可得：a2?a1≥3，矛盾，
所以有an+1?an≤2．
綜上有：an+1?an=2，
結(jié)合a1=1可得an=2n?1，
經(jīng)驗證，該通項公式滿足a2n?1+a2n=4an，
所以an=2n?1．
X
0
1
2
P
27
47
17
x
(?∞,lna)
lna
(lna,+∞)
f′(x)
–
0
+
f(x)
減
極小值
增

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