學(xué)生用書P169
1.直線的傾斜角與斜率
2.直線方程的五種形式
注意 （1）當(dāng)直線與x軸不垂直時，可設(shè)直線方程為y＝kx＋b；當(dāng)直線與y軸不垂直時，可設(shè)直線方程為x＝my＋n.
（2）截距是指直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，可正，可負(fù)，可零.
1.下列說法正確的是（ D ）
A.直線的傾斜角越大，其斜率越大
B.若直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α
C.經(jīng)過定點(diǎn)P（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示
D.截距可以為負(fù)值
解析 對于A，傾斜角為鈍角的直線的斜率為負(fù)值，故A錯誤；對于B，一條直線的斜率為tan α，此直線的傾斜角不一定為α，如直線y＝x的斜率為tan 5π4，它的傾斜角為π4，B錯誤；對于C，當(dāng)經(jīng)過定點(diǎn)P（x0，y0）的直線與x軸垂直時，斜率不存在，故C錯誤；對于D，截距可以取正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，所以D正確.
2.[易錯題]已知直線l：xtan 60°＋y－3＝0，則直線l的傾斜角α為（ C ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 ∵xtan 60°＋y－3＝0，∴y＝－xtan 60°＋3＝xtan 120°＋3，故直線l的傾斜角是120°，故選C.
3.傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是（ D ）
A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0
解析 ∵直線傾斜角是135°，∴直線的斜率等于－1，∵在y軸上的截距是－1，由直線方程的斜截式得：y＝－1×x－1，即x＋y＋1＝0，故選D.
4.[多選]如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項正確的是（ AD ）
A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1
解析 由題圖知，k2＞k3＞0，k1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1為鈍角，故選AD.
5.[教材改編]經(jīng)過A（0，3），B（－2，0）兩點(diǎn)的直線的方向向量為（1，k），則k的值為 32 .
解析 由題意可得k＝32.
6.[易錯題]已知點(diǎn)A（3，4），則經(jīng)過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為 4x－3y＝0或x＋y－7＝0 .
解析 設(shè)直線在x軸、y軸上的截距均為a.（討論截距是否為0）
①若a＝0，即直線過點(diǎn)（0，0）及（3，4），
則直線的方程為y＝43x，即4x－3y＝0；
②若a≠0，設(shè)所求直線的方程為xa＋ya＝1，
又點(diǎn)（3，4）在直線上，所以3a＋4a＝1，所以a＝7.
所以直線的方程為x＋y－7＝0.
綜上可知，所求直線的方程為4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
學(xué)生用書P170
命題點(diǎn)1 直線的傾斜角與斜率
例1 （1）直線2xcs α－y－3＝0（α∈[π6，π3]）的傾斜角的取值范圍是（ B ）
A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
解析 直線2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因為α∈[π6，π3]，所以12≤cs α≤32，因此k＝2cs α∈[1，3].設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π），所以θ∈[π4，π3]，即傾斜角的取值范圍是[π4，π3].故選B.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3＝（ D ）
圖1圖2
B.0.8D.0.9
解析 如圖，連接OA，延長AA1與x軸交于點(diǎn)A2，則OA2＝4OD1.因為k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝0.5OD1＋k1DC1＋k2CB1＋k3BA14OD1＝0.5+k1＋k2＋k34＝0.5+k3－0.2+k3－0.1+k34＝0.725，解得k3＝0.9，故選D.
方法技巧
1.直線斜率的求解方法
（1）定義法：k＝tan α（α為直線的傾斜角，且α≠π2）；（2）公式法：k＝y(tǒng)2－y1x2－x1 （（x1，y1），（x2，y2）為直線上兩點(diǎn)，且x1≠x2）.
2.直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系往往借助正切函數(shù)在[0，π）上的圖象判斷，注意正切函數(shù)在[0，π）上不單調(diào)，要注意分類討論.
訓(xùn)練1 （1）已知點(diǎn)A（－1，1），B（1，2），C（0，－1），過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（ C ）
A. [－2，3]B. [－2，0）∪（0，3]
C. （－∞，－2]∪[3，＋∞）D.以上都不對
解析 如圖所示，∵過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kBC或k≤kAC，又kBC＝2－（－1）1－0＝3，kAC＝1－（－1）－1－0＝－2，∴k≥3或k≤－2，∴直線l的斜率k的取值范圍是（－∞，－2]∪[3，＋∞），故選C.
（2）直線x＋（a2＋1）y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是（ B ）
A.[0，π4]B.[3π4，π）
C.[0，π4]∪（π2，π]D.[π4，π2）∪[3π4，π）
解析 因為a2＋1≠0，所以直線的斜率k＝－1a2+1，設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=-1a2+1，所以－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π，故選B.
命題點(diǎn)2 求直線的方程
例2 （1）已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是（ D ）
A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0
解析 設(shè)直線l的傾斜角為α，則tan α＝k＝2，
直線l繞點(diǎn)M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得直線的斜率k'＝tan（α＋π4）＝2+11－2×1＝－3，又由題意得點(diǎn)M（2，0），
所以所求直線方程為y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0，故選D.
（2）已知直線l過點(diǎn)P（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)△ABO的面積最小時，直線l的方程為 2x＋3y－12＝0 .
解析 解法一 設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），則直線l的方程為xa＋yb＝1.因為l過點(diǎn)P（3，2），所以3a＋2b＝1.因為1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b，即a＝6，b＝4時取等號.此時直線l的方程是x6＋y4＝1，即2x+3y-12=0.
解法二 依題意知，直線l的斜率k存在且k＜0，則直線l的方程為y－2＝k（x－3），則A（3－2k，0），B（0，2－3k），
S△ABO＝12（2－3k）（3－2k）＝12[12＋（－9k）＋4－k]≥12[12＋2（－9k）·4－k ]＝12×12+12=12，
當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝4－k，即k＝－23（正值舍去）時，等號成立.
所以所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.
方法技巧
求直線方程的兩種方法
訓(xùn)練2 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1，2），B（4，7），若點(diǎn)C滿足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），則點(diǎn)C的軌跡方程為 5x－3y＋1＝0 .
解析 ∵點(diǎn)C滿足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），∴OC=αOA+1－αOB=αOA－OB+OB，∴OC－OB＝α（OA－OB），∴BC＝αBA，由共線向量基本定理可知，A，B，C三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)C的軌跡為直線AB，
又A（1，2），B（4，7），∴直線AB的方程為y－27－2＝x－14－1，整理得5x－3y＋1＝0，故點(diǎn)C的軌跡方程為5x－3y＋1＝0.
命題點(diǎn)3 直線方程的綜合應(yīng)用
例3 （1）已知點(diǎn)A（2，5），B（4，1）.若點(diǎn)P（x，y）在線段AB上，則2x－y的最大值為（ C ）
A.－1B.3C.7D.8
解析 依題意得kAB＝5－12－4＝－2，則線段lAB：y－1＝－2（x－4），x∈[2，4]，即y=-2x+9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2，4].設(shè)h（x）＝4x－9，x∈[2，4]，易知h（x）＝4x－9在[2，4]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝4時，h(x)max =4×4－9=7.
（2）已知直線l的方程為（a＋1）x＋y＋3－a＝0（a∈R），則直線l過定點(diǎn) （1，
－4） ；若直線l不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是 [3，＋∞） .
解析 直線l：（a＋1）x＋y＋3－a＝0可化為a（x－1）＋x＋y＋3＝0，令x－1=0，x＋y+3=0，解得x=1，y＝－4，∴直線l過定點(diǎn)（1，－4）.∵直線l的方程可化為y=-a+1x+a-3，且直線l不經(jīng)過第三象限，∴－（a+1）

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