備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學精品教案第八章平面解析幾何第8講直線與圓錐曲線的位置關系（Word版附解析）-教案下載-教習網(wǎng)

學生用書P192
1.直線與圓錐曲線位置關系的判斷
將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關于x（或y）的一元二次方程，設其判別式為Δ，則① Δ＞0 ?有兩個交點 ?相交；Δ＝0?有一個交點?相切；② Δ＜0 ?無交點?相離.
注意直線與雙曲線方程聯(lián)立消元后，得出的方程中二次項系數(shù)為零時，直線與雙曲線漸近線平行，兩者有且只有一個交點；二次項系數(shù)不為零時，利用判別式進行判斷.
2.弦長與中點弦
（1）弦長公式
當直線的斜率存在時，直線l：y＝kx＋b與曲線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則弦長｜AB｜＝③ 1+k2·｜x1－x2｜＝（1+k2)[(x1＋x2）2－4x1x2].
當直線斜率不為零時，直線l：x＝my＋n與曲線C相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），則弦長｜AB｜＝1+m2｜y1－y2｜＝（1+m2)[(y1＋y2）2－4y1y2].
注意（1）過焦點的弦稱為焦點弦；與焦點所在對稱軸垂直的焦點弦稱為通徑.（2）通徑是橢圓與拋物線的焦點弦中最短的弦，橢圓的通徑長為2b2a，拋物線的通徑長為2p.（3）雙曲線中同支的焦點弦中最短的為通徑，其長為2b2a；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.
（2）中點弦
若AB是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，O為原點，M為AB的中點，則kOM·kAB＝－b2a2.
若AB是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸的弦，O為原點，M為AB的中點，則kOM·kAB＝b2a2.
3.切線與切點弦所在直線的方程
1.直線y＝x＋1與橢圓x25＋y24＝1的位置關系是（ A ）
A.相交B.相切C.相離D.無法判斷
解析解法一聯(lián)立直線與橢圓的方程得y＝x+1，x25＋y24=1，消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直線與橢圓相交.
解法二因為直線過點（0，1），而0＋14＜1，即點（0，1）在橢圓內(nèi)部，所以可推斷直線與橢圓相交.
2.過橢圓x24＋y23＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為（ B ）
A.8，6B.4，3C.2，3D.4，23
解析由題意知，a＝2，b＝3，c＝1，最長弦過兩個焦點，長為2a＝4，最短弦垂直于x軸，把x＝1代入x24＋y23＝1，得｜y｜＝32，所以最短弦的長為3.故選B.
3.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是（ C ）
A.2B.4C.8D.16
解析由y＝x－1，y2=4x，消去y并整理得x2－6x＋1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+1×36－4＝8.
4.已知點A，B是雙曲線C：x22－y23＝1上的兩點，線段AB的中點是M（3，2），則直線AB的斜率為（ D ）
A.23B.32C.49D.94
解析設A（x1，y1），B（x2，y2），∵點A，B是雙曲線C上的兩點，∴x122－y123＝1，x222－y223＝1，兩式相減得（x1＋x2)(x1－x2）2＝（y1＋y2)(y1－y2）3，∵M（3，2）是線段AB的中點，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴6（x1－x2）2＝4（y1－y2）3，∴kAB＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝94.（也可以直接利用公式kOM·kAB＝b2a2求解）
學生用書P194
命題點1 直線與圓錐曲線的位置關系
例1 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝（ C ）
A.23B.23C.－23D.－23
解析由題意，F(xiàn)1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即｜－2＋m｜2＝2×｜2＋m｜2，解得m＝－23或m＝－32，由y＝x＋m，x23＋y2=1，得43x2＋2mx＋m2－1＝0，則Δ＝（2m）2－4×43（m2－1）＝－43m2＋163＞0，解得－2＜m＜2，所以m＝－23.故選C.
（2）[2022全國卷甲]記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值 2（答案不唯一） .
解析雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點，則2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，5]，∴填寫（1，5]內(nèi)的任意值均可.
方法技巧
（1）直線與橢圓的位置關系問題可直接轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點個數(shù)問題.
（2）直線與雙曲線只有一個交點，則直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.
（3）直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行（或重合）.
（4）對于過定點的直線，可以根據(jù)定點與圓錐曲線的位置關系判斷直線與圓錐曲線的位置關系，注意數(shù)形結(jié)合的應用.
訓練1 （1）[2023天津高考]過原點O的一條直線與圓C：（x＋2）2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px（p＞0）于點P，若｜OP｜＝8，則p的值為 6 .
解析由題意得直線OP的斜率存在.設直線OP的方程為y＝kx，因為該直線與圓C相切，所以｜－2k｜1+k2＝3，解得k2＝3.將直線方程y＝kx與曲線方程y2＝2px（p＞0）聯(lián)立，得k2x2－2px＝0，因為k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝ 2p3.設P（x1，y1），則x1＝2p3，又O（0，0），所以｜OP｜＝1+k2｜x1－0｜＝2×2p3＝8，解得p＝6.
（2）已知對任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓x25＋y2m＝1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為 [1，5）∪（5，＋∞） .
解析解法一（代數(shù)法）由橢圓方程，可知m＞0且m≠5，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得y－kx－1=0，x25＋y2m=1，整理，得（5k2＋m）x2＋10kx＋5（1－m）＝0.因為直線與橢圓恒有公共點，故Δ＝（10k）2－4×（5k2＋m）×5（1－m）＝20（5k2m－m＋m2）≥0.因為m＞0，所以不等式等價于5k2－1＋m≥0，即k2≥1－m5，由題意，可知要使不等式恒成立，則1－m5≤0，解得m≥1.綜上，m的取值范圍為[1，5）∪（5，＋∞）.
解法二（幾何法）因為方程x25＋y2m＝1表示橢圓，所以m＞0且m≠5.因為直線y－kx－1＝0過定點（0，1），所以要使直線和橢圓恒有公共點，點（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即025＋12m≤1，整理得1m≤1，解得m≥1.綜上，m的取值范圍為[1，5）∪（5，＋∞）.
命題點2 弦長及中點弦問題
角度1 弦長問題
例2 [2022新高考卷Ⅰ]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，｜DE｜＝6，則△ADE的周長是 13 .
解析由對稱性不妨令F1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，如圖，連接AF1，DF2，EF2，因為C的離心率為12，所以ca＝12，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.由題意知｜AF1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直線DE的方程為y＝33（x＋c），代入橢圓C的方程x24c2＋y23c2＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.設D（x1，y1），E（x2，y2），則x1＋x2＝－8c13，x1x2＝－32c213，所以｜DE｜＝（1+13)[（x1＋x2）2－4x1x2]＝43[(－8c13）2－4×（－32c213)]＝48c13＝6，解得c＝138，所以a＝2c＝134，所以△ADE的周長為AD+AE+DE=DF2+EF2+DE=4a=13.
例3 [2023成都市模擬]已知拋物線C：y2＝2px（p＞0，p≠4），過點A（2，0）且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點.
（1）設點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為k1，k2，若k1＋k2＝0，求點B的坐標；
（2）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求｜MN｜｜AP｜·｜AQ｜的值.
解析（1）由題意，直線PQ的方程為y＝k（x－2），其中k≠0.
設B（m，0），P（y122p，y1），Q（y222p，y2）.
由y＝k（x－2),y2=2px，消去x，整理得y2－2pky－4p＝0，
∴Δ＝4p2k2＋16p＞0，y1＋y2＝2pk，y1y2＝－4p.
∵k1＋k2＝0，∴y1y122p－m＋y2y222p－m＝0，
即y1y2（y1＋y2）2p－m（y1＋y2）＝0，
∴（－4p2p－m）·2pk＝0，即（m＋2）·2pk＝0.
∵p＞0，∴m＝－2.
∴點B的坐標為（－2，0）.
（2）由題意，F(xiàn)（p2，0），∴直線MN的方程為y＝k（x－p2），k≠0.設M（xM，yM），
N（xN，yN）.
由y＝k（x－p2),y2=2px，消去y，整理得k2x2－（k2p＋2p）x＋k2p24＝0，
∴Δ1＝4k2p2＋4p2＞0，xM＋xN＝p＋2pk2，
∴｜MN｜＝xM＋xN＋p＝（1＋1k2）·2p.
又｜AP｜＝1+1k2｜y1｜，｜AQ｜＝1+1k2｜y2｜，
∴｜AP｜·｜AQ｜＝（1＋1k2）·｜y1y2｜＝（1＋1k2）·4p.
∴｜MN｜｜AP｜·｜AQ｜＝（1+1k2）·2p（1+1k2）·4p＝12.
方法技巧
（1）使用弦長公式時注意對直線斜率的討論.
（2）直線經(jīng)過特殊點（如焦點、原點等）或斜率特殊時，利用圓錐曲線的定義或數(shù)形結(jié)合來求弦長.
角度2 中點弦問題
例4 （1）[2023全國卷乙]設A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ D ）
A.（1，1）B.（－1，2）
C.（1，3）D.（－1，－4）
解析選項中的點均位于雙曲線兩支之間，故A，B分別在雙曲線的兩支上且不關于原點對稱，設線段AB的中點坐標為（x0，y0），則｜kAB｜＝9｜x0y0｜＜3，（若雙曲線的弦AB的中點為M，O為坐標原點，則kAB·kOM＝b2a2）
即｜y0｜＞3｜x0｜，結(jié)合選項可知選D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知直線l與橢圓x26＋y23＝1在第一象限交于A，B兩點，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝23，則l的方程為 x＋2y－22＝0 .
解析設直線l的方程為xm＋yn＝1（m＞0，n＞0），分別令y＝0，x＝0，得點M（m，0），N（0，n）.由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，設為Q，則Q（m2，n2），則kAB＝0－nm－0＝－nm，kOQ＝n2m2＝nm.由橢圓中點弦的性質(zhì)知，kAB·kOQ＝－b2a2＝－12，即-nm?nm=-12，整理得m2＝2n2 ①.又｜MN｜＝23，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12 ②，由①②并結(jié)合m＞0，n＞0，得m=22，n=2，所以直線l的方程為x22＋y2＝1，即x＋2y－22＝0.
方法技巧
點差法解決中點弦問題的步驟
（1）設弦的兩個端點：A（x1，y1），B（x2，y2）；
（2）將兩點坐標分別代入圓錐曲線方程中并兩式作差，得到關于直線AB的斜率和線段AB的中點坐標的關系式；
（3）將已知條件代入關系式并化簡求解.
訓練2 （1）已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則｜AB｜＋｜DE｜的最小值為（ A ）
A.16B.14C.12D.10
解析解法一焦點F（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），易知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，分別設為k1，k2，則直線l1的方程為y=k1x－1,由y2=4x，y＝k1（x－1),消去y并整理得k12x2－（2k12＋4）x＋k12＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2k12+4k12.因為l1⊥l2，所以k2＝－1k1.同理有x3＋x4＝2（－1k1）2+4（－1k1）2＝2＋4k12，則AB+DE＝x1+x2+x3+x4+2＝2k12+4k12＋2＋4k12＋4＝4k12＋4k12＋8≥24k12·4k12＋8＝16，當且僅當4k12＝4k12，即k1＝±1時，｜AB｜＋｜DE｜取最小值 16.故選A.
解法二設l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為θ±π2，易知θ≠0且θ≠π2，由拋物線焦點弦的弦長公式得｜AB｜＝2psin2θ＝4sin2θ，則｜DE｜＝2psin2（θ±π2）＝4cs2θ，則｜AB｜＋｜DE｜＝4sin2θ＋4cs2θ＝4（sin2θ＋cs2θsin2θcs2θ）＝16sin22θ，當sin 2θ＝1時，｜AB｜＋｜DE｜取最小值16.故選A.
（2）[2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測（一）]已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，A為橢圓E的上頂點，過點F1且平行于AF2的直線l與橢圓E交于B，C兩點，M為弦BC的中點，且直線l的斜率與OM的斜率的乘積為－34，則橢圓E的離心率為 12 ；若｜OM｜＝319，則直線l的方程為 3x＋y＋153＝0 .
解析設B（x1，y1），C（x2，y2），M（x0，y0），則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.橢圓E：x2a2＋y2b2＝1，即b2x2＋a2y2＝a2b2，所以b2x12＋a2y12＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，得b2x1+x2x1-x2+a2y1+y2y1-y2=0,由題意可知，x1－x2≠0，所以2b2x0＋2a2y0·y1－y2x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2·y0x0=-b2a2，即kl·kOM＝－b2a2，所以－b2a2＝－34，所以b2a2＝34.因為e2＝1－b2a2＝1－34＝14，00，y1＋y2＝k（x1＋x2）－6=24k2－4=3，
解得k＝23或k＝－23（舍去），
所以直線PQ的方程為y＝23x－3，x1＋x2＝332，x1·x2＝138，
所以｜PQ｜＝1+k2·｜x1－x2｜＝13·（x1＋x2）2－4x1x2＝132，
又O點到直線PQ的距離d＝31+12＝313，
所以△OPQ的面積S＝12×132×313＝34.
13.[2022北京高考]已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），焦距為23.
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點P（－2，1）作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N.當｜MN｜＝2時，求k的值.
解析（1）依題意可知b=1，2c=23，a2＝b2＋c2，得a=2，b=1，c＝3，故橢圓E的方程為x24＋y2＝1.
（2）由題可知直線BC的方程為y－1＝k（x＋2），設B（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立直線BC和橢圓E的方程，得y－1=k（x+2),x24＋y2=1，
整理得（4k2＋1）x2＋（16k2＋8k）x＋16k2＋16k＝0，
∴x1＋x2＝－16k2+8k4k2+1，x1x2＝16k2+16k4k2+1，
由Δ＞0得k＜0，
易知直線AB的斜率kAB＝y(tǒng)1－1x1，
直線AB的方程為y＝y(tǒng)1－1x1x＋1，
令y＝0，可得點M的橫坐標xM＝x11－y1，同理可得點N的橫坐標xN＝x21－y2.
∴｜MN｜＝｜x11－y1－x21－y2｜＝｜x1－k（x1+2）－x2－k（x2+2）｜＝
｜1k（x2x2+2－x1x1+2）｜＝｜1k·x2（x1+2)－x1（x2+2）x1x2+2（x1＋x2）+4｜＝｜1k·2（x1＋x2）2－4x1x2x1x2+2（x1＋x2）+4｜＝
｜1k·2（－16k2+8k1+4k2）2－4×16k2+16k1+4k216k2+16k1+4k2+2（－16k2－8k1+4k2）+4｜＝
｜1k·264（2k2＋k）2－4×16（k2＋k)(1+4k2）（1+4k2）216k2+16k1+4k2＋－32k2－16k1+4k2＋4+16k21+4k2｜＝
｜4－kk｜＝2，得k＝－4.
14.[角度創(chuàng)新]已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P滿足OP＝λOF（O為坐標原點），若過點O作互相垂直的兩弦OA，OB，則當弦AB恒過點P時，λ的所有可能取值的集合為（ A ）
A.{4}B.{3}C.{14，4，3}D.{13，3，4}
解析由OP＝λOF，得O，P，F(xiàn)三點共線，所以點P在x軸上.
設直線AB的方程為x＝my＋a（a≠0），
聯(lián)立直線AB和拋物線的方程得x＝my＋a，y2=2px，消去x并整理，得y2－2pmy－2pa＝0，Δ＝4p2m2＋8pa＞0.
設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝－2pa，x1x2＝y(tǒng)122p×y222p＝a2.
因為OA⊥OB，所以OA·OB＝0，則x1x2＋y1y2＝0，即a2－2pa＝0，解得a＝2p或a＝0（舍去），則直線AB的方程為x＝my＋2p，
可知直線AB恒過定點（2p，0），即P（2p，0）.
則OP＝（2p，0），OF＝（p2，0），由OP＝λOF，得λ＝4.故選A.命題點
五年考情
命題分析預測
直線與圓錐曲線的位置關系
2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷ⅡT10；2022全國卷甲T15；2020新高考卷ⅡT21
本講每年必考，命題熱點為直線與圓錐曲線相交的弦長、中點弦問題，以及直線與圓錐曲線的綜合應用，常與向量、圓等知識綜合命題，難度中等偏上.在2025年高考備考時應重視和直線與圓錐曲線的位置關系相關的典型題型的研究，注意培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).在解題時，要充分利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.
弦長及中點弦問題
2023全國卷乙T11；2023全國卷甲T20；2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16； 2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷ⅠT13；2020全國卷ⅡT19；2019全國卷ⅠT19
切線及切點弦問題
2021全國卷乙T21
直線與圓錐曲線的綜合應用
2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023全國卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷ⅠT11； 2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT21；2022全國卷乙T20；2022全國卷甲T20；2021新高考卷ⅠT21； 2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020全國卷ⅠT20；2019全國卷ⅡT21；2019全國卷ⅢT21
圓錐曲線的方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2＝2px（p＞0）
過曲線上一點P（x0，y0）的切線方程
x0xa2＋y0yb2＝1
x0xa2－y0yb2＝1
y0y＝p（x0＋x）
過曲線外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦所在直線的方程
x0xa2＋y0yb2＝1
x0xa2－y0yb2＝1
y0y＝p（x0＋x）

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