一、單選題
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．不存在
2．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（ ）
A．B．1C．D．0
3．已知橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
5．從點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為2，則不滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．如圖，在三棱錐中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
8．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、．現(xiàn)有如下命題：①右支上存在點(diǎn)滿(mǎn)足為等腰三角形，，且；②右支上不存在點(diǎn)滿(mǎn)足為等腰三角形，，且．那么下列判斷正確的是（ ）
A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題
二、多選題
9．已知直線，圓，則（ ）
A．不過(guò)定點(diǎn)B．與相交
C．圓心到的距離的最大值為1D．是的一個(gè)方向向量
10．如圖，在四棱錐，平面，底面是平行四邊形，與交于點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．點(diǎn)到的距離為
D．
11．已知曲線，其中，則（ ）
A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．曲線上存在橫坐標(biāo)大于1的點(diǎn)
C．若，曲線與軸圍成的面積大于
D．
三、填空題
12．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線方程是 ．
13．空間中，，，，，且平面，則 ．
14．已知曲線與圓交于，，，四個(gè)點(diǎn)，且四邊形的面積為4，則圓的面積為 ．
四、解答題
15．已知向量，，，且．
(1)求；
(2)若向量與垂直，求．
16．已知直線，，，．
(1)證明：與的交點(diǎn)不在軸上；
(2)已知與交于點(diǎn)，，分別與軸交于，點(diǎn)，記的面積為，求的取值范圍．
17．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，記其軌跡為，與軸交于點(diǎn)，過(guò)（異于點(diǎn)）作直線的垂線．
(1)求曲線的方程；
(2)記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．
18．如圖，多面體中，四邊形為等腰梯形，四邊形為矩形，為上一點(diǎn)，且，．

(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為直二面角，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求：
①多面體的體積；
②平面與平面所成銳二面角的余弦值．
19．如圖，已知拋物線，直線依次與，軸交于點(diǎn)，直線依次與，軸交于點(diǎn)，其中，．
(1)若，且，求；
(2)若，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：
①；②．
參考答案：
1．A
【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為且，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系確定角的大小.
【詳解】由且，易知斜率為1，直線傾斜角為.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)題意知直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入即得答案.
【詳解】由題意直線過(guò)圓心，則.
故選：B
3．A
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)確定焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積，再應(yīng)用等面積法得到齊次式，即可求離心率.
【詳解】由題設(shè)，焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為，面積為，又其內(nèi)切圓半徑為，
所以.
故選：A
4．C
【分析】根據(jù)空間向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律整理化簡(jiǎn)，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，易知，且，
.
故選：C
5．B
【分析】根據(jù)圓切線的性質(zhì)有，，結(jié)合基本不等式、滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所在圓的半徑范圍，進(jìn)而確定不滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所在區(qū)域的半徑范圍，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，易知，，且，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，
則不滿(mǎn)足條件點(diǎn)所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，故面積為.
故選：B
6．B
【分析】設(shè)聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理、面積公式列方程得，進(jìn)而求線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【詳解】由題設(shè)，令，聯(lián)立拋物線得，顯然，
所以，，則，
所以，可得，
又，故線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.
故選：B
7．B
【分析】若分別是中點(diǎn)，連接，應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，將、作轉(zhuǎn)化，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.
【詳解】若分別是中點(diǎn)，連接，
若，則，可得，
所以，
即，
所以，即，
所以，充分性成立；
若，則
，
所以，即，必要性成立，
故選：B
8．D
【分析】由①中，求得，即重合，即可判斷真假；由②，且求得，即重合，即可判斷真假.
【詳解】若，且，設(shè)，則，
由，則，
此時(shí)為雙曲線的右頂點(diǎn)，即重合，與為等腰三角形矛盾，①為假命題；
若，則，又，即，則，
此時(shí)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)知重合，與為等腰三角形矛盾，②為假命題；

故選：D
9．BC
【分析】根據(jù)直線方程確定定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；定點(diǎn)坐標(biāo)代入圓，判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系判斷B；根據(jù)直線斜率寫(xiě)出一個(gè)方向向量，判斷是否與平行判斷D；數(shù)形結(jié)合判斷C.
【詳解】由過(guò)定點(diǎn)，圓心，半徑為，
而，即在圓內(nèi)，A錯(cuò)，B對(duì)，如下圖，
當(dāng)時(shí)，圓心到的距離的最大值為1，C對(duì)；
由，故是的一個(gè)方向向量，顯然不與向量平行，
所以不是的一個(gè)方向向量，錯(cuò).
故選：BC
10．ABD
【分析】由向量加法的幾何意義判斷A；利用向量加減的幾何意義及數(shù)量積運(yùn)算律化簡(jiǎn)判斷B；利用向量法求點(diǎn)線距離判斷C；由向量夾角的定義及數(shù)量積運(yùn)算律判斷D.
【詳解】A：由題意有，所以，對(duì)；
B：，
由平面，平面，則，，
所以，對(duì)；
C：由，則，
所以點(diǎn)到的距離為，錯(cuò)；
D：由，
由，則，對(duì).
故選：ABD
11．ACD
【分析】A將代入曲線方程驗(yàn)證；B根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，研究部分曲線，有，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)知方程在上有解，推出矛盾；D分析研究部分曲線，有，知時(shí)，或，化為求、與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)判斷，C結(jié)合圓，判斷其上下左右邊界與曲線在且部分的位置關(guān)系即可.
【詳解】A：曲線任取一點(diǎn)，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，
代入曲線，得，即，
所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)；
B：由對(duì)稱(chēng)性，只需研究部分曲線，此時(shí)，
所以，對(duì)應(yīng)關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，
若存在橫坐標(biāo)大于1的點(diǎn)，即方程在上有解，
所以，即，與矛盾，錯(cuò)；
D：結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，只需研究部分，且，
當(dāng)時(shí)，或，
所以為與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，是與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，
聯(lián)立與曲線，得，即，
將代入左側(cè)，得，即；
聯(lián)立與曲線，得，即，
將代入左側(cè)，得，即，
綜上，，對(duì)；
C：由對(duì)稱(chēng)性，只需研究且的曲線部分，其上界滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，而，顯然，
對(duì)于圓，其面積為，上界高于曲線的上界，下界高于曲線的下界，
且，上述圓與已知曲線均過(guò)，即它們的左右邊界重合，
易知該部分曲線圍成的圖形面積大于，對(duì)；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)，注意在情況下，得或，問(wèn)題化為求、與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)范圍.
12．
【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，先確定所求直線的斜率，在用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，化簡(jiǎn)即可.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1，所以其傾斜角為.
將其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得直線的傾斜角為，所以所求直線的斜率為：.
所以所求直線方程為：即.
故答案為：
13．
【分析】先求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)線面平行得出線線垂直,計(jì)算數(shù)量積即可求參.
【詳解】因?yàn)?，，，，，?br>所以；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得，
可得法向量，
由平面可得，即可得，經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足題意.
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)，結(jié)合圓的對(duì)稱(chēng)性畫(huà)示意圖，設(shè)且，利用、分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且四邊形為矩形，列方程求參數(shù)，最后由及圓的面積公式求面積.
【詳解】由，即為過(guò)一、三象限的雙曲線，如下圖示，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，、分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且四邊形為矩形，
不妨令且，則，
則，故，
所以，又，
所以，即，所以，
若（負(fù)值舍），此時(shí)，則，圓的面積為；
若（負(fù)值舍），此時(shí)，則，圓的面積為；
綜上，圓的面積為.
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)向量加減及模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合列方程求參數(shù)；
（2）由向量加減、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，再應(yīng)用向量減法和模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】（1）由，即，
所以，整理得；
（2）由，又向量與垂直，
所以，
所以.
16．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）聯(lián)立直線求交點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可證；
（2）首先求得、、，應(yīng)用三角形面積公式
可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)、基本不等式求范圍.
【詳解】（1）聯(lián)立，可得，又，，
所以，
即與的交點(diǎn)不在軸上；
（2）由（1）知，，
由，令，有，
由，令，可得，
則，
所以，故，
令，則，
對(duì)于，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
所以，
故，
則.
所以.
17．(1)且；
(2)證明見(jiàn)解析；
【分析】（1）利用向量加法、模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求曲線方程；
（2）根據(jù)題設(shè)，且，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求、，并求出的坐標(biāo)，得到關(guān)于的表達(dá)式，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)，則，
所以所求曲線方程為且.
（2）由題設(shè)及圓的性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，
如下圖，不妨設(shè)，且，
則到的距離為，到的距離為，
令且，則，故，
所以，則，
綜上，，為定值.
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；
（2）①根據(jù)組合體的體積將多面體分為三棱錐和三棱柱求解；
②建立空間直角坐標(biāo)系，用法向量求解二面角的余弦值.
【詳解】（1）

取中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，?br>所以，，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以三角形為等腰三角形，
又因?yàn)?，，為中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?br>所以，
所以
又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?br>所以，
又因?yàn)椋妫?br>所以面，
又因?yàn)槊妫?br>所以平面平面
（2）①
過(guò)點(diǎn)作與交于點(diǎn)，連接，
由（1）知，面，面，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>所以為二面角的平面角，
因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵?br>所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以三棱錐的體積最大時(shí)，，
所以多面體的體積.
②取中點(diǎn)為，過(guò)作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，
則，，，
設(shè)面的法向量為m=x1,y1,z1，
則，令，則，
則，
設(shè)面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，令，則，
則，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
19．(1)2
(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用平行關(guān)系，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，分別聯(lián)立兩直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式用參數(shù)分別表達(dá)弦長(zhǎng)，建立的方程求解可得；
（2）①由轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)等量關(guān)系，結(jié)合拋物線方程證明橫坐標(biāo)相等即可得證；
②設(shè)，由直線與拋物線相交于可用表示點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合①可得，由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可得，由直線與拋物線相交于，可用點(diǎn)坐標(biāo)表示坐標(biāo)，即也可用點(diǎn)表示坐標(biāo)，由此分別表示，從而證明相等關(guān)系即可.
【詳解】（1）由直線，直線，可知，
如圖，設(shè)兩平行線之間的距離為，
則點(diǎn)到邊的距離與點(diǎn)到邊的距離都等于.
所以，由，得.
聯(lián)立直線與拋物線，設(shè)，
由，消得，
，由，可知.
由韋達(dá)定理知，
則
，
由直線，，
同理可得
，
則，解得，又，則.
（2）設(shè)，由題意可得，
①由，得，
則，即，所以，
由都在拋物線上，
得，，故；
②由①知，，
由，則，且.
由（1）可知，，，
則，；
同理可得，.
所以
由點(diǎn)即關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
故；
同理可得，，；
所以.
又由，則，
所以，
則，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，一是第（1）問(wèn)中將面積比轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度比，再通過(guò)聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式，將長(zhǎng)度坐標(biāo)化用參數(shù)表示出來(lái)，利用已知建立方程求解；二是理清之間，之間，及之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，從而將所有長(zhǎng)度問(wèn)題都統(tǒng)一化歸到點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，使得式子兩邊的相等關(guān)系清晰化.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
C
B
B
B
D
BC
ABD
題號(hào)
11









答案
ACD









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