注意事項(xiàng)：
1．本試卷共4頁(yè)，三個(gè)大題，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。
一、選擇題
1．古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱美．下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如表是代數(shù)式的值的情況，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可知方程的根是（ ）
A．B．C．D．
3．將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑所在的直線翻折，可以看到折痕兩側(cè)的半圓互相重合．由此說明（ ）。
A．圓的直徑互相平分
B．垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的弧
C．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心
D．圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸
4．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)在同一條直線上，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．C．D．
5．已知是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于（ ）
A．2025B．0C．D．2023
6．已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根是（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；堅(jiān)放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等。問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問題中的門高是（ ）尺。
A．6B．8C．12D．13
8．小明以二次函數(shù)的圖象為模型設(shè)計(jì)了一款杯子，如圖為杯子的設(shè)計(jì)稿，若，則杯子的高為（ ）
A．21B．22C．23D．24
9．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線：，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
10．對(duì)于一元二次方程，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法．以方程為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即，據(jù)此易得．小明用此方法解關(guān)于的方程，其中構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4，則的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空題
11．方程的解為_______．
12．請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
13．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．
14．二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像如圖所示，則時(shí)，的取值范圍是_______．
15．如圖，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，_______．
三、解答題
16．（8分）用適當(dāng)方法解下列方程：
（1）
（2）；
17．（9分）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“黃金方程”。
（1）判斷一元二次方程是否為“黃金方程”，并說明理由；
（2）已知是關(guān)于的“黃金方程”，若是此方程的一個(gè)根，則的值為多少？
18．（9分）如圖，圓內(nèi)接四邊形是的直徑，交于點(diǎn)，．
（1）求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
（2）若，求．
19．（9分）已知二次函數(shù)．
（1）列表并在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；
（3）若將此圖象沿軸向左平移3個(gè)單位，向下移動(dòng)2個(gè)單位，請(qǐng)寫出平移后圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。
20．（9分）如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，連接．
（1）求證：為等邊三角形；
（2）求的周長(zhǎng)．
21．（9分）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每星期可多賣出30件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元．設(shè)每件商品降價(jià)x元，每星期的利潤(rùn)為y元．
（1）用含x的代數(shù)式表示下列各量：
①每件商品的利潤(rùn)為_______元；
②每星期賣出商品的件數(shù)為_______件．
（2）如何定價(jià)才能使每星期的利潤(rùn)最大，其最大值是多少？
22．（11分）如圖，一小球M（看成一個(gè)點(diǎn)）從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球到達(dá)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，解答下列問題：
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）小球落點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在斜坡上的B點(diǎn)有一棵樹（看成線段且垂直于軸），B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為5.9，小球能否飛過這棵樹？通過計(jì)算說明理由．
23．（11分）如圖1，在中，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
圖1 圖2
（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是_______；
（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，直接寫出面積的最大值。
2024--2025學(xué)年度上期期中質(zhì)量檢測(cè)試卷
九年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
二、填空題
11、 12、0（答案不唯一，小于1的實(shí)數(shù)都對(duì)） 13、
14、 15、或
三、解答題
16．解：（1）移項(xiàng)，得，
配方，得，，
由此可得，
．
（2）解：，
，
；
17．解：（1）方程是“黃金方程”．理由如下：
，
．
一元二次方程是“黃金方程”（3分）
（2）是關(guān)于的“黃金方程”，
其中，
，
即．
原方程可化為．
是此方程的一個(gè)根，
即．
解得或．
18．（1）證明：是的直徑，，
，即點(diǎn)為的中點(diǎn)；（3分）
（2）解：是的直徑，，
，
，
，
，
，
．
19．（1）列表得：
描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖像如下：
（2）解：根據(jù)圖象，可知當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為；
（3）解：將變形為，
此圖象沿軸向左平移3個(gè)單位，向下移動(dòng)2個(gè)單位，
則即．
20．解（1）繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上
，
為等邊三角形（3分）
（2）為等邊三角形，
為等邊三角形。
．
的周長(zhǎng)為．
21．解：（1）① ②
（2）
當(dāng)時(shí)，取得最大值6750，此時(shí)售價(jià)為（元）．
答：當(dāng)定價(jià)為55元/件時(shí)才能使每星期的利潤(rùn)最大，其最大值是6750元．
22．解：（1）小球到達(dá)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為．
把代入得，
解得。
拋物線的表達(dá)式為
（2）解方程，得，
當(dāng)時(shí)，，
．
（3）不能．理由：當(dāng)時(shí)，，
小球M不能飛過這棵樹
23．解（1）
（2）等腰直角三角形．理由如下：
由旋轉(zhuǎn)可得．
又．
．
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
是的中位線．
且同理可證且．
．
，
．
即為等腰直角三角形．
（3）面積的最大值為．0
1
2
3
4
12
6
2
0
0
2
6
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
D
D
A
B
B
A
D
C
0
1
2
3
4
5
0
3
4
3
0

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