（試卷共5頁，滿分：150分考試時間：120分鐘）
一、單選題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1. 根式中，與是同類二次根式的有（ ）個
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 若一元二次方程的根為，則該一元二次方程可以為（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，點D、E分別在邊、上，下列條件中，能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知線段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 對于實數(shù)a、b，定義新運算，規(guī)則如下：，則等式中值為（ ）
A 1或-7B. 或7C. D. -7
6. 如圖1是古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟（Parthenm Temple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發(fā)現(xiàn)矩形與矩形相似，則等于（ ）
A. B. C. D.
7. 關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. B. 且C. 且D.
8. 如圖，在中，已知，以點為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點；以點A為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點，連接．則圖中下列線段的長一定是關(guān)于的一元二次方程的一個根的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（ ）
A. B. C. D.
10. 題目：“如圖，在矩形中，，，P，Q分別是BC，CD上的點．”張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解決，甲、乙兩人的做法如下．下列判斷正確的是（ ）
甲：若，則在上存在2個點P，使與相似；
乙：若，則的最大值為
A. 甲對乙錯B. 甲錯乙對C. 甲、乙都對D. 甲、乙都錯
二、填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11. 已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖所示，化簡：______．
12. 已知點P是線段的黃金分割點，且，若，則__________（結(jié)果保留根號）．
13. 方程的兩個根分別是一個直角三角形的兩條邊長，則直角三角形的第三條邊長是_____．
14. 如圖，AB//GH//CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB=2，CD=3，則GH的長為___．
15. 若方程兩根為，則方程的兩根為 ____________________．
16. 如圖，在矩形中，，分別是，邊上的點，平分，，以，為邊作矩形，與相交于點．則有下列結(jié)論：①；②當是的中點時，；③連結(jié)，則；④．其中正確的結(jié)論是______（填寫正確結(jié)論的序號）
三、解答題（共9小題，滿分86分）
17. 解方程：
18. 計算：．
19. 如圖，在中，CD是斜邊AB上的高．
求證：．
20. 如圖，在中，是邊上的一點，，，，，在AB上找一點，連結(jié)DE，使與相似．
（1）請畫出一種符合題意的圖形；
（2）根據(jù)你畫出的圖形，計算的長度．
21. 若方程沒有實數(shù)根，試判定方程的根的情況．
22. 公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？
23. 閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．
材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴．
則．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：
（1）應(yīng)用：一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則___________，___________；
（2）類比：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，求的值；
（3）提升：已知實數(shù)s，t滿足且，求的值．
24. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，直線與軸、軸分別交于點、點與相交于點，線段的長是一元二次方程的兩根．
（1）求點、點的坐標；
（2）在軸上是否存在點，使點、點、點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；如不存在，請說明理由．
25. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝ ；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點E在線段AC上，則＝ （用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．

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