（滿分：150分；考試時間：120分鐘）
友情提示：本試卷分為“試題”和“答題卡”兩部分，答題時，請按答題卡中的“注意事項”認真作答，答案寫在答題卡上的相應位置．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 博物館已逐漸成為公共文化服務和城市旅游的重要陣地與有效載體．下列四幅圖是我國部分博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，的半徑為6，直角三角板角的頂點落在上，兩邊與分別交于兩點，則弦的長為（ ）
A. 3B. C. D. 6
5. 某品牌新能源汽車2022年的銷售量為28萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2024年的銷售量比2022年增加了36.6萬輛．如果設(shè)從2022年到2024年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 該函數(shù)圖象在一、三象限
B 當時，隨增大而減小
C. 若在該函數(shù)圖象上，則
D. 若點和點在該函數(shù)圖象上，且，則有且僅有
7. 如圖，在一張紙片中，，，，是它內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（ ）

A. 19B. 17C. 22D. 20
8. 如圖，正五邊形的五個內(nèi)角都相等，五條邊都相等，連接對角線，線段分別與和相交于點，．下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
9. 圖是型號為24英寸（車輪的直徑為24英寸，約）的自行車，現(xiàn)要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，量出四邊形中，，那么安裝單側(cè)（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（ ）

A. B. C. D.
10. 二次函數(shù)的圖象過，兩點，其中，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 若時，則
B. 若時，則
C. 若時，則
D. 若時，則
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11. 點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．
12. 體育課籃球項目中，“投籃命中率”是一項重要的考核指標．如圖是小強在平時運動過程中的投籃記錄，請結(jié)合圖示，估計現(xiàn)階段小強隨機投籃一次正好命中的概率約為_____．
13. 如圖，A是反比例函數(shù)上任意一點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k是的值為______．
14. 若一個二次函數(shù)的對稱軸為直線，則該二次函數(shù)的解析式可以是_____（寫出一個符合題意的解析式）．
15. 在認識圓錐主題活動課上，芳芳用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如右圖所示），根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算，該圓錐模型的側(cè)面積為_____．
16. 如圖，在中，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則最大值是_____．
三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17 解方程：．
18. 如圖，AE平分，DAE上一點，．
（1）求證：；
（2）若D為AE中點，，求CD的長．
19. 團體操是集體表演的體操項目，它和音樂、舞蹈、美術(shù)有密切的聯(lián)系，打破學科壁壘，加強協(xié)同育人，全面提升學生素質(zhì)．某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行?
20. 已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
21. 已知拋物線過點，頂點為．拋物線．
（1）求的值和點的坐標．
（2）求證：無論為何值，將的頂點向左平移2個單位長度后一定落在上．
22. 如圖，平面直角坐標系中，，，，．已知線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，其中是點的對應點．
（1）用尺規(guī)作圖的方法確定旋轉(zhuǎn)中心，并直接寫出點的坐標；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若以為圓心的圓與直線相切，求的半徑．
23. 某校組織九年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：閩中革命烈士陵園，閩中游擊區(qū)革命紀念館，閩中支隊司令部舊址，澳柄宮革命舊址，每名學生只能任意選擇一條線路．
（1）曉紅選擇線路的概率為 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求曉紅和小明選擇同一線路的概率．
24. 用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為（單位：），如果在離水面豎直距離為（單位：）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）（單位：）與的關(guān)系式為．
應用思考：現(xiàn)用高度為的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離處開一個小孔．
（1）寫出與的關(guān)系式；并求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少?
（2）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程達到，求墊高的高度．
25. 如圖，在中，于點于點，線段與交于點．的外接圓與的延長線交于點，點是上的點，且滿足，連接BH，F(xiàn)H．
（1）求證：；
（2）請判斷四邊形的形狀，并證明結(jié)論；
（3）已知的直徑長為，當，時，求弦的長度．
城廂區(qū)2024-2025學年度上學期期末試卷
九年級數(shù)學
（滿分：150分；考試時間：120分鐘）
友情提示：本試卷分為“試題”和“答題卡”兩部分，答題時，請按答題卡中的“注意事項”認真作答，答案寫在答題卡上的相應位置．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 博物館已逐漸成為公共文化服務和城市旅游的重要陣地與有效載體．下列四幅圖是我國部分博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；
B、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；
C、該圖形屬于中心對稱圖形，故該選項符合題意；
D、該圖形不屬于中心對稱圖形，故該選項不符合題意；
故選：C．
2. 下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、中，未知數(shù)的次數(shù)是1，不符合題意；
B、是一元二次方程，符合題意；
C、中，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
D、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合題意．
故選：B．
3. 如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似圖形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵．由已知可得，再根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，易證，得到相似比，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵和是以點為位似中心的位似圖形，
∴，
∴，
∴，
∴和周長之比為，
故選：D．
4. 如圖，的半徑為6，直角三角板角的頂點落在上，兩邊與分別交于兩點，則弦的長為（ ）
A. 3B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓周角定理得到，得到是等邊三角形，即可得到答案．
【詳解】解：連接，
，
是等邊三角形，
．
故：D．
5. 某品牌新能源汽車2022年的銷售量為28萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2024年的銷售量比2022年增加了36.6萬輛．如果設(shè)從2022年到2024年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用—增長率問題．設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2022年的銷售量為28萬輛，到2024年銷量增加了36.6萬輛列方程即可．
【詳解】解：設(shè)年平均增長率為x，由題意得
，
故選：D．
6. 關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 該函數(shù)圖象在一、三象限
B. 當時，隨增大而減小
C. 若在該函數(shù)圖象上，則
D. 若點和點在該函數(shù)圖象上，且，則有且僅有
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、由反比例函數(shù)可知，則該函數(shù)圖象在第二、四象限，故不符合題意；
、當時，隨增大而增大，故不符合題意;
、若在該函數(shù)圖象上，則，故符合題意；
、若點和點在該函數(shù)圖象上，當或時，，當時，，故不符合題意；
故選：.
7. 如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（ ）

A 19B. 17C. 22D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進而可得的周長．
【詳解】解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點、、，連接、、，
∴四邊形是正方形，

由切線長定理可知，
∵是的切線，
∴，，
∵，，，
∴，
∵是的內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴的周長為：．
故選：D．
8. 如圖，正五邊形的五個內(nèi)角都相等，五條邊都相等，連接對角線，線段分別與和相交于點，．下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識．根據(jù)題意可得正五邊形的內(nèi)角和等于180°，從而得到，，從而得到，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，據(jù)此分別求解即可判斷．
【詳解】解：五邊形是正五邊形，
∴內(nèi)角和為，
，，
，
，
，，
，
，故A正確，不符合題意；
同理，
，故B正確，不符合題意；
，，
，故D正確，不符合題意；
∵，，
∴，故C錯誤，符合題意；
故選：C．
9. 圖是型號為24英寸（車輪的直徑為24英寸，約）的自行車，現(xiàn)要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，量出四邊形中，，那么安裝單側(cè)（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圓心角，再運用扇形的面積公式計算即可．
詳解】∵四邊形中，，，
∴，
∵車輪直徑為24英寸，約，
∴需要的鐵皮面積約是，
故選A．
【點睛】本題考查了扇形的面積公式，平行線的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
10. 二次函數(shù)的圖象過，兩點，其中，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 若時，則
B. 若時，則
C. 若時，則
D. 若時，則
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出對稱軸，進而求出拋物線與軸交于點，求出其關(guān)于對稱軸的對稱點為，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當時，，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，拋物線與軸交于點，
∴關(guān)于對稱軸的對稱點為，
∵，在拋物線上，且，
①當時，則：，
當時，則：，如圖：
∴，
∴，
∴，
當時，則：，如圖：
∴，
∴，
∴，
②當時，則，
當時，則：，如圖：
∴，
∴，
∴，
當時， 則：，如圖：
∴，
∴，
∴；
綜上，選項A錯誤，選項B正確；
當時，如圖：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵可能大于也可能小于，則：或，故選項C錯誤；
當時，如圖：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵可能大于也可能小于，則：或，故選項D錯誤；
故選：B．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11. 點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標；根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點的橫縱坐標互為相反數(shù)得出答案．
【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，
故答案為：．
12. 體育課籃球項目中，“投籃命中率”是一項重要的考核指標．如圖是小強在平時運動過程中的投籃記錄，請結(jié)合圖示，估計現(xiàn)階段小強隨機投籃一次正好命中的概率約為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查利用頻率估計概率的知識．根據(jù)頻率估計概率的方法結(jié)合圖示的數(shù)據(jù)可得答案．
【詳解】解：這名籃球運動員投籃一次，投中的概率約為．
故答案為：．
13. 如圖，A是反比例函數(shù)上任意一點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k是的值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義求得k即可．
【詳解】解：設(shè)A點坐標為（x，y），
∴ ，
∵圖象在第一、三象限，
∴k=8．
故答案為：k=8．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用三角形的面積求解是解題的關(guān)鍵．
14. 若一個二次函數(shù)的對稱軸為直線，則該二次函數(shù)的解析式可以是_____（寫出一個符合題意的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，寫出二次函數(shù)的頂點式即可．
【詳解】解：由題意，對稱軸為直線，
這個二次函數(shù)的解析式可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
15. 在認識圓錐主題活動課上，芳芳用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如右圖所示），根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算，該圓錐模型的側(cè)面積為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是圓錐的側(cè)面積．先利用勾股定理求得母線長，進而根據(jù)側(cè)面積公式，即可求解．
【詳解】解：圖知圓錐的高為，圓錐的底面直徑為，即底面半徑為，
∴圓錐的母線長為，
∴圓錐模型的側(cè)面積為（），
故答案為：．
16. 如圖，在中，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最大值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】設(shè)與直線切點為，連接，，，則，作，，垂足分別為，，證明，可列比例關(guān)系，則，證明，推出，進而可得．
【詳解】解：設(shè)與直線切點為，連接，，，則，作，，垂足分別為，，如圖，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式得是解決問題得關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共9小題，共86分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．根據(jù)因式分解法解一元二次方程的一般步驟解答即可．
【詳解】解：，
因式分解得，
則或，
解得，．
18. 如圖，AE平分，D為AE上一點，．
（1）求證：；
（2）若D為AE中點，，求CD的長．
【答案】（1）證明見詳解；（2）CD的長為2．
【解析】
【分析】（1）由角平分線的定義可得，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；
（2）由中點的定義可得，再由（1）中結(jié)論相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：（1）證明∵AE平分，
∴，
在與中，
∵，
，
∴；
（2）∵D為AE中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CD的長為2．
【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線和線段中點的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
19. 團體操是集體表演的體操項目，它和音樂、舞蹈、美術(shù)有密切的聯(lián)系，打破學科壁壘，加強協(xié)同育人，全面提升學生素質(zhì)．某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行?
【答案】增加了3行．
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x，用增加后的總?cè)藬?shù)?原隊伍的總?cè)藬?shù)列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x，
根據(jù)題意，得，
解得，（不符合題意，舍去），
答：增加了3行．
20. 已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）且；
（2）不存在實數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0．見解析
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．
（1）由二次項系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍；
（2）假設(shè)存在，設(shè)方程的兩根分別為、，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，即可得出關(guān)于的方程，解之即可得出的值，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得出不存在實數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0．
【小問1詳解】
解：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
解得：且；
【小問2詳解】
解：不存在
假設(shè)存在，設(shè)方程的兩根分別為、，則，．
，
．
且，
不符合題意，舍去．
假設(shè)不成立，即不存在實數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0．
21. 已知拋物線過點，頂點為．拋物線．
（1）求的值和點的坐標．
（2）求證：無論為何值，將的頂點向左平移2個單位長度后一定落在上．
【答案】（1），
（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、坐標的平移，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可得出，從而得出拋物線的解析式，再化為頂點式即可得解；
（2）求出平移后的坐標為，再求出當時，的值，即可得證．
【小問1詳解】
解：∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴拋物線，
∴；
【小問2詳解】
證明：將向左平移個單位長度得到對應點的坐標為，
當時，，
∴在拋物線上．
22. 如圖，平面直角坐標系中，，，，．已知線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，其中是點的對應點．
（1）用尺規(guī)作圖的方法確定旋轉(zhuǎn)中心，并直接寫出點的坐標；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若以為圓心的圓與直線相切，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）的半徑為．
【解析】
【分析】本題考查作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
（1）作相對，的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點P即為所求；
（2）作于E，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．
【小問1詳解】
解：如圖點P即為所求．
；
【小問2詳解】
解：作于E，
由（1）得，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵以P為圓心的圓與直線相切，
∴的半徑為．
23. 某校組織九年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：閩中革命烈士陵園，閩中游擊區(qū)革命紀念館，閩中支隊司令部舊址，澳柄宮革命舊址，每名學生只能任意選擇一條線路．
（1）曉紅選擇線路的概率為 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求曉紅和小明選擇同一線路的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了簡單概率公式的計算，列表或樹狀圖求概率，熟悉概率公式和列表或樹狀圖求概率是解題的關(guān)鍵，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果數(shù)．
（1）根據(jù)簡單概率的公式計算即可，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；
（2）根據(jù)列表法即可求得概率．
【小問1詳解】
解：依題意，共四條研學線路，每條線路被選擇的可能性相同．
曉紅選擇線路A的概率為；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：依題意，列表可得
由列表可得，共有16種等可能性結(jié)果，其中相同線路的可能結(jié)果有4種，
小明和曉紅選擇同一線路的概率為．
24. 用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為（單位：），如果在離水面豎直距離為（單位：）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）（單位：）與的關(guān)系式為．
應用思考：現(xiàn)用高度為的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離處開一個小孔．
（1）寫出與的關(guān)系式；并求出當為何值時，射程有最大值，最大射程是多少?
（2）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程達到，求墊高的高度．
【答案】（1），當時，有最大值為
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）將代入即可求解解析式，以及求最值；
（2）設(shè)墊高的高度為m，寫出此時關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【小問1詳解】
解：由題意得，，
∴，即，
∵，，
∴當時，有最大值為，
即當時，有最大值為；
【小問2詳解】
解：設(shè)墊高的高度為，
則，
∵
當時，，
∴，
∴墊高．
25. 如圖，在中，于點于點，線段與交于點．的外接圓與的延長線交于點，點是上的點，且滿足，連接BH，F(xiàn)H．
（1）求證：；
（2）請判斷四邊形的形狀，并證明結(jié)論；
（3）已知的直徑長為，當，時，求弦的長度．
【答案】（1）見解析 （2）四邊形是平行四邊形，理由見解析
（3）的值為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等，求得，即可證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)同弧所對圓周角相等，可得，推出，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得，推出，由此即可證明四邊形是平行四邊形；
（3）連接，，過點作于點，并反向延長交于點，過點作于點，運用等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)可得，由題意設(shè)，，，運用矩形的判定和性質(zhì)可得，，，根據(jù)圓的基礎(chǔ)知識可得，并運用勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，理由如下，
在中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問3詳解】
解：如圖所示，連接，，過點作于點，并反向延長交于點，過點作于點，
∵，，
∴，
∴是的直徑，即，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，且，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴設(shè)，
∴，，
在中，，即
∴，則，
∴，
∵，，
∴，，
∴，則，
在中，，，
∴，
在，中，點是的中點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，則，
∴，
∵，，
∴，且，，
∴四邊是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵是直徑，
∴，
在中，，，
∴，
∴值為．
【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．
小明\曉紅
A
B
C
D
A
B
C
D

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