（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 命題人：柳明全 審核人：蘇培坤 ）
試卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（選擇題）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非選擇題）兩部分
第Ⅰ卷（共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) （其中i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知向量a=(m+1,m?1)，b=(?1,m)，c=(?1,1)，若(2a+b)⊥c，則m=( )
A. B. 3C. D. 5
3.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，若則等于( )
A. 1 B. ?1 C. 12 D. ?12
4.正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該棱臺(tái)的體積是( )
A. B. C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,?4)，且a // c，則a在b上的投影向量為( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中， BC邊上的高等于則sin A=( )
A. B. C. D.
7．已知三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ΔABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若，則的最小值為( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．對(duì)于非零向量a,b，下列命題正確的是( )
A. 若a?b=0，則a // b B. 若a⊥b，則a?b=(a?b)2
C. 若a?c=b?c，則a=b D. 若a?b=a+b，則a?b=0
10．如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A. 直線A1C1與AD1為異面直線
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方體的外接球的表面積為12π
D. 三棱錐D1?ADC的體積為
11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且若△ABC有唯一解，則a的值可以是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知向量a，b滿足|a|=1，|b|= 2，|2a?b|= 2，則a與b的夾角為
13．如圖，在離地面高200m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°、山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC=60°，則山的高度BC為 m.

第13題圖 第14題圖
在《九章算術(shù)》中，塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，則當(dāng)塹堵ABC?A1B1C1的體積最大時(shí)，陽(yáng)馬B?A1ACC1的體積為 ．
四、解答題：本小題共5小題，共77分，其中第15題13分，16~17題各15分，18~19題各17分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15（本小題滿分13分）
已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，
（1）若為純虛數(shù)，求值；
（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．
16．（本小題滿分15分）
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大??；
(2)若且BD是AC邊的中線，求的長(zhǎng)度．
（本小題滿分15分）
如圖，在四邊形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(1)用OA，OB表示CB；
(2)點(diǎn)P在線段上，且求的值．
（本小題滿分17分）
如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中點(diǎn)．
(1)求證：BC//AD；
(2)求證：CE//平面PAB；
(3)若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N，使MN//平面PAB？說(shuō)明理由．
（本小題滿分17分）
在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(Ⅰ)求B的大?。?br>(Ⅱ)若求?ABC的面積；
(Ⅲ)求的最大值．
廈泉五校2023-2024學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期期中聯(lián)考
數(shù)學(xué)科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13． 300 14．
四、解答題：本小題共5小題，共77分，其中第15題13分，16~17題15分，18~19題17分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.【解析】：(1)由題，則，-----------------------2分
由為純虛數(shù)得，，-----------------------4分
解得．-----------------------6分
（2），-----------------------8分
在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則，即，-----------------11分
解得．-----------------------13分
【解析】：(1)因?yàn)?sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC，
可得sin2A+sin2C=sin2B?sinAsinC，-----------------------1分
所以由正弦定理可得a2+c2=b2?ac，即a2+c2?b2=?ac，-----------------------3分
所以csB=a2+c2?b22ac=?ac2ac=?12，-----------------------6分
因?yàn)锽∈(0,π)，
所以B=2π3．-----------------------7分
(2)由S△ABC=15 34=12a·ABsinB得AB=5，-----------------------9分
又BC=3，B=2π3，則cs2π3=52+32?AC22×5×3=?12，可得AC=7，-----------------------11分
則AD=DC=72，
又∠BDA+∠BDC=π，可得cs∠BDA+cs∠BDC=0，
由余弦定理可得BD2+(72)2?522×72×BD+BD2+(72)2?322×72×BD=0，-----------------------13分
整理可得BD2=194，解得BD= 192． -----------------------15分
17.【解析】(1)因?yàn)镃D=2BO，OA=2AD，
所以DO=32AO，-----------------------2分
所以CB=CD+DO+OB-----------------------4分
=2BO+32AO+OB=?OB?32OA．-----------------------7分
(2)因?yàn)镺B/?/CD，OA//AD，所以點(diǎn)O，A，D共線．
因?yàn)椤螪=90°，所以∠O=90°．
以O(shè)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．---------9分
因?yàn)?A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以AB=(?2,1)，CB=(?3,?1)，-----------------------11分
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段上，且AB=3AP，
所以 CP=AP?AC=(?53,?53)，-----------------------13分
所以 cs∠PCB=CP?CB|CP|?|CB|=5+5353 2× 10=2 55． -----------------------15分
18．【解析】證明：(1)在四棱錐P?ABCD中，BC // 平面PAD，BC?平面ABCD，-----------------------2分
平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC // AD，-----------------------4分
(2)取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，-----------------------5分
∵E是PD的中點(diǎn)，∴EF // AD，EF=12AD，-----------------------6分
又由(1)可得BC // AD，且BC=12AD，∴BC // EF，BC=EF，-----------------------8分
∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴CE // BF，
∵CE?平面PAB，BF?平面PAB，∴CE//平面PAB．-----------------------10分
(3)取AD中點(diǎn)N，連接CN，EN，-----------------------11分
∵E，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴EN // PA，-----------------------12分
∵EN?平面PAB，PA?平面PAB，∴EN // 平面PAB，-----------------------13分
又由(2)可得CE // 平面PAB，CE∩EN=E，CE、EN?平面CEN，∴平面CEN // 平面PAB，-----------------------15分
∵M(jìn)是CE上的動(dòng)點(diǎn)，MN?平面CEN，∴MN // 平面PAB，
∴線段AD上存在點(diǎn)N，使得MN // 平面PAB． -----------------------17分
【解析】(1)因?yàn)?c?a=2bcsA，又asinA=bsinB=csinC，
所以2sinC?sinA=2sinBcsA， -----------------------1分
所以2sin(A+B)?sinA=2sinBcsA， -----------------------2分
所以2sinAcsB?sinA=0， -----------------------3分
因?yàn)锳∈(0,π)，sinA≠0，
所以csB=12， -----------------------4分
則B=π3． -----------------------5分
(2)因?yàn)閎2=a2+c2?ac， -----------------------6分
所以c2? 3c?6=0， -----------------------7分
所以c=2 3或c=? 3(舍去)， -----------------------9分
所以△ABC的面積為S=12acsinB=3 32． -----------------------11分
(3)由a2+c2?ac=9，得(a+c)2=9+3ac， -----------------------12分
因?yàn)閍c≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2， -----------------------13分
所以3

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