命題學(xué)校：武漢市武鋼三中 命題教師：李雪瑞 審題教師：費(fèi)運(yùn)良
考試時(shí)間：2024年11月11日下午14：00-16：00 試卷滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．已知角，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)在區(qū)間上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．將正奇數(shù)按照如圖排列，我們將，，，，……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（ ）
A．55B．77C．91D．113
7．已知等腰梯形的上底長(zhǎng)為1，腰長(zhǎng)為1，若以等腰梯形的上底所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體，則該幾何體表面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的可能取值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)．的內(nèi)心為的內(nèi)心為，則下列說法正確的有（ ）
A．雙曲線的離心率為2
B．直線的斜率的取值范圍為
C．的取值范圍為
D．
11．在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，且中點(diǎn)為，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為3
B．二面角的余弦值為
C．球的表面積為
D．若在此三棱錐中再放入一個(gè)球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球均相切，則球的半徑為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為______．
13．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為______．
14．某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家．如果天不下雨，那么他不帶雨傘．假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立．現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
16．（15分）
如圖，在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，，，將沿折成直二面角，求直線與平面所成角的正弦值．
17．（15分）
為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換。
（1）兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率：
（2）兩人進(jìn)行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的面積．
19．（17分）
2022年7月，在重慶巴蜀中學(xué)讀高一的?霄宇，奪得第63屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）滿分金牌。同年9月26日，入選2022年阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)名單，同時(shí)成為了本屆獲獎(jiǎng)?wù)咧心挲g最小的選手。次年9月16日，他再接再厲，在2023阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲金獎(jiǎng)．他的事跡激勵(lì)著廣大數(shù)學(xué)愛好者勇攀數(shù)學(xué)高峰，挖掘數(shù)學(xué)新質(zhì)生產(chǎn)力．翔宇中學(xué)高二學(xué)生小剛結(jié)合自己“強(qiáng)基計(jì)劃”的升學(xué)規(guī)劃，自學(xué)了高等數(shù)學(xué)的羅爾中值定理：如果上的函數(shù)滿足條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)：②在開區(qū)間可導(dǎo)；③．則至少存在一個(gè)，使得．據(jù)此定理，請(qǐng)你嘗試解決以下問題：
（1）證明方程：在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中，，，；
（2）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第一次聯(lián)考
數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
選擇題：
二、填空題：
12．13．14．
三、解答題：
15．（13分）解：
（1）因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，
即，化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?，得?br>因此，易知為等比數(shù)列
（2）由（1）知，．
，
16．（15分）解：
（1）∵，∴，化簡(jiǎn)得．
由余弦定理得，，得；
（2）設(shè)，，
在中，由得，
解得．①
在中，．②
由①、②得，．
∴，，從而．
∵二面角為直二面角，，平面平面，平面，
∴平面
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易知，，，，
∴，，．
設(shè)平面的法向量，則有，即
令，解得．
∴，
故直線與平面所成角的正弦值為．
17．（15分）解：
（1）若兩人交換的是玩具車，則概率為，
若兩人交換的是玩偶，則概率也為，
故兩人進(jìn)行一次交換后，小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率為．
（2）可取的值為、、、、，
一次交換后，小明有1個(gè)玩偶和3臺(tái)玩具車的概率為，有3個(gè)玩偶和1臺(tái)玩具車的概率也為，經(jīng)過兩次交換后
，
，
故隨機(jī)變量X的分布列為：
∴．
18．（17分）解：
（1）設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為，則坐標(biāo)為．
由，解得．
因?yàn)闄E圓的離心率為，得．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)坐標(biāo)為，B坐標(biāo)為，由于和為橢圓上兩點(diǎn)，
∴兩式相減，得，整理得．（*）
設(shè)坐標(biāo)為，由得為線段的中點(diǎn)，
∴，．
由在線段所在直線上，且坐標(biāo)為，則有，
即．
由（*）得，故．
設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，
得，整理得．
由，得且．
因?yàn)橹本€與橢圓相交于和兩點(diǎn)，所以，．
∴，
點(diǎn)到直線的距離為，
∴，且．
記，．
由，及且得
即當(dāng)時(shí)，取最大值．
此時(shí)直線方程為，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為
∴．
19．（17分）證明：
（1）設(shè)，
設(shè)，
∴在上連續(xù)，在上可導(dǎo)．
又，
由羅爾中值定理知：至少存在一個(gè)，使得成立，
∴．
故方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．
（2）∵在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
不妨設(shè)該零點(diǎn)為，則，．
由于，易知在和上連續(xù)，且在和上可導(dǎo)．
又，由羅爾中值定理可得，至少存在一個(gè)，使；至少存在一個(gè)，使得．
∴方程在上至少有兩個(gè)不等實(shí)根和．
設(shè)，則．
∵，∴．
當(dāng)，即時(shí)，
，故在上單調(diào)遞增；方程在上至多有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，舍去
當(dāng)，即時(shí)，
，故在上單調(diào)遞減．方程在上至多有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，舍去
當(dāng)時(shí)，
由得，
∴時(shí)，有，單調(diào)遞減；
時(shí)，有，單調(diào)遞增．
∴在上的最小值．
注意到，則有．
∵方程在上至少有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴，解得．
結(jié)合，且，，
故的取值范圍為．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
A
D
B
C
A
D
CD
ABD
ACD
X
0
1
2
3
4
P

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