本試卷共4頁，19題．滿分150分．考試用時120分鐘．
考試時間：2024年11月12日下午14：00—16：00
?？荚図樌?br>注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．
2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．直線在軸上的截距為（ ）
A．B．2C．D．
2．已知直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則不過第__________象限．
A．四B．三C．二D．一
3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2．用計算器進行模擬實驗產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：
412451312531224344151254424142
435414135432123233314232353442
據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
4．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為15厘米的圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到達P點，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到達Q點，則此時線段PQ長（單位：厘米）為（ ）
A．B．12C．D．
6．概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募?、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚D．甲336枚，乙84枚
7．在平面直角坐標系中，點的坐標為，圓，點為軸上一動點．現(xiàn)由點向點發(fā)射一道粗細不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖所示，四面體的體積為V，點M為棱BC的中點，點E，F(xiàn)分別為線段DM的三等分點，點N為線段AF的中點，過點N的平面與棱AB，AC，AD分別交于O，P，Q，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）
9．給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底
B．平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則
C．若，則是銳角
D．若對空間中任意一點，有，則M，A，B，C四點不共面
10．下列命題正確的是（ ）
A．設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，若，則A，B是相互獨立事件B．若，，則事件A，B相互獨立與A，B互斥有可能同時成立
C．若三個事件A，B，C兩兩相互獨立，則滿足
D．若事件A，B相互獨立，，，則
11．平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離比值為一定值的點的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點，，動點滿足，記點的軌跡為，則下列命題正確的是（ ）
A．點的軌跡的方程是
B．過點的直線被點的軌跡所截得的弦的長度的最小值是1
C．直線與點的軌跡相離
D．已知點，點是直線上的動點，過點作點的軌跡的兩條切線，切點為C，D，則四邊形面積的最小值是3
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．同時扡擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為6的概率為__________．
13．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)的取值范圍是__________．
14．在空間直角坐標系中，，，，，，P為所確定的平面內(nèi)一點，設(shè)的最大值是以為自變量的函數(shù)，記作．若，則的最小值為__________．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分13分）
“體育強則中國強，國運興則體育興”．為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分．假設(shè)評定為等級A，B，C的概率分別是，，．
（1）若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；
（2）若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．
16．（本題滿分15分）
已知的頂點，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．
（1）求邊BC所在直線的方程；
（2）求的面積．
17．（本題滿分15分）
如圖所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分別有一點和且，，其中．
（1）求證：，，共面；
（2）若，且，設(shè)為側(cè)棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值．
18．（本題滿分17分）
已知在平面直角坐標系中，，，平面內(nèi)動點滿足．
（1）求點的軌跡方程；
（2）點軌跡記為曲線，若曲線與軸的交點為M，N兩點，Q為直線上的動點，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點分別為E，F(xiàn)，求|EF|的最小值．
19．（本題滿分17分）
對于三維向量，定義“F變換”：，其中，，，．記，．
（1）若，求及；
（2）證明：對于任意，必存在，使得經(jīng)過次F變換后，有；
（3）已知，，將再經(jīng)過次F變換后，最小，求的最小值．
武漢市部分重點中學2024-2025學年度上學期期中聯(lián)考
高二數(shù)學試卷參考答案與評分細則
12．13．14．
15．解：（1）設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”．
由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以．
所以．
因此其得分低于4分的概率為；
（2）設(shè)事件，，，表示"第i次被評定為等級A，B，C，D，．
（2）設(shè)事件，，，表示“”第i次被評定為等級A，B，C，D，．
則“兩次射擊得分之和為8分”為事件，且事件，，互斥，
，，
所以兩次射擊得分之和為8分的概率．
16．解：（1）因為，所以設(shè)直線AC的方程為：，
將代入得，所以直線AC的方程為：，
聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，
設(shè)，因為為AB的中點，所以，
因為在直線BE上，在CD上，
所以，，
解得，，所以，，
所以BC所在直線的方程為：，即．
（2）由（1）知點到直線BC的距離為：，
又，所以．
17．（1）證明：因為，
，
所以．
由共面向量定理可知，，，共面．
（2）取BC的中點為，在中，，，
由余弦定理可得，
所以，依題意，均為正三角形，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，
以O(shè)A，OC，Oz所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則，，，，，
設(shè)是平面的一個法向量，
，，
則，即，取得，
依題意可知，
則．
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
故直線與平面所成角的正弦值為．
18．解：（1）設(shè)動點坐標，因為動點滿足，且，，
所以，
化簡可得，，即，
所以點的軌跡方程為．
（2）曲線中，令，可得，
解得或，可知，，
當直線EF為斜率為0時，即為直徑，長度為8，
當直線EF為斜率不為0時，設(shè)EF的直線方程為，，，
聯(lián)立消去可得：，
化簡可得；
由韋達定理可得，
因為，，，，
所以EM，F(xiàn)N的斜率為，，
又點在曲線上，所以，
可得，所以，
所以EM，F(xiàn)N的方程為，，
令可得，化簡可得；
，又，在直線上，
可得，，所以，
化簡可得；，
又，代入可得，
化簡可得，
，
，所以或，
當時EF為，必過，不合題意，
當時EF為，必過，
又為圓的弦長，所以當直徑MN時弦長最小，
此時半徑，圓心到直線EF的距離為
，綜上，的最小值．
19．解：（1）因為，，，
所以，，
（2）設(shè)
假設(shè)對，，則，，均不為0；
所以，即，
因為，，
所以，與矛盾，所以假設(shè)不正確；
綜上，對于任意，經(jīng)過若干次F變換后，必存在，使得．
（3）設(shè)，因為，
所以有或，
當時，可得，三式相加得
又因為，可得，；
當時，也可得，，所以；
設(shè)的三個分量為這三個數(shù)，
當時，的三個分量為，2，m這三個數(shù)，所以；
當時，的三個分量為2，2，4，則的三個分量為0，2，2，的三個分量為2，0，2，
所以；所以，由，可得，；
因為，所以任意的三個分量始終為偶數(shù)，且都有一個分量等于2，
所以的三個分量只能是2，2，4三個數(shù)，的三個分量只能是0，2，2三個數(shù)，
所以當時，；當時，，
所以的最小值為505．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
C
D
B
A
D
C
AB
AD
ACD

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