湖北省部分高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，簡化復(fù)數(shù)，最后確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置.
【詳解】,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故本題選D.
【點(diǎn)睛】本題考查通過復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，化簡后判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置.
2. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式求解．
【詳解】，
故選：B．
3. 已知，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直可得數(shù)量積為0，再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律化簡得，由夾角公式得解.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>所以，
解得，
所以，而,
所以
故選：B
4. 已知曲線在點(diǎn)處切線在軸上的截距為，則的值為（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算切線方程即可.
【詳解】易知，時(shí)，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，顯然有，
即.
故選：C
5. 暑假期間某校5名學(xué)生計(jì)劃去黃岡旅游，體驗(yàn)黃岡的風(fēng)俗與文化.現(xiàn)有黃梅東山問梅村?羅田天堂寨?黃州的東坡赤壁三個(gè)景區(qū)可供選擇若每名學(xué)生只去一個(gè)景區(qū)，且恰有2人前往黃梅東山問梅村，則不同的游覽方案種數(shù)為（ ）
A. 40B. 90C. 80D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】先選2人去黃梅東山問梅村，剩下的3人任意安排去其它兩個(gè)景區(qū).
【詳解】先選2人去黃梅東山問梅村，剩下的3人任意安排去其它兩個(gè)景區(qū)，所有游覽方案種數(shù)為：，
故選：C
6. 已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則正實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)周期性求得，根據(jù)圖象平行結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>若函數(shù)的最小正周期為，且，
則，解得，可得，
將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，
則，
可得，解得，
可知當(dāng)時(shí)，正實(shí)數(shù)取得最小值.
故選：B.
7. 英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，在下落過程中除去第一次，剩下四次始終保證向左一次，向右三次才能最終落到4號位置.由二項(xiàng)分布的概念計(jì)算概率即可.
【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，
若第一次向左下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
故此時(shí)概率為：，
若第一次向右下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
故此時(shí)概率為：，
故經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是.
故選：A
8. 是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若方程在上至少有3個(gè)不同的解，則稱為上的“波浪函數(shù)”.已知定義在上的函數(shù)為“波浪函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由列方程，分離常數(shù)，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
【詳解】，，
，
顯然不滿足上式，所以，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
在區(qū)間2,3上單調(diào)遞減，
且，
畫出的圖像，可知：.
故選：D
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：
導(dǎo)數(shù)符號分析的準(zhǔn)確性：在求解f′x的符號變化時(shí)，容易因?qū)?shù)計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致對單調(diào)性的判斷錯(cuò)誤.因此，確保導(dǎo)數(shù)的符號變化準(zhǔn)確是關(guān)鍵.
圖像繪制中的誤差：在通過函數(shù)圖像判斷解的個(gè)數(shù)時(shí)，容易因?yàn)閳D像繪制不夠精確或未充分考慮極值點(diǎn)位置，導(dǎo)致解的個(gè)數(shù)判斷錯(cuò)誤.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)選的得0分.
9. 下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 已知，若，則；
B. 某學(xué)生次考試的數(shù)學(xué)成績分別為：，則這次數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為；
C. 已知的平均值為，則的平均值為；
D. 已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)求得的值判斷選項(xiàng)A；利用百分位數(shù)定義求得第百分位數(shù)判斷選項(xiàng)B；
利用平均數(shù)定義求得的平均值判斷選項(xiàng)C；利用條件概率公式求得的值判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A: ，若，則
故，A正確；
選項(xiàng)B：由，可得這次數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為第與第個(gè)
數(shù)據(jù)的平均數(shù)，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C: 的平均值為，則，
則，故的平均值為，C正確；
選項(xiàng)D: 若，
則，則，
則，D正確.
故選：ACD
10. 已知正實(shí)數(shù)滿足，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是3D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A項(xiàng)，直接應(yīng)用均值不等式求出的最大值即可求解；對于B項(xiàng)：應(yīng)用，對直接應(yīng)用均值不等式即可求解；對于C項(xiàng)：構(gòu)造展開再應(yīng)用均值不等式即可求解；對于D項(xiàng)：將消去再應(yīng)用均值不等式求解即可.
【詳解】解：對于A項(xiàng)：因?yàn)?，所以?br>則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故A錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)：因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故B正確；
對于C項(xiàng)：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故C正確；
對于D項(xiàng)：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故D正確.
故選：BCD.
11. 高斯被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，是世界上偉大數(shù)學(xué)家.用他名字定義的函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）稱為高斯函數(shù).已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，令，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，化簡可得，判斷A，B；再由裂項(xiàng)相消法求判斷C；利用放縮法判斷D.
【詳解】對于A，B，，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，則，
所以，故A錯(cuò)，B對；
對于C，，
，
，故C對；
對于D，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，故D對；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題解題的關(guān)鍵是正確理解高斯函數(shù)，根據(jù)遞推式，從而可歸納出通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得答案.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，令，代入運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
令，可得，解得.
故答案為：.
13. 已知的角的對邊分別為，且，若，則__.
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理得到之間的關(guān)系，進(jìn)而求得的值.
【詳解】中，由，可得
又，則，
由余弦定理，可得
整理得，故
14. 已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性得出值域即可.
【詳解】
，
令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，
，，
則，所以.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知，函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在中，若，求和長.
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式將化簡為，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，先求出角，再結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可得解.
【小問1詳解】
由
∴fx減區(qū)間為；
【小問2詳解】
，
所以又，
根據(jù)余弦定理
，或.
16. 已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合等差、等比數(shù)列的基本公式即可求出的通項(xiàng)公式，運(yùn)用構(gòu)造法求的通項(xiàng)公式.
（2）先確定，利用錯(cuò)位相減法即可求出.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因，所以，
又，，
所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
【小問2詳解】
因?yàn)椋?
①，
②
兩式相減，得：
，
所以.
17. 東風(fēng)學(xué)校有甲乙兩個(gè)食堂，學(xué)校后勤服務(wù)中心為了調(diào)查學(xué)生對兩個(gè)食堂的滿意度，隨機(jī)調(diào)查300名學(xué)生.設(shè)表示事件“學(xué)生喜歡去甲食堂”，表示事件“調(diào)查的學(xué)生是男生”.若.
（1）完成上列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生喜歡去哪個(gè)食堂與性別是否有關(guān)？
（2）為了答謝參與調(diào)查的學(xué)生，學(xué)校后勤服務(wù)中心從參與調(diào)查的300名學(xué)生中按性別分層抽樣的方法選15名幸運(yùn)學(xué)生參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并為他們準(zhǔn)備了15張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券有3張，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券有5張，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券有7張，每人抽取一張.設(shè)15名幸運(yùn)學(xué)生中男生抽中一等獎(jiǎng)的人數(shù)為，寫出的分布列，并計(jì)算.
附：
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，學(xué)生喜歡去哪個(gè)食堂與性別有關(guān)
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率求相應(yīng)人數(shù)，完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；
（2）求男、女生人數(shù)，可知，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.
【小問1詳解】
因?yàn)椋幢徽{(diào)查的學(xué)生中男生有140人，女生有160人，
且，即男生中喜歡去乙食堂的有80人，喜歡去甲食堂的有60人，
又因?yàn)?，則，，即被調(diào)查的學(xué)生中喜歡去甲食堂的有160人.
零假設(shè)：假設(shè)學(xué)生喜歡去哪個(gè)食堂與性別無關(guān).
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為學(xué)生喜歡去哪個(gè)食堂與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大0.001.
【小問2詳解】
根據(jù)男女生人數(shù)之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人，
且，則有：
，
，
所以X的分布列為：
.
18. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求得，然后對進(jìn)行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）先求得，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用賦值法來證得不等式成立.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?，
.當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；
.當(dāng)時(shí)，有兩根，但兩根均為負(fù)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
.當(dāng)時(shí)，有兩正根和，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增；
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和；
減區(qū)間為.
【小問2詳解】
，令，
則在上單調(diào)遞增，，
若，則在上單調(diào)遞增，
，與題意相符；
若，則，所以必存在，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
從而使得當(dāng)時(shí)，，與題意相矛盾；
綜上：.
【小問3詳解】
由（2）知，當(dāng)時(shí)，（僅當(dāng)時(shí)取等號），
，令，則有：；
，得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性分析法：通過求導(dǎo)數(shù) ，分析函數(shù)的單調(diào)性和增減區(qū)間，是判斷函數(shù)行為的基礎(chǔ)方法.利用導(dǎo)數(shù)符號分析，可以清晰地得到函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間.構(gòu)造函數(shù)法求取值范圍：利用構(gòu)造函數(shù)的方法來確定參數(shù)的取值范圍，是一種行之有效的方法.在分析單調(diào)性時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來得出明確的區(qū)間結(jié)論.
19. 馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N隨機(jī)過程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無記憶性”，即一個(gè)系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān).為了讓學(xué)生體驗(yàn)馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學(xué)老師在課堂上指導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)游戲.他給小明和小美各一個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中都有個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質(zhì)特征完全一樣規(guī)定“兩人同時(shí)從各自的箱子中取出一個(gè)球放入對方的箱子中”為一次操作，假設(shè)經(jīng)過次操作之后小明箱子里的白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，且.
（1）求的值；
（2）求；
（3）證明：為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；
（2）由條件概率的計(jì)算公式得及，結(jié)合求解即可；
（3），所以，所以，令，則，，計(jì)算即可證明.
【小問1詳解】
，所以；
【小問2詳解】
，
又，
，
所以
，
，
.
【小問3詳解】
證明：
，
所以，
令，則，
，
而，
.
，
，
所以.得證.
【點(diǎn)睛】由獨(dú)立事件的乘法公式與條件概率的計(jì)算公式結(jié)合求解離散型隨機(jī)變量的分布列數(shù)學(xué)期望：
，所以，所以，令，則，，計(jì)算即可證明.
調(diào)查的是男生
調(diào)查的是女生
合計(jì)
喜歡去甲食堂
喜歡去乙食堂
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
調(diào)查的是男生
調(diào)查是女生
合計(jì)
喜歡去甲食堂
60
100
160
喜歡去乙食堂
80
60
140
合計(jì)
140
160
300
X
0
1
2
3
P