遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：大連市第二十三中學(xué) 馬曉晶校對人：大連市第二十三中學(xué) 劉金秋
考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.
1. 命題，的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定形式，直接求解.
【詳解】特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題，并且否定結(jié)論，
所以命題，的否定是，.
故選：C.
2. “”是“”成立的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義直接判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，或，
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
【詳解】依題意，，，又，
所以的大小關(guān)系是.
故選：B
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用求解抽象函數(shù)的定義域的方法即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，則且，
則函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
5. 若正實(shí)數(shù)a， b滿足則有（）
A. 最小值，且最小值為 B. 最小值，且最小值為
C. 最大值，且最大值為 D. 最大值，且最大值為
【答案】B
【解析】
【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最值，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】已知，，且滿足，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：B
6. 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)概念及零點(diǎn)存在定理判斷即可.
【詳解】設(shè)，由表格中的數(shù)據(jù)得，
，，
，，，
所以，
又的圖象是連續(xù)不斷的，
所以在內(nèi)有零點(diǎn)．
故選：.
7. 已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷地，且滿足以下條件：①，f?x=fx；②，當(dāng)時(shí)，都有；③.則下列選項(xiàng)不成立的是（）
A. B. 若，則的取值范圍是
C. 若，則D. 函數(shù)有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由條件得到是偶函數(shù)，在0,+∞上單調(diào)遞增，故；
B選項(xiàng)，由單調(diào)性和奇偶性得到不等式，求出；
C選項(xiàng)，由，單調(diào)性和奇偶性得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，，得到不等式解集；
D選項(xiàng)，由單調(diào)性和奇偶性得到
【詳解】A選項(xiàng)，由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以，故A正確；
B選項(xiàng)，若，則，得，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，是偶函數(shù)，且，故f1=0，
在0,+∞上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，，
若，則或，
所以或，故C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)槎x在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷地，
在0,+∞上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，
所以，故D正確.
故選：B
8. 已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出每個(gè)函數(shù)的值域，將原問題轉(zhuǎn)化為子集問題，列出不等式組求解即可.
【詳解】易知對稱軸為，故，易知，，
可得，而，故在上單調(diào)遞增，
且，，故，
故是的子集，
可得，解得，故B正確.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列結(jié)論中正確的有（）
A. 若且，則
B. 若，則
C. 若，則
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉反例即可說明A；由不等式的性質(zhì)，即可說明B；利用作差法即可判斷C；根據(jù)配方法即可判斷D．
【詳解】對A：當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故A錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)?，所以，所以故B正確；
對于C：，
因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確；
對于D：等價(jià)于，成立，故D正確；
故選：BCD．
10. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中正確的是（）
A. B. 是奇函數(shù)
C. 在上是單調(diào)遞增函數(shù)D. 的值域是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由定義計(jì)算；B選項(xiàng)，取特殊值可判斷，C選項(xiàng)，利用解析式判斷單調(diào)性；D選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)新定義判斷.
【詳解】表示不超過的最大整數(shù)，則有，其中時(shí)，
，A選項(xiàng)正確；
，，
，不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
時(shí)，，，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，C選項(xiàng)正確；
，，，即的值域是，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
11. 下列命題中正確的是（）
A. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是
B. 函數(shù)在上的值域?yàn)?br>C. 若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，則有
D. 函數(shù)，則不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍；B選項(xiàng)，利用函數(shù)定義域結(jié)合解析式求值域；C選項(xiàng)，解含絕對值的方程；D選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，利用為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，解不等式.
【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
由函數(shù)是R 上的減函數(shù)，有函數(shù)在上單調(diào)遞減，
時(shí)符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B，，
時(shí)，，有，得，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，B選項(xiàng)正確；
對于C，若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，
則有，，所以，C選項(xiàng)正確；
對于D，設(shè)，，
，
，即，
設(shè)，
，
由于，故，，故，
則，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
則，
即，
故，解得，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，有，代入解析式計(jì)算即可.
【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
則.
故答案為：
13. 若函數(shù)（且）經(jīng)過的定點(diǎn)是P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象過0,1點(diǎn)可得答案.
【詳解】的圖象過0,1點(diǎn)，
圖象由的圖象右移3個(gè)單位、上移7個(gè)單位得到，
故過定點(diǎn)．
故答案為：．
14. 定義若函數(shù)，則的最大值為______；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先表示出的解析式，然后作出的圖象，根據(jù)圖象求解出最大值；結(jié)合圖象分析值域?yàn)闀r(shí)定義域的情況，由此確定出的取值情況，即可求的最大值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，
所以，
作出的圖象如下圖所示：
由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最大值，所以；
當(dāng)時(shí)，解得或或；
當(dāng)時(shí)，或，
由圖象可知：當(dāng)，時(shí)，值域?yàn)?，此時(shí)的最大值為；
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)，
由上可知，的最大值為，
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查取最小值函數(shù)的應(yīng)用，處理這一類函數(shù)時(shí)，圖象法是首選方法，通過數(shù)形結(jié)合的思想能高效的將問題簡化.常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的數(shù)目；（2）求參數(shù)范圍；（3）解不等式；（4）研究函數(shù)性質(zhì).
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知全集集合，，．
（1）求；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡集合，由集合的并、補(bǔ)運(yùn)算求解即可；
（2）通過討論和即可求解.
【小問1詳解】
集合，，
；
【小問2詳解】
，，
①當(dāng)時(shí)，，，
②當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，a的取值范圍為；
16. 計(jì)算下列各式的值.
（1）
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)冪數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；
（2）由已知分別求得和的值，代入即可得解.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以.
17. 若函數(shù)的定義域是，且對任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）解不等式.
【答案】（1），奇函數(shù)，證明見解析
（2）單調(diào)遞增，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，得，即可由求解，
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可求解，
（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)對任意的，都有，
令，得，，
奇函數(shù)，證明如下：
用代替，得，則f?x=?fx，
所以是奇函數(shù).
【小問2詳解】
fx在上單調(diào)遞增，
證明：任取，則，
由于，所以，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由可得，
由于在上單調(diào)遞增，
所以，解得或，
所以不等式的解集是.
18. 已知是定義在上的奇函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)，的值.
（2）試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）已知，若對任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由是奇函數(shù)，可得對任意的成立，可得實(shí)數(shù)，的值，代入驗(yàn)證后即可求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)任意的，，由單調(diào)函數(shù)定義即可判斷；
（3）利用換元法令，若不等式恒成立，再根據(jù)基本不等式性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，
整理得：，
要使上式對任意的成立，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，不合題意，
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，符合題意，
所以
【小問2詳解】
任意的，
有，
所以，故函數(shù)是上的增函數(shù)；
小問3詳解】
，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>等價(jià)于恒成立，令，，
則，
則，可得在時(shí)恒成立，
由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故.
19. 已知二次函數(shù)滿足，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上截得的線段長為4，設(shè)gx=fx?ax.
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）答案見解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性及過的點(diǎn)列式求解即可；
（2）根據(jù)，，分類討論求解即可；
（3）由題意，利用換元法求解函數(shù)的最小值，結(jié)合（2）中的最小值列不等式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，則的圖象關(guān)于直線對稱且在x軸上截得的線段長為4，的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以設(shè).
該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，解得，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，其對稱軸方程為，
當(dāng)，即時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
【小問3詳解】
若對于任意，總存在，使得成立，
等價(jià)于
函數(shù)，
因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值
當(dāng)時(shí)，，所以，不成立
當(dāng)時(shí)，，所以，
解得或，所以
當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以
綜上所述，a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙變量的任意、存在性問題應(yīng)轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值的大小比較問題.
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5

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