期中考試卷
命題：林連峰 校對(duì):林立榕 時(shí)間：120分鐘 總分150分
一、單項(xiàng)選擇題：(每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)
1. 已知命題，那么命題的否定為（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3. 設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A B.
C. D.
4. 已知冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則等于（ ）
A 12B. 19
C. 24D. 36
5. 已知關(guān)于不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A B.
C. D.
6. 已知函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，且，則的最小值為（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
8. 不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 或D.
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. 與
B. 與.
C. 與
D. 與
10. 對(duì)于實(shí)數(shù)、、，下列命題為假命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
11. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值是2
C. 當(dāng)時(shí)，的最小值為4
D. 當(dāng)時(shí)，
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知函數(shù)，若，則______．
13. 已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上是減函數(shù)，則______．
14. 設(shè)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則的解集為_(kāi)_____．
四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范圍．
16. 已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
17. 在園林博覽會(huì)上，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備（）萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：
（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（）（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入-成本）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解不等式.
19. 高一某學(xué)生閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題.對(duì)于非空數(shù)集，，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”
（1）若，，求和；
（2）證明：“”的充要條件是“”；
（3）若集合是有限集，將集合的元素個(gè)數(shù)記為.記，，滿足，對(duì)，恒成立，求的取值范圍.
山海聯(lián)盟校教學(xué)協(xié)作體
2024－2025年第一學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科
期中考試卷
命題：林連峰 校對(duì):林立榕 時(shí)間：120分鐘 總分150分
一、單項(xiàng)選擇題：(每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)
1. 已知命題，那么命題的否定為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題否定的方法，否定量詞也否定結(jié)論，可得答案.
【詳解】因?yàn)槊}，
所以命題的否定為: .
故選：D
2. “”是“”（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再根據(jù)充分性和必要性的定義即可判斷得解.
【詳解】即，所以解得，
充分性：不一定有，如，此時(shí)，故充分性不滿足；
必要性：，則必有，故滿足必要性.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判斷陰影部分表示，然后求解，再根據(jù)并集的概念求解即可.
【詳解】由圖可知陰影部分表示的集合為，
因?yàn)椋?br>所以或x≥4，
所以，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故選：.
4. 已知冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則等于（ ）
A. 12B. 19
C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
分析】根據(jù)題意，求得，代入即可求解.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，
因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，可得，解得，即，
所以.
故選：D.
5. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)一元二次方程的根之間的關(guān)系求出的值，再解不等式.
【詳解】根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，
則，
則為，其解集為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間應(yīng)完全在對(duì)稱軸的同側(cè)，由此構(gòu)造關(guān)于的不等式，解得的取值范圍
【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為
若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則
若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
解得或
故的取值范圍是
故選：C．
7. 若，且，則的最小值為（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求和的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：D.
8. 不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】將條件轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，再分類討論的取值情況，結(jié)合根的判別式即可得解.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，
所以關(guān)于的不等式的解集為.
當(dāng)，即時(shí)，，顯然滿足題意；
當(dāng)，則，解得；
綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. 與
B. 與.
C. 與
D. 與
【答案】ABC
【解析】
【分析】分別求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)其對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷其定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)椋?br>的定義域?yàn)椋?br>定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域，的定義域，
定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 對(duì)于實(shí)數(shù)、、，下列命題為假命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判斷ABD選項(xiàng)，利用作差法可判斷C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，A選項(xiàng)中的命題為假命題；
對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B選項(xiàng)中的命題為假命題；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，但由于?br>則，則，
所以，，則，C選項(xiàng)中的命題為真命題；
對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，，D選項(xiàng)中的命題為假命題.
故選：ABD.
11. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值是2
C. 當(dāng)時(shí)，的最小值為4
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式逐項(xiàng)分析即可；
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，又，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
但時(shí)，，不符合基本不等式的要求，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；
故選：AD.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知函數(shù)，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行討論，即可得出關(guān)于的式子，求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意舍，
所以.
故答案為：.
13. 已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上是減函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以且為偶數(shù)，
所以或，
又因?yàn)閮绾瘮?shù)在0,+∞上是減函數(shù)，
所以，即，所以.
故答案為：.
14. 設(shè)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則的解集為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定的條件分析的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)分段解不等式即可.
【詳解】由題意偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
因?yàn)?，所以或?br>即或，
解得或，所以的解集為.
故答案為：.
四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a取值范圍．
【答案】（1），或x≥4
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義求解即可；
（2）根據(jù)題意分和兩種情況求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則或x≥4，
因?yàn)椋裕?br>【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，由，得，解得，
綜上，.
16. 已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
小問(wèn)1詳解】
∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
∴，且，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，，
當(dāng)時(shí)，，
有，所以：
①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，.
17. 在園林博覽會(huì)上，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備（）萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：
（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（）（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入-成本）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).
【答案】（1）
（2）生產(chǎn)萬(wàn)臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合利潤(rùn)=銷售收入-成本，即可得到年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式為；
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意知，年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式為：
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
由基本不等式，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以，當(dāng)年生產(chǎn)萬(wàn)臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解不等式.
【答案】（1），.
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明見(jiàn)解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，即可求得解析式；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）由前兩問(wèn)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件的奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.
【小問(wèn)1詳解】
）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
解得：，
∴，而，解得，
∴，.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：
任意且，
則，
因?yàn)椋?，?br>所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
由題意，不等式可化為，
所以，解得，所以該不等式的解集為.
19. 高一某學(xué)生閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題.對(duì)于非空數(shù)集，，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”
（1）若，，求和；
（2）證明：“”的充要條件是“”；
（3）若集合是有限集，將集合的元素個(gè)數(shù)記為.記，，滿足，對(duì)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的定義直接運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)的定義結(jié)合充分必要條件分析證明；
（3）首先表示出，，，結(jié)合基本不等式求出，即可得到的取值范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，且?br>所以，；
【小問(wèn)2詳解】
若，設(shè)，
由定義可知：且，
所以“”是“”的充分條件；
若，對(duì)任意，均有，
即對(duì)任意，均有，
由任意性可知，則，
所以“”是“”的必要條件；
綜上所述：“”是“”的充要條件.
【小問(wèn)3詳解】
依題意，，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
又，對(duì)，恒成立，
所以，即的取值范圍為.

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