1．（3分）下列圖形中，不是相似圖形的一組是
A．B．
C．D．
【解答】解：、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
、形狀不相同，不符合相似形的定義，故符合題意；
故選：．
2．（3分）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則該正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為
A．1B．C．2D．4
【解答】解：正方形的邊長(zhǎng)為1，
對(duì)角線長(zhǎng)為，
故選：．
3．（3分）方程的解正確的是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，
或，
解得，，
故選：．
4．（3分）若，，，是成比例線段，其中，，，則線段的長(zhǎng)為
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：，，，是成比例線段，
，
，
，，，
，
解得：．
故選：．
5．（3分）下列說(shuō)法正確的是
A．菱形的對(duì)角線相等
B．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形
C．有一組鄰邊相等的菱形是正方形
D．兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形
【解答】解：、菱形的對(duì)角線不一定相等，故不符合題意；
、四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故符合題意；
、菱形的鄰邊本來(lái)就是相等，無(wú)法得到正方形，故不符合題意；
、兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形，故不符合題意；
故選：．
6．（3分）如圖是某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，在點(diǎn)處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻的頂端處，已知，，且測(cè)得，，，那么該古城墻的高度是
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意得，
，，
，
，
，即，
解得：．
答：該古城墻的高度為．
故選：．
7．（3分）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小唐按此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：陰影部分的面積為64，
，
設(shè)，則，
先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為，
故選：．
8．（3分）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)的距離是時(shí)，、兩點(diǎn)出發(fā)了 秒．
A．4B．或4C．或8D．
【解答】解：（秒
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，如圖所示．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，
．
根據(jù)題意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)的距離是時(shí)，、兩點(diǎn)出發(fā)了或4秒．
故選：．
二.填空題：（每小題3分，共計(jì)15分）
9．（3分）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為4，則 3 ．
【解答】解：由題意得：把代入方程中得：
，
解得：，
故答案為：3．
10．（3分）某品牌汽車(chē)為了打造更加精美的外觀，特將汽車(chē)后視鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置，若該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為5米，則車(chē)頭與后視鏡的水平距離約為 米．（提示：黃金分割比
【解答】解：汽車(chē)后視鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置，該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為5米，
（米，
（米，
車(chē)頭與后視鏡的水平距離約為米，
故答案為：．
11．（3分）衣櫥中掛著3套不同的服裝，若從衣櫥中隨機(jī)取一件上衣和一條褲子，恰好是同一套的概率是 ．
【解答】解：令3件上衣分別為、、，對(duì)應(yīng)的褲子分別為、、，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中取自同一套的有3種可能，
所以取自同一套的概率為，
故答案為：．
12．（3分）如圖，在△中，，點(diǎn)，，分別，，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為 5 ．
【解答】解：，點(diǎn)，，分別，，的中點(diǎn)，
為三角形的中位線，，
，
；
故答案為：5．
13．（3分）如圖，在△中，，，點(diǎn)、分別在、上，，，交于點(diǎn)，則△的面積的最大值是 2 ．
【解答】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：
，，
，
，
△△，△△，
，，
，
，
，
，
，
，
一定，當(dāng)最大時(shí)，△的面積最大，
，
時(shí)，最大，
即當(dāng)時(shí)，△的面積最大，最大值，
△的面積的最大值，
故答案為：2．
三.解答題：（本題共7小題，其中第14題6分，第15題7分，第16題7分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共計(jì)61分）
14．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，；
（2），
，
，
或，
，．
15．（7分）某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)深圳哪類研學(xué)內(nèi)容最感興趣（每人僅能選一類）
．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的飲食文化；．享譽(yù)世界的改革開(kāi)放文化；
．可歌可泣的抗戰(zhàn)文化；．感天動(dòng)地的移民文化．
從九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
抽取的學(xué)生最感興趣的研學(xué)內(nèi)容統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空： 15 ， ， （請(qǐng)?zhí)钚?shù)）；
（2）若該校九年級(jí)共有540名學(xué)生，估計(jì)選擇“．可歌可泣的抗戰(zhàn)文化”的有多少人？
（3）小聰和小睿參加了本次調(diào)查，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求他們選擇同一類內(nèi)容的概率．
【解答】解：（1）由題意得，調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 （人，
，，．
故答案為：15；12；0.2．
（2）（人．
估計(jì)選擇“．可歌可泣的抗戰(zhàn)文化”的約有108人．
（3）列表如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中他們選擇同一類內(nèi)容的結(jié)果有4種，
他們選擇同一類內(nèi)容的概率為．
16．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫(huà)出將△向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△；
（2）以原點(diǎn)為位似中心，在軸的右側(cè)畫(huà)出△的一個(gè)位似△，使它與△的相似比為；
（3）判斷△和△是否是位似圖形（直接寫(xiě)結(jié)果），若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖1，△即為所求．
（2）如圖2，△即為所求．
（3）△和△是位似圖形；理由如下：
如圖3，
點(diǎn)即為位似中心，．
17．（8分）如圖，在中，分別是，的中點(diǎn)，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
【解答】（1）證明：、分別是、的中點(diǎn)，
且，
又，，
，，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形；
（2）解：，
，
是等邊三角形，
，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
．
18．（9分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【解答】解：任務(wù)1：依題意，鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共元，
答：若鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，則學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共15600元，
任務(wù)2：設(shè)鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)件，若，剛補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器的單價(jià)為（元，
補(bǔ)進(jìn)燈管的總價(jià)為：（元，
故答案為：；．
任務(wù)3：依題意，，
解得：，，
．
．
當(dāng)時(shí)，
依題意，，
解得：，
當(dāng)時(shí)，鎮(zhèn)流器的單價(jià)固定為50元，
，
．
答：補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器100件或60件或150件．
19．（12分）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】
配方法是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的解題方法，利用配方法可求一元二次方程的根．所謂配方法是指將一個(gè)式子的某部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問(wèn)題．
例1．把代數(shù)式進(jìn)行配方．
解：原式
例2．求代數(shù)式的最大值．
解：原式
的最大值為．
【問(wèn)題解決】
（1）若，，滿足，求的值．
（2）若△的三邊長(zhǎng)，，均為整數(shù)，，，滿足，求△的周長(zhǎng)．
【遷移應(yīng)用】
（3）如圖，有一塊銳角三角形余料，它的邊厘米，高厘米．現(xiàn)要用它裁出一個(gè)矩形工件，使矩形的一邊在上，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上．
①設(shè)，試用含的代數(shù)式表示矩形工件的面積；
②運(yùn)用“配方法”求的最大值．
【解答】解：（1）由題意，，
又，
，，
；
（2），
．
．
，．
；
（3）①設(shè)的長(zhǎng)度是厘米，的長(zhǎng)度是厘米時(shí)，
四邊形為矩形，
，
△△，
，
，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
矩形面積；
②
，
故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是6厘米時(shí)，矩形零件的面積最大，最大面積為24平方厘米．
20．（12分）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題背景】
活動(dòng)課上，同學(xué)們以正方形為背景，探究圖形運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)結(jié)論，各小組精心設(shè)計(jì)一些題目，選取以下3個(gè)圖形進(jìn)行研究．已知正方形中，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作正方形（點(diǎn)在邊所在直線的上方），連接．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，“會(huì)學(xué)習(xí)”小組畫(huà)出了點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的圖形，此時(shí)點(diǎn)到邊所在直線的距離 6 ；
（2）如圖2，“勤探究”小組畫(huà)出點(diǎn)恰好是線段中點(diǎn)時(shí)的圖形，請(qǐng)解答如下問(wèn)題：
①判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)到邊所在直線的距離，并說(shuō)明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，“能合作”小組畫(huà)出了點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)的情形，與交于點(diǎn)．若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）四邊形、為正方形，
，，，
，
此時(shí)點(diǎn)到邊所在直線的距離為6，
故答案為：6；
（2）①；理由如下：
如圖2，作于，，
四邊形、為正方形，
，，，
，
，
，
△△，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
；
②點(diǎn)到邊所在直線的距離為6；理由如下：
由①可得：，
此時(shí)點(diǎn)到邊所在直線的距離為6；
（3）如圖3，作于，作交于，
四邊形、為正方形，
，，，
，
，
，
，
△△，，
，，
設(shè)，則，，
，
△△，
，
點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，
或，
或，
或，
當(dāng)時(shí)，
，
△△，
，
，
解得：或（不符合題意，舍去），
，
當(dāng)時(shí)，
，
△△，
，
，
解得：或（不符合題意，舍去），
，
研學(xué)內(nèi)容
人數(shù)
頻率
24
0.4
9
素材1
某校統(tǒng)一安裝了日光燈，日光燈中最易損壞的是燈管和鎮(zhèn)流器．
素材2
該校后勤部準(zhǔn)備補(bǔ)進(jìn)燈管和鎮(zhèn)流器共400件．批發(fā)市場(chǎng)燈管的單價(jià)為30元，鎮(zhèn)流器的單價(jià)為80元．商家為了促銷(xiāo)且保證有一定的利潤(rùn)，當(dāng)鎮(zhèn)流器購(gòu)買(mǎi)數(shù)量超過(guò)80件時(shí)，每多購(gòu)買(mǎi)1件，單價(jià)下降1元，但單價(jià)不低于50元．
問(wèn)題解決
任務(wù)1
若鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，則學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共多少元？
任務(wù)2
設(shè)鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)件，若，剛補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器的單價(jià)為 元，補(bǔ)進(jìn)燈管的總價(jià)為 （用含的代數(shù)式表示）；
任務(wù)3
若學(xué)校后勤部補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共花15000元，求補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器多少件？

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