1．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在傳統(tǒng)游戲“石頭、剪子、布”中，隨機(jī)出一個手勢，出“石頭”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）不解方程，判斷方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等實數(shù)根
C．有兩個不相等實數(shù)根D．無法確定
4．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，則BC的長是（ ）
A．8B．10C．11D．12
5．（3分）如圖，張老漢想用長為70米的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2米寬的門（建在EF處，門用其他材料），設(shè)AB的長為x米，則下面所列方程正確的是（ ）
A．x（70﹣x）＝640B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640D．x（72﹣2x）＝640
6．（3分）如圖，△ABC和△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，若，△ABC的周長為6，則△A1B1C1的周長是（ ）
A．8B．12C．18D．24
7．（3分）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD和CD上，EF∥AC，連接BE交對角線AC于點G，若點G是AC的四等分點（AG＜CG），AC＝4，則EF的長為（ ）
A．B．2C．D．3
8．（3分）在正方形ABCD中，AB＝4，點E是邊AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折，點A落在點F處，BF與AC交于點H，點O是AC的中點，則OH的長度是（ ）
A．B．C．4﹣2D．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（3分）已知，則＝ ．
10．（3分）在測量旗桿高度的活動課中，某小組學(xué)生于同一時刻在陽光下對一根直立于平地的竹竿及其影長和旗桿的影長進(jìn)行了測量，得到的數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出旗桿的高度為 m．
11．（3分）一個不透明的箱子里有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除了顏色外其他都相同，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則摸出的兩個球恰好顏色不同的概率為 ．
12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為D，AE平分∠BAC，分別交BD，BC于點F，E．若AB：BC＝3：4，則＝ ．
13．（3分）在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，G為DE上一點，若AB＝6，∠B＝∠EGF＝60°，則DG的長為 ．
三、解答題（本題共7小題，其中第14題6分，第15題6分，第16題9分，第17題8分，第18題8分，第19題12分，第20題12分，共61分）
14．（6分）解一元二次方程：
（1）（x+2）2＝3（x+2）；
（2）x2﹣3x﹣1＝0．
15．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）畫出將△ABC向左平移5個單位，再向上平移3個單位后的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出△A1B1C1的一個位似△A2B2C2，使它與△A1B1C1的相似比為2：1；
（3）若△A1B1C1內(nèi)部任意一點P1的坐標(biāo)為（a，b），直接寫出經(jīng)過（2）的變化后點P1的對應(yīng)點P2的坐標(biāo)（用含a、b的代數(shù)式表示）．
16．（9分）本期開學(xué)以來，初2015級開展了轟轟烈烈的體育鍛煉，為了解考體育科目訓(xùn)練的效果，九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了以此中考體育科目測試（把測試結(jié)果分為四個等級，A等：優(yōu)秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并將結(jié)果匯成了如圖1、2所示兩幅不同統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：
（1）本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)是 ；
（2）圖1扇形圖中D等所在的扇形的圓心角的度數(shù)是 ，并把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）我校九年級有1800名學(xué)生，如果全部參加這次中考體育科目測試，請估計不及格的人數(shù)為 ；
（4）已知得A等的同學(xué)有一位男生，體育老師想從4為同學(xué)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)向其他同學(xué)介紹經(jīng)驗，請用列表法或畫樹形圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率．
17．（8分）濟(jì)南市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”．某商店統(tǒng)計了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出375個，六月份售出540個，且從四月份到六月份月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現(xiàn)在既要使月銷售利潤達(dá)到6000元，又要盡可能讓顧客得到實惠，那么該品牌頭盔每個應(yīng)漲價多少元？
18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的長．
19．（12分）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，同學(xué)們用兩個完全相同的矩形紙片展開探究活動：
【實踐探究】：（1）小紅將兩個矩形紙片擺成圖1的形狀，連接AG、AC，則∠ACG＝ °；
【解決問題】：（2）將矩形AQGF繞點A順時針轉(zhuǎn)動，邊AF與邊CD交于點M，連接BM，AB＝10，AD＝6．
①如圖2，當(dāng)BM＝AB時，求證：AM平分∠DMB；寫出證明過程
②如圖3，當(dāng)點F落在DC上時，連接BQ交AF于點O，則AO＝ ；
【遷移應(yīng)用】：（3）如圖4，正方形ABCD的邊長為，E是BC邊上一點（不與點B、C重合），連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至FE，作射線FC交AB的延長線于點G，則BG＝ ；
（4）如圖5，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD邊上一點（不與點C、D重合），連接BE，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°至FE，作射線FD交BC的延長線于點G，若，則CG＝ ．
20．（12分）在正方形ABCD中，AB＝10，AC是對角線，點O是AC的中點，點E在AC上，連接DE，點C關(guān)于DE的對稱點是C′，連接DC′，EC′．
（1）如圖1，若DC′經(jīng)過點O，求證：；
（2）如圖2，連接CC′，BC′，若∠ADC′＝2∠CBC′，求CC′的長；
（3）當(dāng)點B，C′，E三點共線時，直接寫出CE的長．
2024-2025學(xué)年廣東省深圳市福田外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】從上往下看的形狀就是俯視圖．
【解答】解：俯視圖是應(yīng)該正方形．
故選：B．
2．（3分）在傳統(tǒng)游戲“石頭、剪子、布”中，隨機(jī)出一個手勢，出“石頭”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵隨機(jī)出一個手勢，可以出“石頭、剪子、布”中任意一個，
∴出“石頭”的概率是．
故選：C．
3．（3分）不解方程，判斷方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等實數(shù)根
C．有兩個不相等實數(shù)根D．無法確定
【分析】先計算出根的判別式的值得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：C．
4．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，則BC的長是（ ）
A．8B．10C．11D．12
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得DE：BC＝AD：AB，又由，DE＝4，即可求得BC的長．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴＝，
∵DE＝4，
∴BC＝3DE＝12．
故選：D．
5．（3分）如圖，張老漢想用長為70米的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2米寬的門（建在EF處，門用其他材料），設(shè)AB的長為x米，則下面所列方程正確的是（ ）
A．x（70﹣x）＝640B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640D．x（72﹣2x）＝640
【分析】根據(jù)BC＝柵欄總長﹣2AB，再利用矩形面積公式即可列出方程．
【解答】解：矩形ABCD的邊AB＝x（m），則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，
故選：D．
6．（3分）如圖，△ABC和△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，若，△ABC的周長為6，則△A1B1C1的周長是（ ）
A．8B．12C．18D．24
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：△ABC和△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，若，
故△ABC的周長和△A1B1C1的周長比為1：2，
故△A1B1C1的周長是12，
故選：B．
7．（3分）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD和CD上，EF∥AC，連接BE交對角線AC于點G，若點G是AC的四等分點（AG＜CG），AC＝4，則EF的長為（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，從而求證△AEG∽△CBG，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，又點G是AC的四等分點則，，再證明△DEF∽△DAC即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴，
∵點G是AC的四等分點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
∵AC＝4，
∴，
故選：C．
8．（3分）在正方形ABCD中，AB＝4，點E是邊AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折，點A落在點F處，BF與AC交于點H，點O是AC的中點，則OH的長度是（ ）
A．B．C．4﹣2D．
【分析】連接BD，交EF于點G，作GL⊥AD于點L，根據(jù)翻折變換性質(zhì)得到EF＝AE＝2，∠F＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，設(shè)LD為a，分別表示出△FBG的長，再利用勾股定理解出a的值，再利用△BOH∽△BFG求出OH的長．
【解答】解：連接BD，交EF于點G，作GL⊥AD于點L，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠LDG＝45°，∠A＝90°，
∴BD＝＝4，
∴BO＝2，
∵△ABE沿BE翻折，點A落在點F處，
∴EF＝AE＝2，∠F＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，
設(shè)LD＝a，則LE＝2﹣a，
在Rt△LDG中，LD＝a，∠LDG＝45°，可得LG＝a，DG＝a．
在Rt△LEG中，LE＝2﹣a，LG＝a，可得EG＝，
∴FG＝EF﹣EG＝2﹣，BG＝BD﹣DG＝4﹣a，
在Rt△BFG中，BF＝4，BG＝4﹣a，F(xiàn)G＝2﹣，
∴FG2+BF2＝BG2，即（2﹣）2+42＝（4﹣a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴FG＝2﹣＝，
∵∠HBO＝∠GBF，∠BOH＝∠F，
∴△BOH∽△BFG，
∴＝，即＝，
解得OH＝．
故選：A．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（3分）已知，則＝ ﹣ ．
【分析】由于＝，則可設(shè)x＝2k，y＝3k，然后把它們分別代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行分式的化簡計算即可．
【解答】解：∵＝，
∴設(shè)x＝2k，y＝3k，
∴＝＝﹣＝﹣．
故答案為：﹣．
10．（3分）在測量旗桿高度的活動課中，某小組學(xué)生于同一時刻在陽光下對一根直立于平地的竹竿及其影長和旗桿的影長進(jìn)行了測量，得到的數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出旗桿的高度為 12 m．
【分析】利用平行投影的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．
【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x m，
根據(jù)題意，得：＝，
解得x＝12，
即旗桿的高度為12m，
故答案為：12．
11．（3分）一個不透明的箱子里有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除了顏色外其他都相同，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則摸出的兩個球恰好顏色不同的概率為 ．
【分析】根據(jù)題意先畫出樹狀圖，求出總情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球恰好顏色不相同的為4種，
所以摸出的兩個球恰好顏色不同的概率＝．
故答案為：．
12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為D，AE平分∠BAC，分別交BD，BC于點F，E．若AB：BC＝3：4，則＝ ．
【分析】設(shè)AB＝3x，BC＝4x，根據(jù)勾股定理得到AC＝＝5x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE＝BF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴設(shè)AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴AD＝x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴＝＝，
故答案為：．
13．（3分）在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，G為DE上一點，若AB＝6，∠B＝∠EGF＝60°，則DG的長為 ．
【分析】連接AC、EF、DF、CE、AF，作FH⊥DE．先求出△DEF的面積，再求出高FH，利用勾股定理求出DE、EH、HG，利用線段和差求出DG即可．
【解答】解：連接AC、AF，
，
∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴△ABC為等邊三角形，
連接AF，CE，
∵點 E、F分別是AB、BC邊上的中點，
∴AF⊥BC，BF＝FC＝2，
在Rt△AFB中，AF＝＝＝2，
同理在Rt△BEC中，CE＝2，∠BCE＝30°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°，
在Rt△DCE中，DE＝＝2，
∵點E分別是AB邊上的中點，
∴BE＝AB＝2，
∴△BEF為等邊三角形，
∴S△BEF＝×2×＝，
連接DF，
S△DCF＝×FC×AF＝2，
∵AE＝CF，∠EAD＝∠FCD，AD＝DC，
∴△BEF≌△DCF（SAS），
∴S△DAE＝2，
∵SABCD＝AF×BC＝2×4＝8，
∴S△DEF＝SABCD﹣S△BEF﹣S△DCF﹣S△DAE＝8﹣﹣2﹣2＝3，
過F作FH⊥CE，
∴×DE×FH＝3，
∴FH＝3×2÷DE＝，
在Rt△FHE中，EH＝＝＝，
在Rt△FHG中，∠EGF＝60°，
∴∠HFG＝30°，
∴HG2＝FG2﹣FH2＝（2HG）2﹣FH2，
∴HG＝＝，
∴DG＝DE﹣EH﹣HG＝2﹣﹣＝，
故答案為：．
三、解答題（本題共7小題，其中第14題6分，第15題6分，第16題9分，第17題8分，第18題8分，第19題12分，第20題12分，共61分）
14．（6分）解一元二次方程：
（1）（x+2）2＝3（x+2）；
（2）x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）把（x+2）看作一個整體，先移項，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）（x+2）2＝3（x+2），
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2﹣3）（x+2）＝0，
x+2﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2；
（2）x2﹣3x﹣1＝0，
x2﹣3x＝1，
x2﹣3x+＝1+，
＝1+，
＝，
x﹣＝，
解得x1＝，x2＝．
15．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）畫出將△ABC向左平移5個單位，再向上平移3個單位后的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出△A1B1C1的一個位似△A2B2C2，使它與△A1B1C1的相似比為2：1；
（3）若△A1B1C1內(nèi)部任意一點P1的坐標(biāo)為（a，b），直接寫出經(jīng)過（2）的變化后點P1的對應(yīng)點P2的坐標(biāo)（用含a、b的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)位置進(jìn)而得出答案；
（2）畫出一個以點O為位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2即可；
（3）根據(jù)相似比即可求得．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1為所求三角形．
（2）如圖所示，△A2B2C2為所求角形．
（3）由題意可知△A2B2C2∽△A2B2C2，且相似比為2：1，
∴當(dāng)點P1的坐標(biāo)為（a，b）時，對應(yīng)點P2的坐標(biāo)為：（2a，2b）．
16．（9分）本期開學(xué)以來，初2015級開展了轟轟烈烈的體育鍛煉，為了解考體育科目訓(xùn)練的效果，九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了以此中考體育科目測試（把測試結(jié)果分為四個等級，A等：優(yōu)秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并將結(jié)果匯成了如圖1、2所示兩幅不同統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：
（1）本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)是 25人 ；
（2）圖1扇形圖中D等所在的扇形的圓心角的度數(shù)是 43.2° ，并把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）我校九年級有1800名學(xué)生，如果全部參加這次中考體育科目測試，請估計不及格的人數(shù)為 216人 ；
（4）已知得A等的同學(xué)有一位男生，體育老師想從4為同學(xué)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)向其他同學(xué)介紹經(jīng)驗，請用列表法或畫樹形圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率．
【分析】（1）用B等級的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)分別減去A、B、C等級的人數(shù)得到D等級人數(shù)，然后用360°乘以D等級所占的百分比得到D等所在的扇形的圓心角的度數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）利用樣本估計總體，用1800乘以D等級所占百分比即可；
（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)為10÷40%＝25（人）；
（2）D等級的人數(shù)為25﹣4﹣10﹣8＝3，
所以D等所在的扇形的圓心角的度數(shù)＝360°×＝43.2°，
條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充為：
（3）1800×＝216（人），
所以估計不及格的人數(shù)為216人；
故答案為25人，43.2°，216人；
（4）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)為6，
所以選中的兩人剛好是一男一女的概率＝＝．
17．（8分）濟(jì)南市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”．某商店統(tǒng)計了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出375個，六月份售出540個，且從四月份到六月份月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現(xiàn)在既要使月銷售利潤達(dá)到6000元，又要盡可能讓顧客得到實惠，那么該品牌頭盔每個應(yīng)漲價多少元？
【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)“四月份售出375個，六月份售出540個，且從四月份到六月份月增長率相同”，列出一元二次方程，解方程取其正值即可；
（2）設(shè)該品牌頭盔每個應(yīng)漲價m元，根據(jù)“此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現(xiàn)在既要使月銷售利潤達(dá)到6000元”，列出一元二次方程求解，再根據(jù)“盡可能讓市民得到實惠”取舍即可．
【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率x，
由題意得：375（1+x）2＝540，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；
（2）設(shè)該品牌頭盔每個應(yīng)漲價m元，
由題意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000，
整理得：m2﹣15m+50＝0，
解得m1＝5，m2＝10，
∵要盡可能讓顧客得到實惠，
∴m＝5，
答：該品牌的頭盔每個應(yīng)漲價5元．
18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的長．
【分析】（1）利用平行線和角的平分線，證明AD＝CD，繼而判斷四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合AB＝AD得證．
（2）由菱形的性質(zhì)得，BD⊥AC，，，由勾股定理可得：，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，求解即可．
【解答】（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，則AD＝CD，
又∵AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形．
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴，BD⊥AC，，，
由勾股定理可得：，
∵CE⊥AB，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即：，
解得：．
19．（12分）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，同學(xué)們用兩個完全相同的矩形紙片展開探究活動：
【實踐探究】：（1）小紅將兩個矩形紙片擺成圖1的形狀，連接AG、AC，則∠ACG＝ 45 °；
【解決問題】：（2）將矩形AQGF繞點A順時針轉(zhuǎn)動，邊AF與邊CD交于點M，連接BM，AB＝10，AD＝6．
①如圖2，當(dāng)BM＝AB時，求證：AM平分∠DMB；寫出證明過程
②如圖3，當(dāng)點F落在DC上時，連接BQ交AF于點O，則AO＝ 4 ；
【遷移應(yīng)用】：（3）如圖4，正方形ABCD的邊長為，E是BC邊上一點（不與點B、C重合），連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至FE，作射線FC交AB的延長線于點G，則BG＝ 5 ；
（4）如圖5，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD邊上一點（不與點C、D重合），連接BE，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°至FE，作射線FD交BC的延長線于點G，若，則CG＝ 2 ．
【分析】（1）證明△ACG是等腰直角三角形，得出∠ACG＝45°，則可得出答案；
（2）①由矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)證明∠BMA＝∠DMA，則可得出結(jié)論；
②過點B作BE⊥AF于點E，求出DF＝8，證明△BCF≌△BEF（AAS），得出CF＝EF＝2，BC＝BE，證明△AOQ≌△EOB（AAS），得出AO＝OE＝AE＝4；
（3）過點F作FH⊥CD交CD于點H，證明△AEB≌△EFH（AAS），得出FH＝BE，AB＝EH，證明△CBG是等腰直角三角形，則可得出答案；
（4）過點F作∠EFH＝∠BEC，與ED的延長線交于點H，證明△BEC≌△EFH（AAS），得出∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，F(xiàn)H＝CE，證出△DCG是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）解：∵長方形紙片ABCD和AFGQ是兩個完全相同的長方形，
∴AC＝AG，∠BAC＝∠GAF，
∴∠BAC+∠CAD＝∠GAF+∠CAD，
∴∠GAC＝∠BAD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
故答案為：45；
（2）①證明：∵BM＝AB，
∴∠BMA＝∠BAM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAB；
∴∠BMA＝∠DMA，
∴AM平分∠DMB；
②解：過點B作BE⊥AF于點E，
∵AF＝AB＝10，AD＝6，
∴DF＝＝8，
∴CF＝DC﹣DF＝2，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠AFB＝∠CFB，
∵BF＝BF，∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BCF≌△BEF（AAS），
∴CF＝EF＝2，BC＝BE，
∴AE＝8，
∵AD＝AQ＝BC，
∴AQ＝BE，
∵∠QAO＝∠BEO，∠AOQ＝∠BOE，
∴△AOQ≌△EOB（AAS），
∴AO＝OE＝AE＝4，
故答案為：4；
（3）解：如圖4，過點F作FH⊥CD交CD于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠H＝∠ABC＝90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AEF＝90°，EF＝AE，
∵∠BEA+∠BAE＝∠BEA+∠FEH＝90°，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△AEB和△EFH中，
，
∴△AEB≌△EFH（AAS），
∴FH＝BE，AB＝EH，
∴EH＝CB，
∴CH+CE＝CE+BE，
∴CH＝BE，
∴FH＝CH，
∴∠FCH＝45°，
∴∠BCG＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴△CBG是等腰直角三角形，
∴BG＝BC＝5；
故答案為：5；
（4）解：過點F作∠EFH＝∠BEC，與ED的延長線交于點H，如圖5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠A＝∠BCD＝120°，
由旋轉(zhuǎn)得∠BEF＝120°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝60°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，F(xiàn)H＝CE，
∴CD＝EH，
∴DH＝CE，
∴DH＝FH，
∴∠FDH＝∠DFH＝30°，
∴∠CDG＝30°，
∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠G＝90°，
∴△DCG是直角三角形，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝BC，
∵BG＝6，
∴3CG＝6，
∴CG＝2．
故答案為：2．
20．（12分）在正方形ABCD中，AB＝10，AC是對角線，點O是AC的中點，點E在AC上，連接DE，點C關(guān)于DE的對稱點是C′，連接DC′，EC′．
（1）如圖1，若DC′經(jīng)過點O，求證：；
（2）如圖2，連接CC′，BC′，若∠ADC′＝2∠CBC′，求CC′的長；
（3）當(dāng)點B，C′，E三點共線時，直接寫出CE的長．
【分析】（1）證明△OEC′是等腰直角三角形，再由對稱的性質(zhì)可得：CE＝C′E，即可；
（2）過點B作BN⊥CN交CC′的延長線于點N，延長DE交CC′于點M，證明△CDM≌△BCN，可得BN＝CM，設(shè)則∠CBC′＝α，∠ADC′＝2α，證明△NC′B是等腰直角三角形，可得C′N＝BN，從而得到BN＝C′N＝C′M＝CM，然后根據(jù)勾股定理，即可求解；
（3）連接BD交AC于點H，則∠CDB＝45°，，分兩種情況討論：當(dāng)點E在CH上時，當(dāng)點E在AH上時，即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，點O是對角線AC的中點，
∴OC′⊥AC，∠C′＝∠ACD＝45°，
∴△OEC′是等腰直角三角形．
由對稱的性質(zhì)得：CE＝C′E，
∴；
（2）解：如圖1，過點B作BN⊥CN交CC′的延長線于點N，延長DE交CC′于點M，
由對稱的性質(zhì)得：∠CDM＝∠C′DM，DM⊥CC′，DC＝DC′，CM＝C′M
∴∠CDM+∠DCM＝90°．
∵∠DCM+∠BCN＝90°，
∴∠CDM＝∠BCN．
∵BC＝DC，∠N＝∠DMC＝90°，
∴△CDM≌△BCN（AAS），
∴BN＝CM．
設(shè)則∠CBC′＝α，∠ADC′＝2α，
∴∠CDC′＝90°﹣2α，
∴，
∴∠NC′B＝∠C′CB+∠CBC′＝45°，
∴△NC′B是等腰直角三角形，
∴C′N＝BN，
∴BN＝C′N＝C′M＝CM，
∴CN2+BN2＝CB2＝100，
∴（3BN）2+BN2＝CB2＝100，
∴，
∴．
（3）解：如圖2，連接BD交AC于點H，則∠CDB＝45°，，
當(dāng)點E在CH上時，延長DE交CC′于點G，過點C′作FC′⊥BC于點F，連接AC′，則DG垂直平分CC′，
∴∠CDG+∠DCC′＝90°，
∵∠C′CB+∠DCC′＝90°，
∴∠C′CB＝∠CDG，
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠BCE＝∠DCE，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDG，
∴∠C′CB＝∠CBE，
∴∠DCC′＝∠ABC′，
∴△DCC′≌△ABC′（SAS），
∴DC′＝AC′，
由對稱的性質(zhì)得：DC′＝DC，∠CDG＝∠C′DG，
∴DC′＝AC′＝DC，
∴△AC′D是等邊三角形，
∴∠ADC′＝60°，
∴∠CDC′＝30°，
∴∠CDG＝∠C′DG＝15°，
∴∠GDH＝30°，
∴DE＝2EH，
∵AB＝AD＝10，
∴，
∴，
∵EH2+DH2＝DE2＝2EH2，
∴，
∴，
∴CE＝CH﹣EH＝5﹣；
如圖3，當(dāng)點E在AH上時，
同理CE＝5+；
綜上所述，CE的長為5﹣或5+；
方法二：
如圖4，
∵E在正方形的對角線上，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△DEC≌△BEC（SAS），
∴∠1＝∠2，
由折疊的性質(zhì)得：∠1＝∠DEC′，
∵∠1+∠2+∠DEC′＝360°，
∴∠1＝∠2＝∠DEC′＝120°，
∴∠OEB＝60°，
作BO⊥AC交AC于點O，
∵BC＝10，
∴BO＝CO＝5，
∴DE＝ct60°×BO＝°×5＝，
∴CE＝5﹣；
如圖5，
同理得：∠1＝∠2＝∠3＝60°，
解得：OE＝，OC＝OB＝5，
∴CE＝CO+OE＝5+．
綜上所述，CE的長為5﹣或5+．

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