1.關(guān)于x的一元二次方程為實數(shù)根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 方程沒有實數(shù)根D. 不能確定
2.已知二次函數(shù)，當時，y隨x增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅圖案是四所大學校徽的主體標識，其中是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.二次函數(shù)圖象的頂點所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
5.m是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值是( )
A. B. 2017C. D. 2025
6.某商品原價200元，連續(xù)兩次降價后售價為148元，下列所列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
7.如圖，是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，，，則的長為( )
A.
B.
C.
D. 4
8.若直角三角形的兩邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是( )
A. 6B. 12C. 12或D. 6或
9.已知拋物線，則當時，函數(shù)的最大值為( )
A. B. C. 0D. 2
10.如圖，拋物線經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.已知方程有一根是1，那么______.
12.若函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為______.
13.如圖，在正方形ABCD中，，E為AB的中點，連接DE，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接EF，則EF的長為______.
14.在平面直角坐標系中，將拋物線先繞原點旋轉(zhuǎn)，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是______.
15.觀察下列圖形規(guī)律：當______時，圖形“”的個數(shù)是“●”的個數(shù)的2倍．
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題7分
用配方法解一元二次方程：
17.本小題7分
如圖，在中，，點D、點E分別為AB、AC的中點，連接DE，將繞點E旋轉(zhuǎn)，得到試判斷四邊形BCFD的形狀，并說明理由．
18.本小題7分
已知開口向上的拋物線經(jīng)過點
確定此拋物線的解析式；
當x取何值時，y有最小值，并求出這個最小值．
19.本小題9分
如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，點B，點O均為格點每個小正方形的頂點叫做格點
作點A關(guān)于點O的對稱點；
連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得點B的對應點，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段；
連接，求出四邊形的面積．
20.本小題9分
如圖，二次函數(shù)為常數(shù)的圖象的對稱軸為直線
求a的值.
向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式.
21.本小題9分
如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻外墻足夠長圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門建在EF處，另用其他材料
當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為的羊圈？
羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由.
22.本小題13分
旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．如圖①，在四邊形ABCD中，，，，，
【問題提出】
如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上連接BD，由于，所以可將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是______
【嘗試解決】
在的條件下，求四邊形ABCD的面積；
【類比應用】
如圖③，等邊的邊長為2，是頂角的等腰三角形，以D為頂點作一個的角，角的兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求的周長．
23.本小題14分
已知拋物線過點，
求拋物線的解析式；
點A在直線PQ上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角
①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由根的判別式得，
故有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：
利用一元二次方程的根的判別式即可求解．
此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式有如下關(guān)系：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．上述結(jié)論反過來也成立．
2.【答案】B
【解析】解：二次函數(shù)，當時，y隨x增大而增大，
，
，
故選：
由二次函數(shù)的性質(zhì)得，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】A
【解析】解：選項B、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：
根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．
本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵是找出對稱中心．
4.【答案】B
【解析】解：，
頂點坐標為，
頂點在第二象限．
故選：
首先確定二次函數(shù)的頂點坐標，然后根據(jù)點的坐標特點寫出頂點的位置．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的頂點坐標．
5.【答案】C
【解析】解：把代入方程得：，
，
，
故選：
把代入方程得關(guān)于m的方程，求出的值，再把所求代數(shù)式寫成含有的形式，整體代入進行計算即可．
本題主要考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解是使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)兩次降價后的價格=降價前的價格連續(xù)兩次降價率，然后由題意可列出方程．
【解答】
解：依題意得連續(xù)兩次降價后的售價為，
故選：
7.【答案】A
【解析】解：，，
，
該圖形是中心對稱圖形，
，
故選：
解直角三角形求得AC，而，據(jù)此即可求解．
本題主要考查了中心對稱圖形以及解直角三角形，正確求出AC的長是解答本題的關(guān)鍵．
8.【答案】D
【解析】解：，
或
①當長是4的邊是直角邊時，該直角三角形的面積是；
②當長是4的邊是斜邊時，第三邊是，該直角三角形的面積是
故選：
先解出方程的兩個根為3和4，再分長是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．
本題考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進行討論是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】D
【解析】解：，
對稱軸為直線，
，
拋物線的開口向上，
當時，y隨x的增大而減小，
當時，，
當時，y隨x的增大而增大，
當時，，
當時，函數(shù)的最大值為2，
故選：
根據(jù)拋物線的解析式求得對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】B
【解析】解：過A作軸于H，
四邊形ABCO是正方形，
，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，，
的值為，
故選：
過A作軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點的坐標是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】0
【解析】解：是一元二次方程的一個根，
，
，
故答案為
將代入到中即可求得的值．
此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式的值．
12.【答案】或2或1
【解析】解：函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，
當函數(shù)為二次函數(shù)時，，
解得：，，
當函數(shù)為一次函數(shù)時，，解得：
故答案為：或2或
直接利用拋物線與x軸相交，，進而解方程得出答案．
此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．
13.【答案】
【解析】解：四邊形ABCD為正方形，
，，
為AB的中點，
，
，
繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
為等腰直角三角形，
故答案為：
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，則利用勾股定理可計算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，然后利用為等腰直角三角形得到
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．
14.【答案】
【解析】解：將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)后所得拋物線為：，即，
再將拋物線向下平移5個單位得，
所得到的拋物線的頂點坐標是，
故答案為：
先求出繞原點旋轉(zhuǎn)的拋物線解析式，再求出向下平移5個單位長度的解析式，配成頂點式即可得答案．
本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
15.【答案】11
【解析】解：時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
第n個圖形中“”的個數(shù)是3n；
又時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
時，“”的個數(shù)是；
第n個“”的個數(shù)是；
由，
解得或舍去，
故答案為：
首先根據(jù)、2、3、4時，“”的個數(shù)分別是3、6、9、12，判斷出第n個圖形中“”的個數(shù)是3n；然后根據(jù)、2、3、4，“”的個數(shù)分別是1、3、6、10，判斷出第n個“”的個數(shù)是；最后根據(jù)圖形“”的個數(shù)是“●”的個數(shù)的2倍，求出n的值是多少即可．
此題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類問題，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是：首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，，
【解析】利用配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程的解法，關(guān)鍵是找出一次項系數(shù)一半的平方，本題屬于基礎(chǔ)題型．
17.【答案】解：四邊形BCFD是菱形，理由如下：
點D、點E分別是AB、AC的中點，
，，
又是由旋轉(zhuǎn)而得，
，
，，
四邊形BCFD是平行四邊形，
又，且點D為AB的中點，
，
是菱形．
【解析】四邊形BCFD應該是菱形，要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明它是一組鄰邊相等的平行四邊形即可，此題實際是對判定菱形的方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”的證明．
菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．還有就是本題中一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
18.【答案】解：由拋物線過，得：
，
，即
拋物線開口向上，
，
故拋物線的解析式為；
，
當時，y有最小值
【解析】因為開口向上，所以；把點代入拋物線中，得，
再根據(jù)求a，從而確定拋物線解析式；
根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標，求解即可．
此題考查了二次函數(shù)的開口方向，頂點坐標，還考查了點與函數(shù)的關(guān)系．
19.【答案】解：如圖所示，點即為所求作；
如圖所示，線段即為所求作；
如圖，連接，過點A作于點E，過點作于點F，則
四邊形的面積
【解析】依據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可得到點A關(guān)于點O的對稱點；
依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的線段；
依據(jù)割補法進行計算，即可得到四邊形的面積．
本題主要考查了中心對稱作圖，旋轉(zhuǎn)變換作圖，割補法求圖形的面積等知識，掌握相關(guān)作圖的方法和割補法求圖形面積的方法是解題關(guān)鍵．
20.【答案】解：由二次函數(shù)為常數(shù)知，該拋物線與x軸的交點坐標是和
對稱軸為直線，
解得；
由知，，則該拋物線解析式是：2
拋物線向下平移3個單位后經(jīng)過原點．
平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式是2
【解析】根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點橫坐標，結(jié)合拋物線的軸對稱性質(zhì)求得a的值即可．
將a的值代入，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．
本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的坐標，根據(jù)對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：設(shè)矩形ABCD的邊，則邊
根據(jù)題意，得，
化簡，得解得，，
當時，；
當時，
答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為的羊圈；
答：不能，
理由：由題意，得，
化簡，得，
，
一元二次方程沒有實數(shù)根．
羊圈的面積不能達到
【解析】根據(jù)柵欄總長，再利用矩形面積公式即可求出；
先利用矩形面積公式得到，再根據(jù)，進行判斷即可.
本題考查了一元二次方程的應用，找到周長等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
22.【答案】等邊三角形
【解析】解：將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
由知，≌，
四邊形ABCD的面積=等邊三角形的面積，
，
，
；
解：將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等邊三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，C，P三點共線，
，
，
即，
≌，
，
的周長
故的周長為
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，所以是等邊三角形；
求出等邊三角形的邊長為3，求出三角形的面積即可；
將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則≌，得出，，，證明≌，證得的周長
本題是四邊形綜合題，考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，類比思想等．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：將，兩點分別代入，
得：，
解得：
拋物線的解析式是：；
①拋物線的對稱軸是y軸，
當點A與點重合時，，
作于H，如圖，
是等腰直角三角形，
和也是等腰直角三角形，
點C到拋物線的對稱軸的距離等于1；
②如圖，C落在拋物線上，
設(shè)直線PQ的解析式為，
由題意得：，
解得：，
直線PQ的解析式為
設(shè)，則，，
，
落在拋物線上，
將點代入，得：
，
整理，得：，
解得：，或與點B重合，舍去
當時，
，
點C的坐標是

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