1.關(guān)于x的一元二次方程為實(shí)數(shù)根的情況是( )
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 方程沒有實(shí)數(shù)根D. 不能確定
2.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅圖案是四所大學(xué)?；盏闹黧w標(biāo)識(shí)，其中是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
5.m是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是( )
A. B. 2017C. D. 2025
6.某商品原價(jià)200元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為148元，下列所列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
7.如圖，是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，若，，，則的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D. 4
8.若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是( )
A. 6B. 12C. 12或D. 6或
9.已知拋物線，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為( )
A. B. C. 0D. 2
10.如圖，拋物線經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.已知方程有一根是1，那么______.
12.若函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為______.
13.如圖，在正方形ABCD中，，E為AB的中點(diǎn)，連接DE，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接EF，則EF的長(zhǎng)為______.
14.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，再向下平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.
15.觀察下列圖形規(guī)律：當(dāng)______時(shí)，圖形“”的個(gè)數(shù)是“●”的個(gè)數(shù)的2倍．
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題7分
用配方法解一元二次方程：
17.本小題7分
如圖，在中，，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，得到試判斷四邊形BCFD的形狀，并說明理由．
18.本小題7分
已知開口向上的拋物線經(jīng)過點(diǎn)
確定此拋物線的解析式；
當(dāng)x取何值時(shí)，y有最小值，并求出這個(gè)最小值．
19.本小題9分
如圖，在邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)O均為格點(diǎn)每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)
作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；
連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段；
連接，求出四邊形的面積．
20.本小題9分
如圖，二次函數(shù)為常數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線
求a的值.
向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式.
21.本小題9分
如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻外墻足夠長(zhǎng)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門建在EF處，另用其他材料
當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈？
羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由.
22.本小題13分
旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．如圖①，在四邊形ABCD中，，，，，
【問題提出】
如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上連接BD，由于，所以可將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是______
【嘗試解決】
在的條件下，求四邊形ABCD的面積；
【類比應(yīng)用】
如圖③，等邊的邊長(zhǎng)為2，是頂角的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求的周長(zhǎng)．
23.本小題14分
已知拋物線過點(diǎn)，
求拋物線的解析式；
點(diǎn)A在直線PQ上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由根的判別式得，
故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：
利用一元二次方程的根的判別式即可求解．
此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上述結(jié)論反過來也成立．
2.【答案】B
【解析】解：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，
，
，
故選：
由二次函數(shù)的性質(zhì)得，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】A
【解析】解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)A能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；
故選：
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形可得答案．
本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是找出對(duì)稱中心．
4.【答案】B
【解析】解：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
頂點(diǎn)在第二象限．
故選：
首先確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)寫出頂點(diǎn)的位置．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
5.【答案】C
【解析】解：把代入方程得：，
，
，
故選：
把代入方程得關(guān)于m的方程，求出的值，再把所求代數(shù)式寫成含有的形式，整體代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題主要考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解是使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，增長(zhǎng)率問題，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)兩次降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格連續(xù)兩次降價(jià)率，然后由題意可列出方程．
【解答】
解：依題意得連續(xù)兩次降價(jià)后的售價(jià)為，
故選：
7.【答案】A
【解析】解：，，
，
該圖形是中心對(duì)稱圖形，
，
故選：
解直角三角形求得AC，而，據(jù)此即可求解．
本題主要考查了中心對(duì)稱圖形以及解直角三角形，正確求出AC的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
8.【答案】D
【解析】解：，
或
①當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是直角邊時(shí)，該直角三角形的面積是；
②當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是斜邊時(shí)，第三邊是，該直角三角形的面積是
故選：
先解出方程的兩個(gè)根為3和4，再分長(zhǎng)是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．
本題考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】D
【解析】解：，
對(duì)稱軸為直線，
，
拋物線的開口向上，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2，
故選：
根據(jù)拋物線的解析式求得對(duì)稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】B
【解析】解：過A作軸于H，
四邊形ABCO是正方形，
，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，，
的值為，
故選：
過A作軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】0
【解析】解：是一元二次方程的一個(gè)根，
，
，
故答案為
將代入到中即可求得的值．
此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式的值．
12.【答案】或2或1
【解析】解：函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，，
解得：，，
當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，解得：
故答案為：或2或
直接利用拋物線與x軸相交，，進(jìn)而解方程得出答案．
此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．
13.【答案】
【解析】解：四邊形ABCD為正方形，
，，
為AB的中點(diǎn)，
，
，
繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
為等腰直角三角形，
故答案為：
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，則利用勾股定理可計(jì)算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，然后利用為等腰直角三角形得到
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．
14.【答案】
【解析】解：將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所得拋物線為：，即，
再將拋物線向下平移5個(gè)單位得，
所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故答案為：
先求出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的拋物線解析式，再求出向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度的解析式，配成頂點(diǎn)式即可得答案．
本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
15.【答案】11
【解析】解：時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
第n個(gè)圖形中“”的個(gè)數(shù)是3n；
又時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
時(shí)，“”的個(gè)數(shù)是；
第n個(gè)“”的個(gè)數(shù)是；
由，
解得或舍去，
故答案為：
首先根據(jù)、2、3、4時(shí)，“”的個(gè)數(shù)分別是3、6、9、12，判斷出第n個(gè)圖形中“”的個(gè)數(shù)是3n；然后根據(jù)、2、3、4，“”的個(gè)數(shù)分別是1、3、6、10，判斷出第n個(gè)“”的個(gè)數(shù)是；最后根據(jù)圖形“”的個(gè)數(shù)是“●”的個(gè)數(shù)的2倍，求出n的值是多少即可．
此題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類問題，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是：首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，，
【解析】利用配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程的解法，關(guān)鍵是找出一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，本題屬于基礎(chǔ)題型．
17.【答案】解：四邊形BCFD是菱形，理由如下：
點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
，，
又是由旋轉(zhuǎn)而得，
，
，，
四邊形BCFD是平行四邊形，
又，且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
，
是菱形．
【解析】四邊形BCFD應(yīng)該是菱形，要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明它是一組鄰邊相等的平行四邊形即可，此題實(shí)際是對(duì)判定菱形的方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”的證明．
菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對(duì)角線互相垂直平分．還有就是本題中一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
18.【答案】解：由拋物線過，得：
，
，即
拋物線開口向上，
，
故拋物線的解析式為；
，
當(dāng)時(shí)，y有最小值
【解析】因?yàn)殚_口向上，所以；把點(diǎn)代入拋物線中，得，
再根據(jù)求a，從而確定拋物線解析式；
根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可．
此題考查了二次函數(shù)的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，還考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系．
19.【答案】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求作；
如圖所示，線段即為所求作；
如圖，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)作于點(diǎn)F，則
四邊形的面積
【解析】依據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；
依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的線段；
依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到四邊形的面積．
本題主要考查了中心對(duì)稱作圖，旋轉(zhuǎn)變換作圖，割補(bǔ)法求圖形的面積等知識(shí)，掌握相關(guān)作圖的方法和割補(bǔ)法求圖形面積的方法是解題關(guān)鍵．
20.【答案】解：由二次函數(shù)為常數(shù)知，該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和
對(duì)稱軸為直線，
解得；
由知，，則該拋物線解析式是：2
拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)．
平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式是2
【解析】根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)求得a的值即可．
將a的值代入，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：設(shè)矩形ABCD的邊，則邊
根據(jù)題意，得，
化簡(jiǎn)，得解得，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為20m時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈；
答：不能，
理由：由題意，得，
化簡(jiǎn)，得，
，
一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．
羊圈的面積不能達(dá)到
【解析】根據(jù)柵欄總長(zhǎng)，再利用矩形面積公式即可求出；
先利用矩形面積公式得到，再根據(jù)，進(jìn)行判斷即可.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到周長(zhǎng)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
22.【答案】等邊三角形
【解析】解：將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
由知，≌，
四邊形ABCD的面積=等邊三角形的面積，
，
，
；
解：將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等邊三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，C，P三點(diǎn)共線，
，
，
即，
≌，
，
的周長(zhǎng)
故的周長(zhǎng)為
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，所以是等邊三角形；
求出等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，求出三角形的面積即可；
將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則≌，得出，，，證明≌，證得的周長(zhǎng)
本題是四邊形綜合題，考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，類比思想等．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：將，兩點(diǎn)分別代入，
得：，
解得：
拋物線的解析式是：；
①拋物線的對(duì)稱軸是y軸，
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，
作于H，如圖，
是等腰直角三角形，
和也是等腰直角三角形，
點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1；
②如圖，C落在拋物線上，
設(shè)直線PQ的解析式為，
由題意得：，
解得：，
直線PQ的解析式為
設(shè)，則，，
，
落在拋物線上，
將點(diǎn)代入，得：
，
整理，得：，
解得：，或與點(diǎn)B重合，舍去
當(dāng)時(shí)，
，
點(diǎn)C的坐標(biāo)是
【解析】利用待定系數(shù)法解答即可；
①依題意畫出圖形，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；
②依題意畫出圖形，設(shè)，則，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得m值，則結(jié)論可得．
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，都要自己設(shè)計(jì)想到現(xiàn)在，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市潮南區(qū)兩英鎮(zhèn)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市潮南區(qū)兩英鎮(zhèn)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷，共5頁(yè)。

廣東省汕頭市潮南區(qū)峽山街道聯(lián)考2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題：

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廣東省汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題：

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