1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2. 回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
第Ⅰ卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知數(shù)列的前項和，則的值為（ ）
A. 135B. 145C. 155D. 165
2. 中心在坐標(biāo)原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
3. 等差數(shù)列中，， 則是( )
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
4. 直線將圓分成兩段，這兩段圓弧弧長之比為（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：5D. 3：5
5. 已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為（）
A. B. C. D.
6. 設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
7. 點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）
A. B. C. D.
8. 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（）
A. B. 2C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角的取值范圍是
B. “”是“直線與直線互相垂直”充要條件
C. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D. 已知向量，，則在上的投影向量為
10. 已知拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點，，則（）
A. 準(zhǔn)線方程為
B. 若，則
C. 若，則的斜率為
D. 過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則
11. 如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則四面體的體積為定值
B. 若的外心為，則為定值2
C. 若，則點的軌跡長度為
D. 若且，則存在點，使得的最小值為
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的極大值點為___________.
13. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．
14. 定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為_________________.
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．
（1）求；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
16. 如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．
17. 已知數(shù)列的首項為2，前項和為，且
（1）求的值；
（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
（3）求數(shù)列的通項公式.
18. 已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.
（1）求C的方程；
（2）過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)取值范圍.康杰中學(xué)2023—2024年第二學(xué)期
高二年級（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題
2024年2月
（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項：
1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2. 回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
第Ⅰ卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知數(shù)列的前項和，則的值為（ ）
A. 135B. 145C. 155D. 165
【答案】C
【解析】
【分析】利用與之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意可知，，，
所以.
故選：C.
2. 中心在坐標(biāo)原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線方程，根據(jù)已知得到，即可得到漸近線的方程.
【詳解】由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由已知可得，所以，則，所以.
所以，雙曲線的漸近線方程為.
故選：D.
3. 等差數(shù)列中，， 則是的( )
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，時，成立，即充分性成立，
反之：等差數(shù)列常數(shù)列，對任意成立，即必要性不成立.
故選：B．
【點睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，判斷是的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件.
4. 直線將圓分成兩段，這兩段圓弧的弧長之比為（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：5D. 3：5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式，結(jié)合弧長公式即可求解.
【詳解】設(shè)直線與圓的兩個交點為，圓心為，過點作交于,
如圖所示
設(shè)，則
所以圓心到直線的距離為.
在中，
因為，
所以，
由圓的性質(zhì)知，，
所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧所對圓心角的弧度數(shù)之比，等于．
故選：A.
5. 已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進(jìn)而利用累加法可求得結(jié)果．
【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，
，
，
，且，
，
故選：A．
6. 設(shè)，，，則、、大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得到、的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，則，即，即，
所以，，
因為，故，即，即，
因此，.
故選：D.
7. 點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化為，即求的最小值，即為圓心與的距離減半徑即可.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則
求的最小值即求的最小值，圓的半徑為圓心為
所以的最小值為
所以的最小值為
故選：D.
【點睛】本題考查了橢圓的定義，以及圓上一動點與圓外一定點的距離的最值問題，解決問題時需要對題中的目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將多個動點轉(zhuǎn)化為少（單）動點的問題，從而解決問題.
8. 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于、、之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式，即可得解.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角的取值范圍是
B. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
C. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D. 已知向量，，則在上的投影向量為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項，利用兩直線的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項，利用空間向量的基本定理可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以，故A正確；
對于B選項，因為直線與直線互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；
對于C選項，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，不妨設(shè)這兩個非零向量不共線，設(shè)這兩個非零向量為，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個基底，假設(shè)不成立，故這兩個非零向量共線，故C正確;
對于D選項，因為向量，所以在上的投影向量為，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點，，則（）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B. 若，則
C. 若，則的斜率為
D. 過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線幾何意義求出，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的定義判斷A、B、D，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦半徑公式計算即可判斷C；
【詳解】解：因為拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以，
所以拋物線方程為，則焦點，準(zhǔn)線為，故A錯誤；
若，則，所以，所以，故B正確；
可設(shè)，，，，
直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，
消去，可得，
可得，，
由拋物線的定義可得
即，即，
解得，則直線的斜率為，故C正確；
對于D，若軸平分，則，又軸，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正確；
故選：BCD
11. 如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則四面體的體積為定值
B. 若的外心為，則為定值2
C. 若，則點的軌跡長度為
D. 若且，則存在點，使得的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點共線，得到平面，故點為平面距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長公式求出答案；D選項，求出，，得到，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.
【詳解】A選項，在上分別取，使得，，
因為，所以，
因為，所以，即，
故，即，
所以三點共線，
因為，，所以，
故平面，故點為平面的距離為定值，
又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；
B選項，取的中點，因為的外心為，所以⊥，
又題意得，
則，B錯誤；
C選項，取的中點，因為底面為菱形，，
故⊥，
以為坐標(biāo)原點，以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
故，設(shè)，
則，
化簡得，
點滿足，
即點在正方形內(nèi)，包括邊界，
故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，
如圖所示：
因為，，故，
故為等腰直角三角形，，
故點的軌跡長度為，C正確；
D選項，若且，，
即，即，
又，，設(shè)，
設(shè)，即，
解得，即，
，
如圖所示，
設(shè)，且⊥，⊥，
在線段上取一點，設(shè)，則，
故，
顯然，直接連接，此時取得最小值，最小值即為，
由勾股定理得，
故的最小值為，
D正確.
故選：ACD
【點睛】空間向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用空間向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的極大值點為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得極大值點.
【詳解】由題意知：定義域為，
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
是的極大值點.
故答案為：.
13. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．
【答案】56
【解析】
【分析】利用高階等差數(shù)列的定義，分別計算出前后兩項的差，再由等差數(shù)列定義即可求得第6項的值為56.
【詳解】由題意可知，所給數(shù)列為高階等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的第6項為，
根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，
再利用新數(shù)列的后一項減去前一項也得到一個新數(shù)列，即可得到一個首相為3公差為1的等差數(shù)列，
計算規(guī)律如下所示：
則需滿足，解得.
該數(shù)列的第6項為56.
故答案為：56
14. 定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為_________________.
【答案】
【解析】
【分析】明確函數(shù)的周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某點出的切線方程.
【詳解】因為是上的偶函數(shù)，且，
所以，
所以，即為周期函數(shù)，且周期為4.
設(shè)，則，由；
設(shè)，則，由.
當(dāng)時，.
所以：，.
所以曲線在點處的切線方程為：.
故答案為：
【點睛】方法點睛：該問題的解決方法可以有兩種思路：
（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，可得和，進(jìn)而求出所求的切線方程；
（2）利用函數(shù)的對稱性和周期性，先求得到切點，再根據(jù)的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于軸對稱，所以得切線斜率，可得所求切線方程.
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．
（1）求；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值
【解析】
【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得；
（2）借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.
【小問1詳解】
，則，
由題意可得，解得；
【小問2詳解】
由，故，
則，，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故有極大值，
有極小值.
16. 如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．
【答案】（1）見解析 （2） （3）
【解析】
【詳解】解：本題可通過建立空間坐標(biāo)系求解．
如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
設(shè)平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，
則,即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為＝(－3，－2,1)．
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．
于是cs〈，〉＝＝＝－，從而sin〈，〉＝，
故二面角B1－CE－C1的正弦值為.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則
sinθ＝|cs〈，〉|＝
＝＝.
于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)，
∴AM＝.
17. 已知數(shù)列的首項為2，前項和為，且
（1）求的值；
（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
（3）求數(shù)列的通項公式.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得求得．
（2）由條件可得可得，于是，以上兩式相減變形可得，即，于是可得數(shù)列為等差數(shù)列，并可求得其通項．
（3）由（2）可得，可得，根據(jù)累乘法可得數(shù)列的通項公式．
【小問1詳解】
∵，且，
∴
解得.
【小問2詳解】
由，
可得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
化為:，
即，
又，
數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
∴.
【小問3詳解】
由(2)可得: ，
∴，
∴，
∴，
又滿足上式．
∴.
18. 已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.
（1）求C的方程；
（2）過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意得，把代入橢圓方程可得答案；
（2）①當(dāng)l斜率不存在時，易知；②當(dāng)l斜率存在時，設(shè)l，，，與橢圓方程聯(lián)立，求出、，由利用韋達(dá)定理可得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，可得答案.
【小問1詳解】
由題意得，把代入，
解得，
所以C的方程為；.
【小問2詳解】
由（1）知：，，
①當(dāng)l斜率不存在時，易知；
②當(dāng)l斜率存在時，設(shè)l：，，，
由，得，顯然，
所以，，
因為，，
所以，
因為，
所以.
又，
設(shè)，則，，解得且，
所以，
因為，可得的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是借助求出的范圍，本題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，求導(dǎo)后分情況討論根的個數(shù)與大小即可.
指對同構(gòu)問題，將所求不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，再利用單調(diào)性求解.
【小問1詳解】
定義域是，
令
當(dāng)時，∵，∴
∴，∴在單調(diào)遞增
當(dāng)時，，若，即時，，
∴，∴在單調(diào)遞減
若，即時，令，
解得，，
易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞增
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞減
【小問2詳解】
解法一：
由題易得
令，有在為增函數(shù)
原式等價于，
即
即，令
由（1）知時，在為減函數(shù)，
∴，∴
解法二：
由題易得
令，有在為增函數(shù)
原式等價于，即
設(shè)對恒成立
首先，即，
下面證明時，恒成立
由（1）知，當(dāng)時，，，此題的證
∴.
【點睛】本題第一問屬于含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，先求導(dǎo)，再用參數(shù)討論方程的根個數(shù)與大小，得出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第二問屬于指對同構(gòu)類問題，一般指數(shù)和對數(shù)函數(shù)同時出現(xiàn)時考慮指對同構(gòu)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍即可.

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