注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意集合，
則，
故選：D
2. 已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，進(jìn)而結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B.
3. 命題所有的偶數(shù)都不是素?cái)?shù)，則是（）
A. 所有的偶數(shù)都是素?cái)?shù)B. 所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)
C. 有一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)D. 有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解即可.
【詳解】因?yàn)槊}所有的偶數(shù)都不是素?cái)?shù)，
所以是：有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)
故選：D.
4. 下列函數(shù)中最小值為6的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A.由時(shí)判斷；B. 令，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；C. 令，利用基本不等式求解判斷；D. 由時(shí)判斷.
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；
B. 令，又在上遞減，所以當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值10，故錯(cuò)誤；
C. 令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故正確；
D. 當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故錯(cuò)誤；
故選：C
5. 已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件能否正常工作相互獨(dú)立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個(gè)正常工作.則聽不到聲音的概率為（）
A. 0.19738B. 0.00018C. 0.01092D. 0.09828
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求能聽到聲音的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.
【詳解】設(shè)能聽到聲音為事件，
則
,
所以聽不到聲音的概率.
故選：A
6. 已知數(shù)列滿足，則（）
A. 2023B. 2024C. 2027D. 4046
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，進(jìn)而可得，則有數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】由①，得，
②，
由②①得，
所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為公差的等差數(shù)列，
則，
所以.
故選：C.
7. 設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>故的定義域?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕矗獾?
故選：B
8. 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，過斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且，若Q是拋物線上任意一點(diǎn)，且，則的最小值是（）
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立可得韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程得，
設(shè),所以
，，
化簡得，
即,解得,
故
設(shè),則，
因此且，
因此可得，
故，當(dāng)時(shí)取到等號，故的最小值為0，
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，則（）
A. B.
C. D. 向量在向量方向上的投影向量互為相反向量
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直、平行、投影向量等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，所以，所以A選項(xiàng)正確.
BC選項(xiàng)，，，所以，
所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，在上的投影向量為，
在上的投影向量為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
10. 下列選項(xiàng)中，滿足的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)比較大小即可.
【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，A不滿足；
對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
即有，因此，即，B滿足；
對于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，C滿足；
對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，D滿足.
故選：BCD
11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）
A.
B. 是函數(shù)的一個(gè)遞減區(qū)間
C. 是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像依次分析出，然后再判斷對稱軸，單調(diào)區(qū)間，最值等問題
【詳解】由圖可知最大值為1，最小值為，所以；
由圖可知，所以，又，所以；
函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以，又，所以，
所以.
對于A：由上面結(jié)論知道A正確；
對于B：時(shí)，在該區(qū)間不是單調(diào)遞減函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對于C：時(shí)，是函數(shù)的一條對稱軸，C正確；
對于D：時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，最大值取不到，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
12. 定義在上的函數(shù)滿足，則（）
A.
B. 若，則為的極值點(diǎn)
C. 若，則為的極值點(diǎn)
D. 若，則在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】
【分析】令且，結(jié)合已知可得，即可判斷A；將已知條件化為且，再令并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得，進(jìn)而判斷B、C、D.
【詳解】令且，則，
所以在上遞增，則，A對；
由題設(shè)且，
令，則，
當(dāng)時(shí)，即遞減；當(dāng)時(shí)，即遞增；
所以，
若，則，
所以上，遞減；上，遞增；
故為的極值點(diǎn)，B對；
若，則，即，故在上遞增，故不是的極值點(diǎn)，C錯(cuò)；
若，則，即，故在上單調(diào)遞增，D對.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于B、C、D，由且，并構(gòu)造且應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和極值為關(guān)鍵.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】由，
其中二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時(shí)，可得，所以.
故答案為：.
14. 曲線的一條切線的斜率為1，則該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為__________.
【答案】##
【解析】
分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再求出面積即得.
【詳解】設(shè)斜率為1的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，
由，求導(dǎo)得，因此切線斜率為，解得，切點(diǎn)為，切線方程為，
該切線與x、y軸分別交于，
所以該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
故答案為：
15. 已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為，且，若P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合為橢圓和雙曲線的公共點(diǎn)，分別根據(jù)定義在橢圓和雙曲線里列和的關(guān)系，表示出和，然后結(jié)合，在用余弦定理表示即可.
【詳解】
不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)雙曲線的方程為，，
設(shè)P是兩條曲線第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則有，，所以，，
在中，
又因?yàn)?，則，即，即，
所以，即.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)滿足，則__________，若，則m的取值范圍是__________.
【答案】 ①. 1 ②. .
【解析】
【分析】利用列方程求參數(shù)a，進(jìn)而寫出解析式和定義域，定義判斷奇偶性，并得到，即有上值域均相同，再將問題化為研究上，結(jié)合基本不等式求參數(shù)范圍.
【詳解】由，則，故，且，
而，即為奇函數(shù)，
所以，易知和上值域相同，
綜上，上值域均相同，
只需研究上的最小值，即，
此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以，.
故答案為：1，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求參數(shù)范圍時(shí)注意判斷的奇偶性并確定在四個(gè)區(qū)間上的值域相同，簡化為上為關(guān)鍵.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，函數(shù).
（1）求使成立的x的集合；
（2）若先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利于向量的數(shù)量積、三角恒等變換化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由已知可得
，
所以
【小問2詳解】
結(jié)合（1）可知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得，
再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，
所以，
如下圖所示，函數(shù)與在上有4個(gè)交點(diǎn)，
記該四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，
則由正弦函數(shù)的對稱性可知.
18. 在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，從條件①、條件②中選一個(gè)作為已知條件①：；條件②：.
（1）求角；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選條件①，由正弦定理邊化角得到，于是，而，于是，進(jìn)而求出角；
選條件②，由正弦定理可得，化簡后利用余弦定理得到，進(jìn)而求出角.
（2）通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的值域求解．
【小問1詳解】
選條件①，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
所以，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)?，?
選條件②，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
又因?yàn)椋?
【小問2詳解】
由正弦定理，
所以，，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，
所以，
所以，
故，
所以的取值范圍為.
19. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，平面，為線段的中點(diǎn)，與平面所成的角為.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為,連接,則，利用線面平行的判斷定理證明即可；（2）連接,交于,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，然后進(jìn)行計(jì)算即可.
【小問1詳解】
設(shè)與的交點(diǎn)為,連接,
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),則為的中位線，
則,
又平面,平面,
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)樗倪呅螢檫呴L為2的菱形，
故可求得,
又平面,則平面,
則為與平面所成的角，故
又，則,
連接,交于,
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,
,
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，故.
設(shè)平面法向量為，
則，
令，得，故,
設(shè)平面與平面夾角為，則
，
故平面與平面夾角余弦值為
20. 已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及基本量計(jì)算和與的關(guān)系即可；
（2）先求出的通項(xiàng)，再用錯(cuò)位相減法求得的值，再由化簡及分類討論、分析函數(shù)的最值求得的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可得，
又因?yàn)?，所以，解得?br>所以可得
所以；
由①，可得:
當(dāng)時(shí)，，得:，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得: ，
故數(shù)列為以首項(xiàng)為 , 公比為的等比數(shù)列，
【小問2詳解】
由（1）可知，，，
所以，
③④，
由③-④可得
.
化簡可得:
要使得對任意恒成立，
即 ，
即 ，
①當(dāng) 時(shí), 有 成立
②當(dāng) 時(shí)，有 ，
對于函數(shù)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知是在 單調(diào)遞增的；
所以要使其恒成立，只要 ，，
③當(dāng) ，有 ，
對于函數(shù) ，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知在[1,4]上單調(diào)遞增，
只要 ；
綜上: 的取值范圍為 .
21. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在，使得，則稱為的一階不動(dòng)點(diǎn)；如果存在，使得，且，則稱為的二階周期點(diǎn).
（1）函數(shù)是否存在一階不動(dòng)點(diǎn)與二階周期點(diǎn)？
（2）若函數(shù)存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一階不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的定義判斷；
（2）將存在一階不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有解，然后列不等式求；假設(shè)存在二階周期點(diǎn)得到，即可得到時(shí)，不存在二階周期點(diǎn).
【小問1詳解】
的定義域?yàn)椋?br>令，整理得，解得，
所以為的一階不動(dòng)點(diǎn)，所以存在一階不動(dòng)點(diǎn)；
令，解得，而，
所以不存在二階周期點(diǎn).
【小問2詳解】
若存在一階不動(dòng)點(diǎn)，則方程有解，
當(dāng)時(shí)，存在一階不動(dòng)點(diǎn)，成立；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以當(dāng)時(shí)，存在一階不動(dòng)點(diǎn)，
若存在二階周期點(diǎn)，則，，
整理得，，
即方程有解，
當(dāng)時(shí)，，不成立；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以當(dāng)時(shí)，存在二階周期點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，不存在二階周期點(diǎn)，
綜上可得，當(dāng)時(shí)，存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn).
22. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在極值點(diǎn)，其極大值點(diǎn)為，最大的零點(diǎn)為，判斷與的大小關(guān)系，并證明.
【答案】（1）答案見解析；
（2），證明見解析.
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，直接求導(dǎo)可得單調(diào)性；當(dāng)，由方程在范圍內(nèi)上解情況，可得單調(diào)性.
（2）由（1）知，的極值點(diǎn)為方程的兩根，設(shè)為，且.后通過討論的正負(fù)情況，可知存在，，三種情況，前兩種情況容易得到，當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)性比較與大小即可.
【小問1詳解】
由題，定義域?yàn)?
當(dāng)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)或，此時(shí)方程有兩根設(shè)為.
由韋達(dá)定理，，則同號.
當(dāng)，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，.
在上單調(diào)遞增；
或
在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
由（1）可知此時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
，.
則.
令，則.
，.
設(shè).
則，因均在上遞增，
則在上遞增，則.
注意到，則.
即在上單調(diào)遞增，則.
則，使.即，使
又注意到.
則當(dāng)時(shí)，，
則有唯一零點(diǎn)，滿足；
當(dāng)時(shí)，，
有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無論取值如何，的最大零點(diǎn)均滿足.
因在上單調(diào)遞減，.則與的大小關(guān)系與與大小關(guān)系相反.
令，
則，
則在上遞減，則.

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【數(shù)學(xué)卷】2024屆山西省大同市學(xué)年高三上學(xué)期第二次摸底考試（無答案）

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2024屆山西省大同市學(xué)年高三上學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)試題及答案

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2022-2023學(xué)年山西省大同市高三上學(xué)期11月第二次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析

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