數(shù)學(xué)
考生注意
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案.
【詳解】，
故.
故選：D
2. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
故選：B
3. 已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，，得，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，因此，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
故選：A
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】確定函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性，排除部分選項(xiàng)，再利用在上函數(shù)值的正負(fù)判斷得解.
【詳解】函數(shù)，
對(duì)任意實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，
又，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，
因此函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤，選項(xiàng)C符合要求.
故選：C
5. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（ ）
A. 2B. 1C. 0D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】由單調(diào)性可得，求得值，驗(yàn)證求極值即可.
【詳解】函數(shù)，
由在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在處取極小值，
所以有，由，
得，解得，
則有，
由，得只有一個(gè)根，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，滿足題意，
所以有極小值，且極小值.
故選：A.
6. 在三棱錐中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若且，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖形結(jié)合選項(xiàng)以及相關(guān)定理進(jìn)行逐一驗(yàn)證.
【詳解】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面，所以A正確.
連接交于，連接，由是三角形的中位線可知為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以,
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以B正確.
假若平面，則，這從已知條件無(wú)法得出，所以C不正確.
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以；
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以；
因?yàn)椋?，所以平面，所以D正確.
故選：C.
7. 已知，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化切為弦，結(jié)合，得到，因?yàn)?br>，所以，故，求出.
【詳解】，
即，
故，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>故，解得.
故選：C
8. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可計(jì)算得公比，進(jìn)而可得，進(jìn)而對(duì)分奇偶，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.
【詳解】
由于為等比數(shù)列，所以，所以，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由得對(duì)任意的偶數(shù)成立，
由于為單調(diào)遞增數(shù)列，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取最大值，故，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由得對(duì)任意的奇數(shù)成立，
由于為單調(diào)遞增數(shù)列，所以單調(diào)遞增， 故，
綜上可知：對(duì)任意，，
故選:C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分
9. 已知，若，則（ ）
A. B.
C. 的最小值為8D. 的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，以及基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A和B中，因?yàn)榍?，可得且?br>即，所以，且，，所以A、B正確；
對(duì)于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取“”號(hào)，所以C正確；
對(duì)于D中，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取“”號(hào)，所以D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 的零點(diǎn)是
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】AC
【解析】
【分析】先根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】.
對(duì)于A，的最小正周期為，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以不是的圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，可得，所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題目分析、在上的單調(diào)性和增減性，然后討論其復(fù)合函數(shù)的增減性和奇偶性即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
通過(guò)整體向右平移一個(gè)單位，所以關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù).
又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
同理，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)，則
，則為在奇函數(shù).
，所以在上為單調(diào)遞增.
選項(xiàng)A：由于.所以為偶函數(shù).故A正確.
選項(xiàng)B：因?yàn)椋捎谠谏蠟閱握{(diào)遞增.所以，故B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C：令，則，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D：經(jīng)過(guò)分析，所以，D正確.
故選：AD
12. 已知圓錐的軸截面是等邊三角形，，是圓錐側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足線段與的長(zhǎng)度相等，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到此定點(diǎn)的距離為定值
B. 存在點(diǎn)，使得
C. 存在點(diǎn)，使得
D. 存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為
【答案】BD
【解析】
【分析】取線段PA的中點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作平面與PA垂直，可知平面截圓錐PO所得的截口曲線是以BC為長(zhǎng)軸的橢圓，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A、B；類比平面中圓的性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)三棱錐與三棱錐的體積相等，可知當(dāng)M到平面PAB的距離最大時(shí)，三棱錐體積最大，求出體積的最大值即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】如圖所示，取線段PA的中點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作平面與PA垂直.
依題意，有
因?yàn)椋渣c(diǎn)M在平而內(nèi)，再結(jié)合是等邊三角形，可知平面截圓錐PO所得的截口曲線是以BC為長(zhǎng)軸的橢圓.
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡是橢圓而不是圓，所以不存在定點(diǎn)使得M到此定點(diǎn)的距離為定值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)M與C重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，，
則M在B與C之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，必存在的情形，即，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，以AB為直徑作一個(gè)球，由，可知點(diǎn)C在此球面上，從而可知點(diǎn)M的軌跡除了B，C兩點(diǎn)之外均在此球內(nèi)部.
類比平面中圓的性質(zhì)，可知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)M到平面PAB的距離最大時(shí)，點(diǎn)M恰好是其軌跡橢圓的短軸端點(diǎn).
取線段BC的中點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)C所在的平行于圓錐底面的圓半徑為1，點(diǎn)B所在的底面圓半徑為2，
所以過(guò)點(diǎn)D作與圓錐底面平行的平面，截圓錐得到一個(gè)半徑為的圓，
且點(diǎn)D到直線PO的距離.
此圓與橢圓的交點(diǎn)即為橢圓的短軸端點(diǎn)M，此時(shí)，
則三棱錐的體積的最大值為，即存在點(diǎn)M，使得三棱錐的體
積為，故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)PM與AM長(zhǎng)度相等，所以作過(guò)PA中點(diǎn)C且與PA垂直的平面，得到截口曲線為橢圓，且點(diǎn)M在橢圓上，并結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征及橢圓的定義進(jìn)行解題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 一個(gè)正四棱臺(tái)的下底面周長(zhǎng)與上底面周長(zhǎng)之差為16，且其側(cè)面梯形的高為，則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)即可根據(jù)勾股定理求解.
【詳解】如圖：在正四棱臺(tái),分別為側(cè)面上的高以及棱臺(tái)的高，
設(shè)棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為，則，
在等腰梯形中，，
所以，
故棱臺(tái)的高為，
故答案為：
14. 記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)的通項(xiàng)公式：____________.
【答案】（或者）
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解首項(xiàng)和公比，即可求解.
【詳解】由可知公比不為1，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以
當(dāng)時(shí)，，所以，
故答案為：（或者）
15. 已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由，求出，再結(jié)合余弦型函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行列不等式即可.
【詳解】解：依題意得，，
得，因?yàn)?，所以?br>則，
因?yàn)椋?br>所以，
要使函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則，
解得，
則的取值范圍是.
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、、、，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m范圍，以及、、、之間的關(guān)系及對(duì)應(yīng)范圍，即可求解.
【詳解】由的解析式作出的大致圖象，如圖所示：
方程有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，
則，不妨令，
則由圖可知，，，
所以，，
由，得.
所以，
設(shè)，則，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
即的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）若，求A；
（2）若，求證：.
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理和，可求出角；
（2）由結(jié)合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由結(jié)合余弦定理得，兩式結(jié)合化簡(jiǎn)可證得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，
所以，得，
因?yàn)?，所以，得?br>所以由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
證明：因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
18. 記正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，已知.
（1）求；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）利用以及等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)可解；
（2）分奇偶進(jìn)行求和，奇數(shù)項(xiàng)可以利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解，偶數(shù)項(xiàng)利用裂項(xiàng)相消法求解，再相加即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋裕?br>將上述兩式相減得：，由于是正項(xiàng)數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?舍去)，
所以，
所以可得：，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋Y(jié)合（1）的結(jié)論可得，
.
19. 如圖，在四棱錐中，平面，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，利用線面平行的判定，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即得.
（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作射線，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
由，得為正三角形，又，
則為的中位線，因此，而平面平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作射線，由平面，得兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
20. 如圖，已知平行六面體中，，，為，的交點(diǎn)，且.
（1）求證：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而可證明面面垂直，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由于， ，平面，
所以平面，又平面，所以，
，平面，所以平面,
又平面，所以平面平面
【小問(wèn)2詳解】
又（1）知平面平面，且兩平面交線為,,平面，所以平面，
同理可得平面，因此兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，可得 ,
則
,
設(shè)平面,的法向量分別為，
所以取，則，
取，則，
設(shè)二面角的平面角為為銳角，
所以，
故二面角的余弦值為
21. 已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）若，求的最大值.
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）首先由遞推關(guān)系結(jié)合得到，再利用分組求和的方法求前n項(xiàng)和；
（2）首先利用將原式化簡(jiǎn)為，再構(gòu)造函數(shù)，利用作差法判斷函數(shù)的增減性，進(jìn)而可得最大值.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以有，
得：，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足上式，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，
綜上：.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，
令，則，
令，解得，由于數(shù)列中的是正整數(shù)，
所以可得，，，，
綜上：.
22. 已知函數(shù).
（1）若單調(diào)遞增，求的值；
（2）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：.
【答案】（1）1 （2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)法可求；
（2）由是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)得，，兩式作和與差，消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，整體換元，轉(zhuǎn)化變形為的證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可．
【小問(wèn)1詳解】
，，
則，
由單調(diào)遞增，則，即，
則有恒成立，
當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意都成立；
當(dāng)時(shí)，，
則恒成立，
設(shè)，則為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，
且，所以；
當(dāng)時(shí)，，則恒成立，
由為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，
且，所以；
綜上所述，；
【小問(wèn)2詳解】
方程，
所以，則有，
且，由，得．
要證，只要證明，即證，
記，則，，
因此只要證明，即．
記，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，則，
即，
則在上單調(diào)遞增，，
即成立，
．
【點(diǎn)睛】多變量導(dǎo)數(shù)題核心思想是不變的——消元，消元的方法有很多，在雙變量問(wèn)題中可以差值比值代換，主元法，構(gòu)造函數(shù)等等.這些方法同樣適用于多變量，在三變量消元時(shí)也可以考慮先忽略一個(gè)變量，將三變量轉(zhuǎn)化成雙變量問(wèn)題.

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