1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．四邊相等B．對(duì)角線相等
C．對(duì)角相等D．鄰角互補(bǔ)
2．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．C．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
3．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），菱形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣2）
4．（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（ ）
A．0.46B．0.50C．0.55D．0.61
5．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，則m2+m+2025的值為（ ）
A．2021B．2025C．2029D．2030
6．（3分）通常情況下無(wú)色酚酞試液遇酸性溶液（或中性溶液）不變色，遇堿性溶液變?yōu)榧t色．實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有四瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液，實(shí)驗(yàn)課上老師讓學(xué)生用無(wú)色酚酞試液檢測(cè)其酸堿性，已知這四種溶液分別是a.鹽酸（呈酸性），b.白醋（呈酸性），c.氫氧化鈉溶液（呈堿性），d.氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學(xué)生小剛同時(shí)任選兩瓶溶液用無(wú)色酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)，則兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知，則代數(shù)式的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）“村BA”賽區(qū)預(yù)選賽規(guī)定每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽15場(chǎng)．設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意下面列出的方程正確的是（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝15D．x（x+1）＝15
9．（3分）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（ ）
A． cm2B．cm2C． cm2D．（）ncm2
10．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜2B．a(chǎn)＜5且a≠2C．a(chǎn)＜6且a≠2D．a(chǎn)＜6
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。
11．（3分）已知a，b，c，d是成比例線段，且a＝1，b=2，c＝3，那么d＝ ．
12．（3分）若菱形的兩條對(duì)角線分別為10cm，12cm，則它的面積是 cm2．
13．（3分）如圖是某路口的部分通行路線示意圖，一輛車從入口A駛?cè)?，行至每個(gè)岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則該車從F口駛出的概率是 ．
14．（3分）如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來(lái)．若AB=26cm,則畫出的圓的半徑為 cm.
15．（3分）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為30m，寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為 米．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。
16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．
17．（7分）光華小區(qū)為了避免電動(dòng)車進(jìn)入小區(qū)，準(zhǔn)備修建一個(gè)電動(dòng)車棚，一邊利用長(zhǎng)為10m的墻，另外三邊用長(zhǎng)為19m的建筑材料圍成，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1m的門，當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí)，其面積為48m2？
18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，求證：DE=DF．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。
19．（9分）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成4個(gè)相同的扇形，這些扇形內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字2，5，5，3，指針的位置固定．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，計(jì)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的分割線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率是
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率．
20．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，P，N，Q分別在OA，OB，OC，OD上，連接而成的四邊形MPNQ是矩形，且AM=BP=CN=DQ．求證：四邊形ABCD是矩形．
21．（9分）在一個(gè)不透明的箱子中裝有形狀、大小均一樣的小球，其中紅色小球有3個(gè)，藍(lán)色小球有1個(gè)．
（1）從箱子中任意摸出兩個(gè)小球，利用樹狀圖或表格求兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率；
（2）將摸出的小球全部放回后，又放入n個(gè)藍(lán)色小球，搖晃均勻后任意摸出一個(gè)，記下顏色，經(jīng)過大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色小球的概率約為，求n的值．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。
22．（13分）已知某平臺(tái)在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個(gè)系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價(jià)低50元，1000元購(gòu)買A系列產(chǎn)品的數(shù)量與1500元購(gòu)買B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等．按定價(jià)銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：B系列產(chǎn)品按定價(jià)銷售，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣10件．
（1）A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價(jià)各是多少？
（2）為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？
23．（14分）【材料背景】在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本第22頁(yè)的一道習(xí)題“如圖1（習(xí)題圖簡(jiǎn)化后），A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉(cāng)庫(kù)P和Q分別位于AD和DC上，且PD=QC．證明兩條直路BP=AQ且BP⊥AQ．”為背景開展數(shù)學(xué)探究．
（1）【獨(dú)立思考】將課本習(xí)題條件中的PD=QC去掉，將結(jié)論中的BP⊥AQ變?yōu)闂l件，其他條件不變，那么BP=AQ還成立嗎？請(qǐng)寫出答案并說(shuō)明理由．
（2）【合作交流】“祖沖之”小組的同學(xué)受此問題的啟發(fā)提出：如圖2，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作EF⊥GH，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的對(duì)邊AD，BC上，點(diǎn)G，H分別在正方形的對(duì)邊AB，CD上，那么EF與GH相等嗎？請(qǐng)寫出答案并說(shuō)明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】“楊輝”小組的同學(xué)受“祖沖之”小組的啟發(fā)，進(jìn)一步拓展探究：如圖3，將邊長(zhǎng)為10cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A落在DC的中點(diǎn)E處，折痕為MN，點(diǎn)N在BC邊上，點(diǎn)M在AD邊上．請(qǐng)先畫出折痕，并求折痕MN與線段DM的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年廣東省河源市紫金縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．四邊相等B．對(duì)角線相等
C．對(duì)角相等D．鄰角互補(bǔ)
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
【答案】A
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．
【解答】解：A、四邊相等，故本選項(xiàng)符合題意；
B、對(duì)角線相等，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、對(duì)角相等，矩形具有；
D、鄰角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．C．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程；
B．方程x5+3＝是分式方程；
C．方程x5﹣2y+4＝2是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；
D．方程x2﹣2x+2＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
3．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），菱形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣2）
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【答案】B
【分析】由菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合條件可求得點(diǎn)C點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵A的坐標(biāo)為（﹣3，2），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2），
故選：B．
4．（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（ ）
A．0.46B．0.50C．0.55D．0.61
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率．
【答案】B
【分析】利用大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)該事件發(fā)生的概率直接回答即可．
【解答】解：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時(shí)，落在“心形線”內(nèi)部的頻率穩(wěn)定在0.50附近，
則估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為0.50．
故選：B．
5．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，則m2+m+2025的值為（ ）
A．2021B．2025C．2029D．2030
【考點(diǎn)】一元二次方程的解．
【答案】C
【分析】由x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，可得m2+m﹣4＝0，進(jìn)而可得m2+m＝4，然后整體代入所求的式子當(dāng)中求值即可．
【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣4＝5的根，
∴m2+m﹣4＝3，
∴m2+m＝4，
∴m3+m+2025
＝（m2+m）+2025
＝4+2025
＝2029．
故選：C．
6．（3分）通常情況下無(wú)色酚酞試液遇酸性溶液（或中性溶液）不變色，遇堿性溶液變?yōu)榧t色．實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有四瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液，已知這四種溶液分別是a．鹽酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性）（呈堿性），d．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學(xué)生小剛同時(shí)任選兩瓶溶液用無(wú)色酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，先畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求得兩瓶溶液恰好都變紅色的概率．
【解答】解：樹狀圖如下所示，
由上可得，一共有12種等可能性，
∴兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為＝，
故選：C．
7．（3分）已知，則代數(shù)式的值為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．
【答案】C
【分析】將變形為，再把已知整體代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵，
∴＝+1＝．
故選：C．
8．（3分）“村BA”賽區(qū)預(yù)選賽規(guī)定每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽15場(chǎng)．設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意下面列出的方程正確的是（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝15D．x（x+1）＝15
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【答案】A
【分析】利用比賽的總場(chǎng)數(shù)＝參加比賽的班級(jí)球隊(duì)數(shù)×（參加比賽的班級(jí)球隊(duì)數(shù)﹣1）÷2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：．
故選：A．
9．（3分）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（ ）
A． cm2B．cm2C． cm2D．（）ncm2
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為n﹣1陰影部分的和．
【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，
5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，
n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n﹣1）＝．
故選：B．
10．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜2B．a(chǎn)＜5且a≠2C．a(chǎn)＜6且a≠2D．a(chǎn)＜6
【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．
【答案】C
【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0，即可求出答案．
【解答】解：由題意得，Δ＝（﹣4）2﹣7（a﹣2）＞0，
解得，a＜7，
∵a≠2，
∴a＜6且a≠2．
故選：C．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。
11．（3分）已知a，b，c，d是成比例線段，且a＝1，c＝3，那么d＝ 6 ．
【考點(diǎn)】比例線段．
【答案】6．
【分析】根據(jù)成比例線段的定義得到或，代入數(shù)值求解即可．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，
∴或，
∵a＝1，b＝2，
∴或，
解得：d＝2，
故答案為：6．
12．（3分）若菱形的兩條對(duì)角線分別為10cm，12cm，則它的面積是 60 cm2．
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．
【答案】60．
【分析】根據(jù)菱形的面積的關(guān)于對(duì)角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：由題意，得：菱形的面積為4）；
故答案為：60．
13．（3分）如圖是某路口的部分通行路線示意圖，一輛車從入口A駛?cè)耄兄撩總€(gè)岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同 ．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【答案】．
【分析】畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該車從F口駛出的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中該車從F口駛出的結(jié)果有1種，
∴該車從F口駛出的概率為．
故答案為：．
14．（3分）如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來(lái)．若AB＝26cm 13 cm．
【考點(diǎn)】確定圓的條件．
【答案】13．
【分析】連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長(zhǎng)，畫出的圓的半徑就是OP長(zhǎng)．
【解答】解：連接OP，
∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OP＝AB，
∵AB＝26cm，
∴OP＝13cm，
故答案為：13．
15．（3分）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為30m，寬為20m的矩形花園，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為 1 米．
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝7．
解得，x1＝1，x6＝34．
∵34＞30（不合題意，舍去），
∴x＝1．
答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．
故答案為：5．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。
16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝1，x2＝﹣．
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
3x（x﹣7）+4（x﹣1）＝7，
（x﹣1）（3x+3）＝0，
x﹣1＝2或3x+4＝8，
解得：x1＝1，x2＝﹣．
17．（7分）光華小區(qū)為了避免電動(dòng)車進(jìn)入小區(qū)，準(zhǔn)備修建一個(gè)電動(dòng)車棚，一邊利用長(zhǎng)為10m的墻，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1m的門，當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí)2？
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)是8m、寬是6m時(shí)，其面積為48m2．
【分析】設(shè)BC的長(zhǎng)為x m，則AB的長(zhǎng)為m，根據(jù)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的面積為48m2，列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取符合題意的值，即可解決問題．
【解答】解：設(shè)BC的長(zhǎng)為x m，則AB的長(zhǎng)為m，
根據(jù)題意得：x?＝48，
整理得：x2﹣20x+96＝6，
解得：x1＝8，x7＝12（不符合題意，舍去），
∴＝＝4，
答：當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)是8m、寬是6m時(shí)6．
18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，求證：DE＝DF．
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】見解析．
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE與△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，
即DE＝DF．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。
19．（9分）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成4個(gè)相同的扇形，這些扇形內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字2，5，5，3，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，計(jì)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的分割線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率是 ；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算；
（2）先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．
【解答】解：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率＝；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)為6種，
所以這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率＝＝．
20．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P，N，Q分別在OA，OB，OD上，連接而成的四邊形MPNQ是矩形
【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)．
【答案】證明見解答過程．
【分析】由四邊形MPNQ是矩形推導(dǎo)出∠MPN＝90°；OM＝OP＝ON＝OQ，進(jìn)一步得到OA＝OB＝OC＝OD，即可解決問題．
【解答】證明：∵四邊形MPNQ是矩形，
∴∠MPN＝90°，OM＝OP＝ON＝OQ，
∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四邊形MPNQ是矩形．
21．（9分）在一個(gè)不透明的箱子中裝有形狀、大小均一樣的小球，其中紅色小球有3個(gè)，藍(lán)色小球有1個(gè)．
（1）從箱子中任意摸出兩個(gè)小球，利用樹狀圖或表格求兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率；
（2）將摸出的小球全部放回后，又放入n個(gè)藍(lán)色小球，搖晃均勻后任意摸出一個(gè)，經(jīng)過大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色小球的概率約為
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；列表法與樹狀圖法．
【答案】（1）．
（2）5．
【分析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可；
（2）根據(jù)概率公式列出關(guān)于n的方程，解之即可．
【解答】解：（1）列表如下：
由表知，共有12種等可能結(jié)果，
所以兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率為＝，
（2）根據(jù)題意，得：＝，
解得n＝7，
經(jīng)檢驗(yàn)n＝5是分式方程的解，
∴n＝5，
答：n的值為5．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。
22．（13分）已知某平臺(tái)在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個(gè)系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價(jià)低50元，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元
（1）A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價(jià)各是多少？
（2）為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用．
【答案】（1）A系列產(chǎn)品的售價(jià)是100元/件，B系列產(chǎn)品的售價(jià)是150元/件；
（2）B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為80元/件．
【分析】（1）設(shè)A系列產(chǎn)品的售價(jià)是x元/件，則B系列產(chǎn)品的售價(jià)是（x+50）元/件，根據(jù)1000元購(gòu)買A系列產(chǎn)品的數(shù)量與1500元購(gòu)買B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件，則每天可以賣（2000﹣10y）件，根據(jù)B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)A系列產(chǎn)品的售價(jià)是x元/件，則B系列產(chǎn)品的售價(jià)是（x+50）元/件，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝100，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是所列方程的解，
∴x+50＝100+50＝150，
答：A系列產(chǎn)品的售價(jià)是100元/件，B系列產(chǎn)品的售價(jià)是150元/件；
（2）設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件，則每天可以賣500+10（150﹣y）＝（2000﹣10y）（件），
根據(jù)題意得：y（2000﹣10y）＝96000，
整理得：y2﹣200y+9600＝0，
解得：y5＝80，y2＝120（不符合題意，舍去），
答：B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為80元/件．
23．（14分）【材料背景】在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本第22頁(yè)的一道習(xí)題“如圖1（習(xí)題圖簡(jiǎn)化后），A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉(cāng)庫(kù)P和Q分別位于AD和DC上
（1）【獨(dú)立思考】將課本習(xí)題條件中的PD＝QC去掉，將結(jié)論中的BP⊥AQ變?yōu)闂l件，其他條件不變
（2）【合作交流】“祖沖之”小組的同學(xué)受此問題的啟發(fā)提出：如圖2，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作EF⊥GH，F(xiàn)分別在正方形的對(duì)邊AD，BC上，H分別在正方形的對(duì)邊AB，CD上
（3）【拓展應(yīng)用】“楊輝”小組的同學(xué)受“祖沖之”小組的啟發(fā)，進(jìn)一步拓展探究：如圖3，將邊長(zhǎng)為10cm的正方形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)N在BC邊上，并求折痕MN與線段DM的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）BP＝AQ，理由見解答；
（2）EF＝GH，理由見解答；
（3）MN＝5cm，線段DM的長(zhǎng)為cm．
【分析】（1）根據(jù)BP⊥AQ可求出∠APB＝∠AQD，再由AB＝AD，∠BAP＝∠ADQ＝90°，可證明△ABP≌△DAQ，則結(jié)論得出；
（2）可通過構(gòu)建與已知條件相關(guān)的三角形來(lái)求解．作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，那么BM＝EF，AN＝GH，（1）中我們已證得△ABM、△DAN全等，那么BM＝AN，則EF＝GH；
（3）利用勾股定理求出AE長(zhǎng)，由（2）可知MN＝AE，設(shè)DM＝x cm，則AM＝ME＝（10﹣x）cm．將所有未知量轉(zhuǎn)化到直角三角形DME中，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）BP＝AQ，理由如下：
如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠D＝90°，
∵BP⊥AQ，
∴∠AOP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，
又∵AB＝AD，∠BAP＝∠QDA＝90°，
∴△ABP≌△DAQ（AAS），
∴BP＝AQ；
（2）EF＝GH，理由如下：
如圖2，作BM∥EF交AD于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AGHN四邊形BMEF都是平行四邊形，
∴BM＝EF，AN＝GH，
由（1）知，BM＝AN，
∴EF＝GH；
（3）如圖8，連接EM，
∵E為DC的中點(diǎn)，DC＝10cm，
∴DE＝5cm，
∴AE＝＝5，
由折疊得：點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于MN對(duì)稱，
∴MN⊥AE，AM＝EM，
由（2）可知：MN＝AE＝6cm，
設(shè)DM＝x cm，則AM＝ME＝（10﹣x）cm，
在Rt△DME中，DM2+DE8＝ME2，
即x2+72＝（10﹣x）2，
解得x＝，
∴線段DM的長(zhǎng)為cm試驗(yàn)總次數(shù)
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù)
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形線”內(nèi)部的頻率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
試驗(yàn)總次數(shù)
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù)
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形線”內(nèi)部的頻率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
紅
紅
紅
藍(lán)
紅
（紅，紅）
（紅，紅）
（藍(lán)，紅）
紅
（紅，紅）
（紅，紅）
（藍(lán)，紅）
紅
（紅，紅）
（紅，紅）
（藍(lán)，紅）
藍(lán)
（紅，藍(lán)）
（紅，藍(lán)）
（紅，藍(lán)）

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