1．（3分）下列各數(shù)中，為無(wú)理數(shù)的是（ ）
A．B．2.5C．0D．π
2．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2024B．x≥2024C．x＜2024D．x≤2024
3．（3分）下列二次根式化簡(jiǎn)后，與不是同類(lèi)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．5，7，10B．3，4，5C．5，12，13D．
5．（3分）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（ ）
①y＝3x；②y＝x2+2；③y＝2x+1；④．
A．②④B．②③C．①③D．①②
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，m2+1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（3分）已知，則m的小數(shù)部分是（ ）
A．B．C．D．4
8．（3分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn)．螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（ ）
A．cmB．4cmC．cmD．5cm
9．（3分）已知直線l1：y＝﹣kx+b與直線l2：y＝3kx﹣b在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）環(huán)海公路旁依次有A，B，C三個(gè)景點(diǎn)，小明和小紅騎自行車(chē)分別從景點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)勻速前往景點(diǎn)C（到了景點(diǎn)C不繼續(xù)往前騎行，也不返回）．如圖所示，l1，l2分別表示小明和小紅與景點(diǎn)B的距離s（km）和騎行時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系．有下列結(jié)論：①A，B兩個(gè)景點(diǎn)相距12km；②小明每小時(shí)比小紅多騎行8km；③出發(fā)1.5h后兩人相遇；④圖中a＝1.65．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。
11．（3分）比較大小： 5（填“＞”或“＜”）．
12．（3分）如圖，面積為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為﹣1，若AB＝AE，則數(shù)軸上點(diǎn)E所表示的數(shù)為 ．
13．（3分）將直線y＝5x+1向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新直線的解析式是 ．
14．（3分）已知點(diǎn)P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則（a+b）2024的值為 ．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M（1，8）與點(diǎn)N（m，8）之間的距離是5，則m的值是 ．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。
16．（7分）計(jì)算：．
17．（7分）如圖是小明所在學(xué)校的平面示意圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，已知實(shí)驗(yàn)樓的位置是（﹣4，2），行政樓的位置是（3，﹣3）．
（1）根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系；
（2）分別用坐標(biāo)表示出餐廳、藝術(shù)樓的位置；
（3）若學(xué)校宿舍樓的位置是（﹣5，4），音樂(lè)樓的位置是（﹣4，﹣4），在圖中標(biāo)出它們的位置．
18．（7分）小明作為藍(lán)信封行動(dòng)的通信志愿者，有一次制作了一張面積為81cm2的正方形明信片想寄給對(duì)接的鄉(xiāng)村小朋友．已知信封的長(zhǎng)、寬之比為5：3，面積為150cm2．
（1）求長(zhǎng)方形信封的長(zhǎng)和寬；
（2）判斷小明能否將這張明信片不折疊就放入此信封，并說(shuō)明理由．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。
19．（9分）如圖，6×6網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由．
20．（9分）已知2a+1的立方根是﹣5，a+2b的算術(shù)平方根是3，c是的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+2b+c的平方根．
21．（9分）小英在家里整理內(nèi)務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：把一些相同規(guī)格的塑料凳子整齊地疊放在水平地面上，這摞塑料凳子的高度隨著凳子的數(shù)量變化有一定的關(guān)系．于是小英對(duì)凳子的高度進(jìn)行測(cè)量，具體變化的情況如下表所示：
（1）上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
（2）用h（cm）表示這摞凳子的高度，x（個(gè)）表示這摞凳子的數(shù)量，請(qǐng)寫(xiě)出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)這摞凳子的高度為105cm時(shí)，求這摞凳子的數(shù)量．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。
22．（13分）甲騎電動(dòng)車(chē)，乙騎自行車(chē)從深圳灣公園門(mén)口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，設(shè)乙行駛的時(shí)間為x（h），甲、乙兩人距出發(fā)點(diǎn)的路程S甲、S乙關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖①所示，甲、乙兩人之間的路程差y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）對(duì)比圖①、圖②可知：a＝ ，b＝ ；
（3）乙出發(fā)多少時(shí)間，甲、乙兩人路程差為7.5km？
23．（14分）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即ab×4+（b﹣a）2，從而得到等式c2＝ab×4+（b﹣a）2，化簡(jiǎn)便得出結(jié)論a2+b2＝c2．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．
【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩．某數(shù)學(xué)愛(ài)好者構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了以下證法：把兩個(gè)全等的直角三角形ABC和直角三角形DEA按如圖2所示放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，顯然BC⊥AD．
（1）請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再利用這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2＝c2；
【方法遷移】
（2）如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到△ABC，則AB邊上的高為 ；
（3）如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．
2024-2025學(xué)年廣東省河源市紫金縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（3分）下列各數(shù)中，為無(wú)理數(shù)的是（ ）
A．B．2.5C．0D．π
【答案】D
【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．
【解答】解：A、是分?jǐn)?shù)，不是無(wú)理數(shù)，不符合題意；
B、2.5是小數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，不符合題意；
C、0是整數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，不符合題意；
D、π是無(wú)理數(shù)，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡得到的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
2．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2024B．x≥2024C．x＜2024D．x≤2024
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)不小于零的條件和分母不為零的條件進(jìn)行解題即可．
【解答】解：由題可知，
x﹣2024≥0且x≠0，
解得x≥2024．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）下列二次根式化簡(jiǎn)后，與不是同類(lèi)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義進(jìn)行解題即可．
【解答】解：A、＝與是同類(lèi)二次根式，故A不正確；
B、＝2與不是同類(lèi)二次根式，故B正確；
C、＝4與是同類(lèi)二次根式，故C不正確；
D、＝2是同類(lèi)二次根式，故D不正確；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類(lèi)二次根式、二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．5，7，10B．3，4，5C．5，12，13D．
【答案】A
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【解答】解：A、52+72≠102，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、32+42＝52，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、52+122＝132，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、12+（）2＝22，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，正確驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（ ）
①y＝3x；②y＝x2+2；③y＝2x+1；④．
A．②④B．②③C．①③D．①②
【答案】C
【分析】根據(jù)是一次函數(shù)的定義逐一判斷即可．
【解答】解：①y＝3x是一次函數(shù)；
②y＝x2+2是二次函數(shù)；
③y＝2x+1是一次函數(shù)；
④y＝是反比例函數(shù)，
所以①③是一次函數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)，熟練掌握是一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，m2+1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】依據(jù)m2+1＞0，即可得出點(diǎn)P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴點(diǎn)P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征和平方的非負(fù)性，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）已知，則m的小數(shù)部分是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義得到＝3，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)的大小，進(jìn)而得到3+的大小即可．
【解答】解：m＝+＝3+，
∵1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
∴3+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分為3+﹣4＝﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn)．螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（ ）
A．cmB．4cmC．cmD．5cm
【答案】C
【分析】正方體側(cè)面展開(kāi)為長(zhǎng)方形，確定螞蟻爬行的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出最短路徑長(zhǎng)，
【解答】解：如圖，
它運(yùn)動(dòng)的最短路程AB＝＝（cm）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是知道兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出答案．
9．（3分）已知直線l1：y＝﹣kx+b與直線l2：y＝3kx﹣b在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)的圖象逐一分析系數(shù)符號(hào)即可解決．
【解答】解：A、直線l1：y＝﹣kx+b中k＜0，b＞0，l2：y＝3kx﹣b中k＞0，b＜0，b的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、直線l1：y＝﹣kx+b中k＜0，b＞0，l2：y＝3kx﹣b中k＜0，b＞0，k、b的取值一致，故本選項(xiàng)符合題意；
C、直線l1：y＝﹣kx+b中k＞0，b＞0，l2：y＝3kx﹣b中k＜0，b＞0，k的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、直線l1：y＝﹣kx+b中k＞0，b＜0，l2：y＝3kx﹣b中k＞0，b＞0，b的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵．
10．（3分）環(huán)海公路旁依次有A，B，C三個(gè)景點(diǎn)，小明和小紅騎自行車(chē)分別從景點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)勻速前往景點(diǎn)C（到了景點(diǎn)C不繼續(xù)往前騎行，也不返回）．如圖所示，l1，l2分別表示小明和小紅與景點(diǎn)B的距離s（km）和騎行時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系．有下列結(jié)論：①A，B兩個(gè)景點(diǎn)相距12km；②小明每小時(shí)比小紅多騎行8km；③出發(fā)1.5h后兩人相遇；④圖中a＝1.65．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】由圖象直接得到AB間的距離，即可判斷選項(xiàng)①；分別求得小明、小紅的速度，然后相減即可得解選項(xiàng)②；設(shè)出發(fā)m h后兩人相遇，依題意得到20（m﹣0.6）＝12m，解答即可判斷③；把兩段時(shí)間相加即可得解．
【解答】解：由圖象可得，
A，B兩村相距12km，
故①正確，符合題意；
小明的速度為：12÷0.6＝20（km/h），小紅的速度為：33÷2.75＝12（km/h），
則小明每小時(shí)比小紅多騎行20﹣12＝8（km/h），
故②正確，符合題意；
設(shè)出發(fā)m h后兩人相遇，
則20（m﹣0.6）＝12m，
解得m＝1.5，
即出發(fā)1.5h后兩人相遇，
故③正確，符合題意；
a＝0.6+33÷20＝2.25，
故④錯(cuò)誤，不符合題意，
∴正確的結(jié)論是①②③；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。
11．（3分）比較大?。?＜ 5（填“＞”或“＜”）．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】先估算出的范圍，即可得出答案．
【解答】解：∵5＝，
∴4＜＜5，
∴＜5，
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和算術(shù)平方根，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，面積為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為﹣1，若AB＝AE，則數(shù)軸上點(diǎn)E所表示的數(shù)為 ．
【答案】．
【分析】先求出AB的長(zhǎng)，再求E的坐標(biāo)．
【解答】解：∵正方形ABCD的面積為2，
∴AB＝．
∴AE＝AB＝．
∵A的坐標(biāo)為﹣1，E在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴E的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸．解題關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)為．
13．（3分）將直線y＝5x+1向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新直線的解析式是 y＝5x+7 ．
【答案】y＝5x+7．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則“上加下減”，即可得出直線平移后的解析式．
【解答】解：將直線y＝5x+1向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新直線的解析式是y＝5x+1+6，即y＝5x+7．
故答案為：y＝5x+7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)平移的規(guī)則“上加下減”．
14．（3分）已知點(diǎn)P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則（a+b）2024的值為 1 ．
【答案】1．
【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，由此可得a﹣1＝﹣（﹣2）＝2，b﹣1＝﹣5，可得a＝3，b＝﹣4，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴a﹣1＝﹣（﹣2）＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2024＝（﹣1）2024＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M（1，8）與點(diǎn)N（m，8）之間的距離是5，則m的值是 6或﹣4 ．
【答案】6或﹣4．
【分析】根據(jù)M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可以判斷MN平行于x軸，且MN之間距離是5，可以得出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出m的值．
【解答】解：∵點(diǎn)M（1，8）與點(diǎn)N（m，8），
∴MN∥x軸，
∵M(jìn)N＝5，
∴1+5＝6，1﹣5＝﹣4，
∴N（﹣4，8）或（6，8），
∴m的值為6或﹣4．
故答案為：6或﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】題目考查了平面直角坐標(biāo)系中利用兩點(diǎn)之間的距離求點(diǎn)的坐標(biāo)，題目相對(duì)較為簡(jiǎn)單，但是本題有兩種情況，不要遺漏m的解．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。
16．（7分）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根、絕對(duì)值、立方根、再計(jì)算加減法即可．
【解答】解：
＝，
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
17．（7分）如圖是小明所在學(xué)校的平面示意圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，已知實(shí)驗(yàn)樓的位置是（﹣4，2），行政樓的位置是（3，﹣3）．
（1）根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系；
（2）分別用坐標(biāo)表示出餐廳、藝術(shù)樓的位置；
（3）若學(xué)校宿舍樓的位置是（﹣5，4），音樂(lè)樓的位置是（﹣4，﹣4），在圖中標(biāo)出它們的位置．
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析過(guò)程；
（2）餐廳（4，4），藝術(shù)樓（﹣2，﹣1）；
（3）作圖見(jiàn)解析過(guò)程．
【分析】（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)樓和行政樓的坐標(biāo)，確定原點(diǎn)，再畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系即可；
（2）根據(jù)（1）中建立的平面直角坐標(biāo)系，即可解答；
（3）根據(jù)坐標(biāo)，再圖中標(biāo)出即可．
【解答】解：（1）如圖1所示：
（2）由圖可知：餐廳（4，4），藝術(shù)樓（﹣2，﹣1）；
（3）宿舍樓和音樂(lè)樓的位置如圖所示．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．
18．（7分）小明作為藍(lán)信封行動(dòng)的通信志愿者，有一次制作了一張面積為81cm2的正方形明信片想寄給對(duì)接的鄉(xiāng)村小朋友．已知信封的長(zhǎng)、寬之比為5：3，面積為150cm2．
（1）求長(zhǎng)方形信封的長(zhǎng)和寬；
（2）判斷小明能否將這張明信片不折疊就放入此信封，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）cm，cm；
（2）小明能將明信片不折疊就放入此信封，理由見(jiàn)解答過(guò)程．
【分析】（1）依題意設(shè)信封的長(zhǎng)是5x cm，寬是3x cm，根據(jù)信封的面積是150cm2列出方程，解出x即可得出信封的長(zhǎng)和寬；
（2）先求出正方形明信片的邊長(zhǎng)是9cm，根據(jù)＞9即可得出答案．
【解答】解：（1）∵信封的長(zhǎng)、寬之比為5：3，
∴設(shè)信封的長(zhǎng)是5x cm，寬是3x cm，
又∵信封的面積是150cm2，
∴5x?3x＝150，
解得：x＝，或x＝（不合題意，舍去），
∴5x＝cm，3x＝cm，
答：信封的長(zhǎng)是cm，寬是cm．
（2）小明能將明信片不折疊就放入此信封，理由如下：
∵正方形明信片的面積是81cm2，
∴正方形明信片的邊長(zhǎng)是9cm，
∵，
∴小明能將明信片不折疊就放入此信封．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，比的應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。
19．（9分）如圖，6×6網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）AB＝ ，BC＝ ，AC＝ 5 ；
（2）△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由．
【答案】（1），，5；
（2）直角三角形．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解．
（2）直接把三邊長(zhǎng)度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)AB2+BC2＝AC2即可判定三角形的形狀；
【解答】解：（1）由題可知，AB＝＝；
AC＝＝5
BC＝＝，
故答案為：，，5；
（2）直角三角形，
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25；
∴AB2+BC2＝AC2；
∴△ABC為直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（9分）已知2a+1的立方根是﹣5，a+2b的算術(shù)平方根是3，c是的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a+2b+c的平方根．
【答案】（1）a＝﹣63，b＝36，c＝3；
（2）±2．
【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義可確定a、b的值，由算術(shù)平方根的定義可估算無(wú)理數(shù)的大小，進(jìn)而確定c的值；
（2）代入求出a+2b+c的值，再求其平方根．
【解答】解：（1）∵2a+1的立方根是﹣5，
∴2a+1＝（﹣5）3，
解得a＝﹣63，
又∵a+2b的算術(shù)平方根是3，
∴a+2b＝9，而a＝﹣63，
∴b＝36，
∵3＜＜4，而c是的整數(shù)部分，
∴c＝3，
答：a＝﹣63，b＝36，c＝3；
（2）∵a＝﹣63，b＝36，c＝3，
∴a+2b+c＝﹣63+72+3＝12，
∴a+5b+c的平方根＝±2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查立方根、平方根、算術(shù)平方根以及估算無(wú)理數(shù)的大小，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是掌正確解答的關(guān)鍵．
21．（9分）小英在家里整理內(nèi)務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：把一些相同規(guī)格的塑料凳子整齊地疊放在水平地面上，這摞塑料凳子的高度隨著凳子的數(shù)量變化有一定的關(guān)系．于是小英對(duì)凳子的高度進(jìn)行測(cè)量，具體變化的情況如下表所示：
（1）上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
（2）用h（cm）表示這摞凳子的高度，x（個(gè)）表示這摞凳子的數(shù)量，請(qǐng)寫(xiě)出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)這摞凳子的高度為105cm時(shí)，求這摞凳子的數(shù)量．
【答案】（1）凳子的數(shù)量是自變量，高度是因變量；（2）h＝5x+45；（3）12個(gè)．
【分析】（1）根據(jù)表格中列舉的變量即可求解；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律求解即可；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式，把h＝105cm代入求解即可．
【解答】解：（1）通過(guò)表格所列舉的變量可知，凳子的數(shù)量是自變量，高度是因變量；
（2）由表格中兩個(gè)變量的變化關(guān)系可得，
h＝50+5（x﹣1）＝5x+45，
即h＝5x+45；
（3）當(dāng)h＝105cm時(shí)，即5x+45＝105，
解得x＝12，
答：當(dāng)這摞凳子的高度為105cm時(shí)，凳子的數(shù)量為12個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的表示方法，常量與變量、函數(shù)關(guān)系式，掌握相應(yīng)的定義是關(guān)鍵．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。
22．（13分）甲騎電動(dòng)車(chē)，乙騎自行車(chē)從深圳灣公園門(mén)口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，設(shè)乙行駛的時(shí)間為x（h），甲、乙兩人距出發(fā)點(diǎn)的路程S甲、S乙關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖①所示，甲、乙兩人之間的路程差y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：
（1）甲的速度是 25 km/h，乙的速度是 10 km/h；
（2）對(duì)比圖①、圖②可知：a＝ 10 ，b＝ 1.5 ；
（3）乙出發(fā)多少時(shí)間，甲、乙兩人路程差為7.5km？
【答案】（1）25，10；
（2）10；1.5；
（3）h或h．
【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得甲乙的速度；
（2）根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以分別得到a、b的值；
（3）由圖象可知甲乙相距7.5km有兩種情況，然后分別計(jì)算兩種情況下乙出發(fā)的時(shí)間即可解答本題．
【解答】解：（1）由圖可得，
甲的速度為：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度為：25÷2.5＝10（km/h），
故答案為：25，10；
（2）由圖可得，
a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，
b＝1.5，
故答案為：10；1.5；
（3）由題意可得，
前0.5h，乙行駛的路程為：10×0.5＝5＜7.5，
則甲、乙兩人路程差為7.5km是在甲乙相遇之后，
設(shè)乙出發(fā)xh時(shí)，甲、乙兩人路程差為7.5km，
25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，
解得，x＝，
25﹣10x＝7.5，得x＝；
即乙出發(fā)或時(shí)，甲、乙兩人路程差為7.5km．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23．（14分）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即ab×4+（b﹣a）2，從而得到等式c2＝ab×4+（b﹣a）2，化簡(jiǎn)便得出結(jié)論a2+b2＝c2．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．
【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩．某數(shù)學(xué)愛(ài)好者構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了以下證法：把兩個(gè)全等的直角三角形ABC和直角三角形DEA按如圖2所示放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，顯然BC⊥AD．
（1）請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再利用這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2＝c2；
【方法遷移】
（2）如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到△ABC，則AB邊上的高為 ；
（3）如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；
（2）；
（3）．
【分析】（1）表示出三個(gè)圖形的面積進(jìn)行加減計(jì)算可證a2+b2＝c2；
（2）計(jì)算出△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高；
（3）運(yùn)用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可．
【解答】（1）證明：∵S四邊形ABCD＝c2，S梯形AEDC＝（b+a）b，，S四邊形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：設(shè)AB邊上的高為h，則：
，，
∴，
∴，
即AB邊上的高是，
故答案為：；
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
∵BD+CD＝BC＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明，三角形的面積，利用面積證明勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/26 1:29:09；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264凳子的數(shù)量/個(gè)
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