九年級數(shù)學
本試卷共6頁，25小題，滿分120分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的準考證號、姓名和學校填寫在答題卡上．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，根據(jù)定義即可做出判斷．
【詳解】解：A．，未知數(shù)最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故選項不符合題意；
B．是一元二次方程，故選項符合題意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，故選項不符合題意；
D．含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 一個菱形的兩條對角線的長分別是4和6，這個菱形的面積是（ ）．更多優(yōu)質(zhì)滋元可 家 威杏 MXSJ663 A. 6B. 10C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．
【詳解】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為4和6，
∴這個菱形的面積=×4×6=12．
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形面積公式．
3. 如圖，下列條件中，不能使成為菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的判定，運用其判定定理逐一判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
B、四邊形是平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
C、四邊形平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
D、四邊形是平行四邊形，且，
是矩形，不能判定是菱形，故符合題意，
故選D．
4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解題時首先進行移項，變形成，兩邊同時加上4，則把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
【詳解】解：
∴
∴
∴
故選：D．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)移項到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
5. 如圖，在中，，點D是AB的中點，連接CD，若，，則CD的長度是（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得．
【詳解】解：在中，，，，
，
點是的中點，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．
6. 在不透明布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球，其中白球有60個．同學們通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋中紅球個數(shù)約為（ ）
A. 15個B. 20個C. 25個D. 30個
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)頻率估計概率問題可直接進行求解．
【詳解】∵通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，
∴摸到紅色球的概率為0.25，
∵布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球兩種，
∴摸到白色球的概率為，
∵有白色球60個，
∴球的總個數(shù)為：，
∴紅球個數(shù)約為，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查頻率估計概率，熟練掌握利用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵．
7. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（ ）
A B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴．
解得：．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
8. 為了學習宣傳黨的二十大精神，某校學生宣講團赴社區(qū)宣講．現(xiàn)從2名男生1名女生中任選2人，則恰好選中1名男生1名女生的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到恰好選中1名男生1名女生的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】解：兩名男生用A、B表示，女生用C表示，列表如下：
由表格可知，一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1名男生1名女生的結(jié)果數(shù)有4種，
∴恰好選中1名男生1名女生的概率為，
故選A．
【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．
9. 某校在操場東邊開發(fā)出一塊長、寬分別為、的矩形菜園（如圖），作為勞動教育系列課程的實驗基地之一．為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，剩下的用于種植，且種植面積為．設(shè)小道的寬為，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由小道的寬為米，可得出種植菜園的部分可合成長為米，寬為米的長方形，再根據(jù)種植面積為96平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：小道的寬為米，
種植菜園的部分可合成長為米，寬為米的長方形．
依題意得：．
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在正方形中，，相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊上的動點（點E，F(xiàn)不與線段的端點重合）且，連接．在點E，F(xiàn)運動的過程中，有下列四個結(jié)論：①始終是等腰直角三角形；②面積的最小值是2；③至少存在一個，使得的周長是；④四邊形的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性質(zhì)，勾股定理可求，證明，則，，由，可判斷始終是等腰直角三角形，可判斷①的正誤；由勾股定理得，，根據(jù)，可知當最小，即時，最小，證明，是等腰直角三角形，則，，可求最小值，進而可判斷②的正誤；根據(jù)，可得，則的周長為，存在，進而可判斷③的正誤；
由題意知，，進而可判斷④的正誤，然后作答即可．
【詳解】解：∵正方形，為對角線，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，解得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴始終是等腰直角三角形，①正確，故符合要求；
∴，
∵，
∴當最小，即時，最小，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴最小為，②正確，故符合要求；
∴，
∴，
∵的周長為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴存在，
∴至少存在一個，使得的周長是，③正確，故符合要求；
由題意知，，
∴四邊形的面積始終是4，④正確，故符合要求；
故選：D．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，無理數(shù)的估算等知識．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)確定線段長度，角度；由勾股定理確定線段之間的數(shù)量關(guān)系；由等腰三角形的判定與性質(zhì)，確定線段之間的等量關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)，確定線段、面積的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)無理數(shù)的估算確定線段長度的取值范圍．
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11. 一元二次方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】化這一般形式，運用因式分解法求解；
【詳解】解：，
∴，．
故答案為：，
【點睛】本題考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DG=EF．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是______．（寫出一個即可）
【答案】或
【解析】
【分析】由DE是中位線得出，又DG=EF表示的是對角線相等，根據(jù)：對角線相等的平行四邊形是矩形；增加條件使四邊形DFGE是平行四邊形即可．
【詳解】解：分別是的中點，
，
當時，四邊形DFGE是平行四邊形，
，
四邊形DFGE是矩形；
當時，四邊形DFGE平行四邊形，
，
四邊形DFGE是矩形；
故答案為：或．
【點睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的判定，根據(jù)：對角線相等的平行四邊形是矩形；準確分析出平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
13. 做任意拋擲一只紙杯的重復試驗，記錄杯口朝上的次數(shù)，獲得如下數(shù)據(jù)：
估計任意拋擲一只紙杯，杯口朝上的概率是________.
【答案】0.22
【解析】
【詳解】解：∵21÷100=0.21；
32÷150≈0.21；
44÷200=0.22；
66÷300=0.22，
∴估計任意拋擲一只紙杯，杯口朝上的概率是0.22，
故答案為0.22．
14. 如圖，菱形對角線相交于點O，，則菱形的邊長為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直及勾股定理即可求解．
【詳解】解：依題意可知，，
，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的對角線垂直．
15. 已知實數(shù)，是方程的兩根，則的值為______．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=1，ab=-1，再根據(jù)異分母分式加減法法則進行計算代入求值.
【詳解】∵，是方程的兩根，
∴a+b=1，ab=-1，
∴
=
=
=-1，
故答案為：-1.
【點睛】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，異分母分式的加減法計算法則.
16. 如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4，1，將正方形繞點A旋轉(zhuǎn)，連接，點M是的中點，連接，則線段的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，取的中點O，連接，則易得．由于O點時定點，的長為定值，由此可得M點的運動軌跡是以O(shè)點為圓心，以為半徑的圓．當過圓心時，的值最大，求出的長，再加上的長，即可得的最大值．
【詳解】
如圖，連接，取的中點O，連接
∵正方形的邊長分別為1，
．
∵O是的中點，M是的中點，
，
∴M點的運動軌跡是以O(shè)點為圓心，以為半徑的圓．
連接并延長交于H點，
當M點運動到H點時，的值最大．
∵正方形的邊長分別為4，
，
，
，
，
即CM的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、勾股定理、動點軌跡問題，以及圓外一點到圓上各點的最值問題．見中點，想中位線．找到M點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【詳解】試題分析：利用公式法解方程即可.
試題解析：
．
．
=12．
．
．
．
∴方程的解為．
18. 如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，連接，．
求證：．

【答案】見解析
【解析】
【分析】如圖，連接，證明，即可得．
【詳解】證明：如圖，連接．

∵四邊形是菱形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
19. 在一個不透明的袋子中裝有4個小球，球上分別標有，0，1，2四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．
（1）從袋中任意摸出一個球，球上標有負數(shù)的概率是____________．
（2）小明先從袋子中任意摸出一個球（不放回），小華再從袋子里摸出另一個球，如果兩球數(shù)字之差的絕對值小于或等于1，那么就稱他倆“心有靈犀”，請用列表法（或畫樹狀圖）求兩人“心有靈犀”的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式計算可得．
（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式計算即可得．
【詳解】解：（1）如果從袋中任意摸出一個小球，那么小球上的數(shù)字標有負數(shù)的概率是：
（2）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中滿足兩球數(shù)字之差的絕對值小于或等于1，有6種結(jié)果，
所以兩人“心有靈犀”的概率為
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
20. 關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求此時方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根的判別式列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可；
（2）根據(jù)m為正整數(shù)，且，得出，然后再代入得出方程為，解方程即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：
，
∵該方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴．
【小問2詳解】
解：∵m為正整數(shù)，且，
∴，
此時，方程為，
解得 ，．
【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
21. 如圖：在菱形中，對角線、交于點O，過點A作于點E，延長至點F，使，連接．

（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）證明，得出，，證明，說明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，得出四邊形為矩形．
（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，得出，即．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
【小問2詳解】
解：∵四邊形為菱形，
∴，
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定，證明．
22. 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元．為了擴大銷售，增加贏利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每件襯衫的價格每降低1元，商場每天可多售出2件．如果商場通過銷售這批襯衫每天要贏利1200元，每件襯衫的價格應(yīng)降低多少元？
【答案】每件襯衫應(yīng)降價20元
【解析】
【分析】設(shè)每件襯衫應(yīng)降價元，則每件所得利潤為元，但每天多售出件即售出件數(shù)為件，因此每天贏利為元，進而可根據(jù)題意列出方程求解．
【詳解】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價元，
根據(jù)題意得，
整理得
解得：，．
因為要擴大銷售，
故每件襯衫應(yīng)降20元．
答：每件襯衫應(yīng)降價20元．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
23. 小穎和小紅兩位同學在做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，他們共做了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：
（1）計算出現(xiàn)“3點朝上”頻率和“5點朝上”的頻率．
（2）小穎說：“根據(jù)試驗得出，出現(xiàn)‘5點朝上’的機會最大．”小紅說：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)‘6點朝上’的次數(shù)正好是100次．”小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？
【答案】（1），
（2）兩人的說法都是錯誤的，見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率的計算公式“事件A的頻率等于事件A出現(xiàn)的次數(shù)除以所有統(tǒng)計的次數(shù)”結(jié)合題目信息即可；
（2）由頻率和隨機事件發(fā)生的可能性大小由隨機事件自身的屬性即概率決定，即可判斷．
【小問1詳解】
解：出現(xiàn)“3點朝上”的頻率是．
出現(xiàn)“5點朝上”的頻率是．
【小問2詳解】
解：兩人的說法都是錯誤的．因為一個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并客觀存在．隨機事件發(fā)生的可能性大小由隨機事件自身的屬性即概率決定．因此，判斷事件發(fā)生的可能性大小不能由此次試驗中的頻率決定．
24. 如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當t為何值時，PQ的長度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）2t，（5-t）；（2）0秒或2秒；（3）存在，1秒
【解析】
【分析】（1）根據(jù)P、Q兩點運動速度可得BQ、PB的長度；
（2）根據(jù)勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可；
（3）根據(jù)題意可得△PBQ的面積為長方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積，再根據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長即可得到方程，再解方程即可．
【詳解】解：（1）∵P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，
∴BQ=2tcm；
（2）由題意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
當t=0秒或2秒時，PQ的長度等于5cm；
（3）存在t=1秒，能夠使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．理由如下：
長方形ABCD的面積是：5×6=30（cm2），
使得五邊形APQCD的面積等于26cm2，則△PBQ的面積為30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合題意舍去），t2=1．
即當t=1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是表示出BQ、PB的長度．
25. 如圖1，在正方形中，點E為邊上一點，連接，點M在邊上運動．

（1）如圖2，當點M和點C重合時，過點C作的垂線，垂足為點P，交直線于點N．請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：________．
（2）如圖3，過點M作的垂線，垂足為點P，交直線于點N，試證明（1）中的結(jié)論仍成立．
（3）如圖4，N為直線上一點，若，請問是否始終能證明？請說明理由．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）能，見解析
【解析】
【分析】（1）證明即可得到結(jié)論；
（2）過點A作于點G．推出四邊形是平行四邊形，得到．證明，得到，由此推出．
（3）以點M為圓心，以線段的長為半徑作弧，與直線交于點N，，連接，，交于點O，交于點G，過點A作交于點J．得到四邊形是平行四邊形．得到，．證明 ．推出．進而推出．即可得到．
【小問1詳解】
∵四邊形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
故答案為：；
【小問2詳解】
如圖1，過點A作于點G．

∵，
∴．
又∵四邊形是正方形，
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，．
∴，．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
【小問3詳解】
如圖2，以點M為圓心，以線段的長為半徑作弧，與直線交于點N，，連接，，交于點O，交于點G，過點A作交于點J．

∵，，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，，．
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線解題及掌握各圖形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．A
B
C
A
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
拋擲總次數(shù)
100
150
200
300
杯口朝上的頻數(shù)
21
32
44
66
朝上的點數(shù)
1
2
3
4
5
6
出現(xiàn)的次數(shù)
7
9
6
8
20
10

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