1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，解得或，
即或，則.
故選：C.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】由，
則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.
故選：D.
3. 正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，已知，且三項(xiàng)成等比數(shù)列，則（ ）
A. 7B. 5C. 3D. 1
【答案】C
【解析】由題意可得，
又正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，已知，
所以，即，
解得或（舍去），
故選：C.
4. 若，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：D
5. “”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)得，解得或
所以“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，
故選：A
6. 函數(shù)是奇函數(shù)，則的取值集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是奇函數(shù)，
故，
則，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合.
故選：D
7. 已知向量，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>整理得①，
又，所以②，
聯(lián)立①②求解得，
所以.
故選：B.
8. 函數(shù)，若對(duì)x∈R恒成立，且在上恰有條對(duì)稱(chēng)軸，則（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】由題知，當(dāng)時(shí)取得最大值，即，
所以，即，
又在上有條對(duì)稱(chēng)軸，所以，
所以，所以.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是( ).
A. B. 為等差數(shù)列
C. 不可能為常數(shù)列D. 若為遞增數(shù)列，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，
顯然時(shí)，上式也成立，所以.
因?yàn)椋?br>所以是以2k為公差的等差數(shù)列，B正確：
對(duì)于C 選項(xiàng)，由上可知，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，若為遞增數(shù)列，則公差，即，D正確.
故選：ABD .
10. 已知關(guān)于不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. ab最大值為
C. 的最小值為4D. 有最小值
【答案】AB
【解析】由題意，不等式的解集為，
可得，且方程的兩根為和，
所以，所以，
所以，所以A正確：
因?yàn)?，所以，可得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確：
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋襞c均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 4是的一個(gè)周期
C. D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【答案】ABD
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
而，故，故，
又為偶函數(shù)，所以，即，
所以，故即，
，所以4是的周期，故B正確.
對(duì)A，由兩邊求導(dǎo)得，
令得，解得，A正確：
對(duì)C，由上知，所以，
所以C錯(cuò)誤；
對(duì)D，因?yàn)椋?br>故，故的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?是的周期，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
故選：ABD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 曲線在處的切線方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)?，則，
又，所以，
所以曲線在處的切線方程為．
故答案：
13. 已知為銳角，，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)闉殇J角，所以.
若，則，這與矛盾，
故為鈍角，故，
則
.
故答案為：.
14. 已知a，b為實(shí)數(shù)，，若恒成立，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】依題意，函數(shù)與在上都單調(diào)遞增，
且函數(shù)的值域是R，，不等式恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，因此，
由得，由得，于是得，
則，令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，
從而得，
所以ab的最小值為.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
解：（1）因?yàn)?br>，
所以，函數(shù)的最小正周期為，
由可得，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
16. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若點(diǎn)到直線的距離為的面積為，求的周長(zhǎng).
解：（1）由余弦定理角化邊得，，整理得，
所以，
因?yàn)?，所?br>（2）由題知，，即，
由三角形面積公式得，所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周長(zhǎng)為.
17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿(mǎn)足的前項(xiàng)和為是等差數(shù)列，．求．
解：（1）由已知得，又,
所以作差得，故.
所以
又當(dāng)時(shí)，，又，故
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知：，故，
又也滿(mǎn)足上式，故
因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，，
可得，
則，可得，
則；
因?yàn)椋?
所以，
設(shè)，
，
相減可得，
化為，
則.
18. 已知函數(shù).
（1）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，證明：存在唯一極小值點(diǎn)，且.
解：（1）在恒成立，等價(jià)于在上恒成立，
記，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，即的取值范圍.
（2）當(dāng)時(shí)，，
則，
因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以在單調(diào)遞增，
又，
所以在區(qū)間存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以存在唯一極小值點(diǎn)
因?yàn)?，即，所以?
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，所以．
19. 定義在區(qū)間上的函數(shù)滿(mǎn)足：若對(duì)任意，且，都有，則稱(chēng)是上的“函數(shù)”.
（1）若是上的“函數(shù)”，求的取值范圍；
（2）（i）證明：是上的“函數(shù)”；
（ii）設(shè)，證明：.
（1）解：由題可知任意，且，
即，解得.
因?yàn)椋?，即的取值范圍?
（2）（i）證明：設(shè)，
則.
令，且，
則，則在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以是上的“函數(shù)”.
（ii）證明：由（i）可知，當(dāng)時(shí)，，
令，則，
即.
故，
化簡(jiǎn)可得.

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