本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)有（ ）
A 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】B
【解析】因?yàn)槿?br>所以，，
又因?yàn)?，?
因此，集合中的元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.
2. 已知，則下列說法一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，且，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
3. 若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
故選：A
4. 已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，因?yàn)榍遥瑒t內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且，可得，
因函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則外層函數(shù)為減函數(shù)，所以，，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
5. 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)的公差為，因?yàn)?，?br>可得，解得，所以，
可得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：D.
6. 過圓上的兩點(diǎn)分別作圓的切線，若兩切線的交點(diǎn)恰好在直線上，則的最小值為（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑.
因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，
由圓的知識(shí)可知四點(diǎn)共圓，且，
所以，
又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，
所以.
故選：D.

7. 某雕刻師在切割玉料時(shí)，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三棱錐中，側(cè)面底面，且，該雕刻師計(jì)劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?br>所以，所以，且，
又側(cè)面底面且交線為，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)球形玉珠為三棱錐的內(nèi)切球時(shí)，球形玉珠的直徑最大．
設(shè)三棱錐的表面積為，內(nèi)切球的半徑為，則，
又，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直徑的最大值為．
故選：C
8. 已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. “”是“為奇函數(shù)”的充要條件
B. “”是“為增函數(shù)”的充要條件
C. 若不等式的解集為且，則的極小值為
D. 若、是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)奇函數(shù)，
則，
且，
所以，，
即對(duì)任意的恒成立，則，可得，
所以，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，易得，
因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，則，可得，
所以，“”“”，
若取，則成立，即“”“”，
所以，“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榍遥?br>則、為方程的兩個(gè)根，設(shè)方程的第三個(gè)根為，
則，
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意.
所以，，
則，
，
列表如下：
所以，函數(shù)的極小值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若、是方程的兩個(gè)不同的根，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，可得，
由于，解得或，D對(duì).
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，，則（ ）
A. 的虛部為B. 是純虛數(shù)
C. 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，的虛部為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，為純虛數(shù)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
所以，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，
，所以，，D錯(cuò).
故選：ABC.
10. 已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（ ）
A. 的長度為B. 的長度為
C. 的長度為D. 的長度為
【答案】AD
【解析】如圖所示，
連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點(diǎn)，
交的延長線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
則即為，即為，
由，得，所以，，
由，得，則，
所以，故C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；
由，得，又易知，得，所以，
所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)，
故選：AD.
11. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（ ）
A. 存在使數(shù)列為常數(shù)列
B. 存在使數(shù)列為遞增數(shù)列
C. 存在使數(shù)列為遞減數(shù)列
D. 存在使得恒成立
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，則，設(shè)，其中，
所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)使數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；
當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，
又，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，又，
所以，又在上單調(diào)遞增且，
所以，所以存在使得恒成立，即D正確；
由上述分析可知，不存在使數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，，則________.
【答案】
【解析】由題意可得：，
所以，
故答案為：
13. 已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則________.
【答案】
【解析】由圖可知：，
所以，可得：，
又，
所以，
可得：，
又，
可得：，
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)存在個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
由f'x>0，可得；由f'x0，故對(duì)任意的，，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.
綜上，當(dāng)時(shí)，得證；
（2）因?yàn)椋?，由?）可得．
接下來證明，其中，
設(shè)，，
設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，
則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>所以，，使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋琺'x1>0，，
，使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)?，mπ2=1-lnπ2+1>0，
所以在區(qū)間內(nèi)恒成立．
令，所以sin12n>ln12n+1=ln2n+12n，
所以，，，…，，
所以．
對(duì)，2n+12n-2n+22n+1=12n2n+1>0，所以，
所以2sin12+sin14+?+sin12n>2ln32+ln54+?+ln2n+12n
，
所以sin12+sin14+?+sin12n>12lnn+1得證．
設(shè)，則，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以．
令，，所以，，
所以，…，，
所以．
綜上，．增
極大值
減
極小值
增

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