第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，利用交集概念求出答案.
【詳解】由題意得，，則．
故選：A．
2. 使成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.
【詳解】設(shè)，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是集合的真子集．
對(duì)照選項(xiàng)知只有B符合題意.
故選：B．
3. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意可得，解得即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>則對(duì)于函數(shù)，令，解得，
所以函數(shù)的定義域是．
故選：C．
4. 已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義得到方程，解出，最后驗(yàn)證即可.
【詳解】由題意得，，解得或．
當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，不滿足題意．
故選：A．
5. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到方程，求出，，求出函數(shù)解析式，代入計(jì)算出答案.
【詳解】由題意得，，解得，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，即，
所以，解得，
所以，
所以．
故選：D．
6. 已知命題“”，命題：“”，若命題均為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)含量詞的命題為真命題，可得關(guān)于參數(shù)的不等式，解得的范圍，依題再求各范圍的交集即得.
【詳解】由命題“”是真命題，可得，即；
由命題“”為真命題，可得，解得，
因命題均為真命題，故可得．
故選：B．
7. 函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性得到不等式，解出即可.
【詳解】由題意得，，解得．
故選：C．
8. 已知，且，則的最小值為（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】合理變形，再利用乘“1”法計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
則由題意得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故選：B．
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列各組函數(shù)中，表示的不是同一函數(shù)的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】從函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域?qū)Ω鬟x項(xiàng)逐一分析判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，故不是同一函?shù)；
對(duì)于B，的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，故不是同一函?shù)；
對(duì)于C，，定義域都為，是同一函數(shù)；
對(duì)于D，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)．
故選:ABD．
10. 已知fx=ax2+bx+c，且關(guān)于的不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B.
C. 命題“”為假命題
D. 若的解集為，則?
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系可得，，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用二次函數(shù)對(duì)稱軸可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)關(guān)系化簡(jiǎn)不等式可得選項(xiàng)C正確；利用兩不等式的關(guān)系可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】由題意得，，且是關(guān)于的方程的根，
所以，即，故A錯(cuò)誤.
因?yàn)榈膱D象的對(duì)稱軸是直線，開(kāi)口向下，且，
所以，故B正確.
，故C正確.
由得，由必可得到，所以?，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11. 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 且的圖象與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，記為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 在內(nèi)單調(diào)遞減
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意知，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，又為偶函數(shù)可得函數(shù)為周期是周期函數(shù)，于是可求，并驗(yàn)證關(guān)于直線對(duì)稱，即可判斷A,C;對(duì)于C，利用hx的解析式，可直接判斷其單調(diào)性；對(duì)于D，通過(guò)分析判斷與hx均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合兩函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性推出兩者在區(qū)間上有2020個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性即可求和驗(yàn)證.
【詳解】
由得圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，
由為偶函數(shù)得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則為周期函數(shù)，周期為，如圖作出在R上的圖象.
對(duì)于A， ，故A正確；
對(duì)于B，，因函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
則hx在內(nèi)單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由圖知關(guān)于直線對(duì)稱，則，故C正確；
對(duì)于D，由，可得hx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
而的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
計(jì)算得與hx在區(qū)間上有個(gè)交點(diǎn)，
從左向右依次為，，
則，
故，故D正確．
故選：ACD．
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．
【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)，則，應(yīng)用函數(shù)的解析式計(jì)算結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出解析式.
詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以．
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】令，解得或，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
故答案為：.
14. 定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可解出不等式.
【詳解】不妨設(shè)，由條件可得，
即，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以由得，所?
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若?，求的取值范圍．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，代入值，利用交并補(bǔ)運(yùn)算法則計(jì)算即得；
（2）就集合分和兩種情形考慮，依題列出不等式組，解之即得.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，．
若，則，
故，
又，
則或．
小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，由?，得，解得．
綜上，的取值范圍是．
16. 紅色旅游是一種將愛(ài)國(guó)教育與自然景觀結(jié)合起來(lái)的新型主題旅游形式，受到了越來(lái)越多游客的歡迎．某旅游公司今年開(kāi)發(fā)了一處紅色旅游景區(qū)，該景區(qū)一年需投入固定成本300萬(wàn)元，若該景區(qū)在一年內(nèi)有萬(wàn)游客，則另需投入成本萬(wàn)元，且．已知該景區(qū)門(mén)票售價(jià)為70元/人，當(dāng)?shù)卣疄楣膭?lì)該景區(qū)更好發(fā)展，每年給該旅游公司財(cái)政補(bǔ)貼萬(wàn)元．
（1）求該景區(qū)一年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于人數(shù)（萬(wàn)人）的函數(shù)解析式；
（2）一年的游客為多少萬(wàn)人時(shí)，該景區(qū)一年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）
（2）一年的游客為29萬(wàn)人時(shí)，該景區(qū)一年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是249萬(wàn)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)等于總收入減去總成本，分段寫(xiě)出其解析式即可；
（2）分段求出利潤(rùn)最大值及對(duì)應(yīng)的人數(shù)，最后比較得出利潤(rùn)最大值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．此時(shí)．
綜上，一年的游客為29萬(wàn)人時(shí)，該景區(qū)一年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是249萬(wàn)．
17. 已知函數(shù)．
（1）若，解關(guān)于不等式；
（2）對(duì)，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用分解因式的方法求解不等式.
（2）先證明，再說(shuō)明時(shí)條件滿足，即可得到的最小值是12.
【小問(wèn)1詳解】
由，
可知不等式等價(jià)于.
由，得，所以原不等式的解集為．
【小問(wèn)2詳解】
在條件中取x=0，可得，從而，即.
而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，滿足條件.
所以的最小值為.
18. 定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③．
（1）求和的值；
（2）試用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通過(guò)給賦值可得結(jié)果.
（2）利用定義法可證明函數(shù)在上是減函數(shù).
（3）通過(guò)題目條件把不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)定義域和單調(diào)性可得，分離參數(shù)即可得到的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
令，有，得．
令，有，又，所以．
令，得，
令，得．
【小問(wèn)2詳解】
任取且，
則，
因?yàn)榍?，所以，所以，則，
所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)．
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，則．
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上是減函數(shù)，
所以由，得，則．
對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即的取值范圍是．
19. 對(duì)集合及其每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“遞嬗和”如下：將中的數(shù)按照遞減的次序排列，然后第一個(gè)數(shù)減第二個(gè)數(shù)，再加上第三個(gè)數(shù)，再減去第四個(gè)數(shù)，…，減加交替所得的結(jié)果，例如的“遞嬗和”是的“遞嬗和”足的“遞嬗和”是2．定義一個(gè)唯一確定的“遞嬗積”如下：將中的數(shù)按照遞減的次序排列，然后第一個(gè)數(shù)除以第二個(gè)數(shù)，再乘第三個(gè)數(shù)，再除以第四個(gè)數(shù)，…，除乘交替所得的結(jié)果，例如，的“遞嬗積”是的“遞嬗積”是的“遞嬗積”是2．
（1）①求所有非空子集的“遞嬗和”的總和；
②求所有非空子集的“遞嬗積”的總和．
（2）集合．
①求集合所有非空子集的“遞嬗和”的總和；
②求集合所有非空子集的“遞嬗積”的總和．
【答案】（1）①12; ②-1
（2）①13184; ②-1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“遞嬗和”和“遞嬗積”的新定義，找出符合條件的元素，再求和即可.
（2）根據(jù)“遞嬗和”和“遞嬗積”的新定義，結(jié)合集合子集概念和結(jié)論，運(yùn)用組合一起求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
①的所有非空子集為，
其“遞嬗和”分別是，
則所有非空子集的“遞嬗和”的總和為．
②的所有非空子集為，
，
其“遞嬗積”分別是，
則所有非空子集的“遞嬗和”的總和為．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以集合．
①集合的子集中，除去外還有個(gè)非空子集，
把這個(gè)非空子集兩兩組合后分別計(jì)算每一組中“遞嬗和”的和，
組合原則是設(shè)，集合的元素為集合中去掉103的所有元素，
把和結(jié)合為一組，顯然每組的“遞嬗和”的和為103，共有組，
所以所有“遞嬗和”的總和為．
②集合的子集中，其中除去外還有個(gè)非空子集，
把這個(gè)非空子集兩兩組合后分別計(jì)算每一組中“遞嬗積”的和，
組合原則是設(shè)，集合的元素為集合中去掉的所有元素，
把和結(jié)合為一組，顯然每組的“遞嬗積”的和為0，共有組，
所以所有“遞嬗積”之和應(yīng)該為．

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