2024.11
本試卷共6頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。
4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.
1.已知，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，，，則是的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2.結(jié)合不等式的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
3.已知，，，則的最小值為
A.B.C.D.
4.已知，，則的值為
A.－2B.2C.－3D.3
5.已知集合，集合，集合，則以下元素屬于集合的是
A.B.C.D.
6.已知，，，則，，的大小關(guān)系是
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是
A.B.C.D.
8.在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則中線的取值范圍是
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，可能的圖象是
A.B.C.D.
10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，.若，則
A.當(dāng)時(shí)，B.
C.函數(shù)是堵函數(shù)D.函數(shù)的值域?yàn)?br>11.已知函數(shù)的周期為，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是
A.在區(qū)間上單調(diào)遞減
B.直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸
C.在區(qū)間上有兩個(gè)對(duì)稱中心
D.若在區(qū)間上有2024個(gè)根，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.
12.已知函數(shù)，則不等式的解集是________.
13.函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則________.
14.在半徑為1，圓心角為的扇形中，是弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，則矩形面積的最大值為_(kāi)_______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，.
（1）求；
（2）若，的面積為，求，.
16.（本小題滿分15分）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，.
（1）求的解析式；
（2）記，在區(qū)間上的值域分別為，，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，對(duì)，使得成立，求正實(shí)數(shù)的最小值.
17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中點(diǎn)為圖象上的最高點(diǎn)，點(diǎn)，為圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為4的正三角形.
（1）求與的值；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若，，求的值.
18.（本小題滿分17分）某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖2所示的徽章圖案，其由三塊全等的矩形經(jīng)過(guò)如圖1所示的方式折疊后拼接而成.已知矩形的周長(zhǎng)為8cm，設(shè)其中較長(zhǎng)邊為，將沿向折疊，折過(guò)后交于點(diǎn).

圖1 圖2
（1）用表示圖1中的面積：
（2）現(xiàn)決定按此方案制作一枚徽章，要求將徽章的六個(gè)直角（如圖2陰影部分）雙面鍍金（厚度忽略不計(jì)），已知鍍金的價(jià)格是2元/cm2，試求將這枚徽章鍍金所需的最大費(fèi)用.
19.（本小題滿分17分）2024年9月25日，我國(guó)向太平洋發(fā)射了一發(fā)洲際導(dǎo)彈，我國(guó)洲際導(dǎo)彈技術(shù)先進(jìn)，飛行軌跡復(fù)雜，飛行時(shí)需要導(dǎo)彈上的計(jì)算機(jī)不斷計(jì)算導(dǎo)彈飛行軌跡的彎曲程度，導(dǎo)彈的陀螺儀才能引導(dǎo)導(dǎo)彈精準(zhǔn)命中目標(biāo).為此我們需要刻畫(huà)導(dǎo)彈飛行軌跡的彎曲程度.
如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從沿曲線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)越接近，即越小，就越能精確刻畫(huà)曲線在點(diǎn)處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點(diǎn)處的曲率.（其中，分別表示在點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的曲率；
（2）已知函數(shù)，求函數(shù)的曲率的最大值.
（3）設(shè)函數(shù)，，若存在，使得的曲率為0，求證：.
赤峰市2024年高三11·20模擬測(cè)試
參考答案與評(píng)分細(xì)則
12. 13.2025 14.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.【詳解答案】（1）由正弦定理可將
化為，
其中，…………（2分）
可得，…………（4分）
在中，，可得，由輔助角公式可得，（6分）
可得.…………（7分）
（2）的面積為，可得，…………（9分）
由余弦定理，可得，…………（11分）
綜上，或，.…………（13分）
16.【詳解答案】（1）設(shè)冪函數(shù)，由題意，即，
即函數(shù)的解析式為.…………（2分）
（2）由題意在區(qū)間上的值域?yàn)?，…………?分）
而函數(shù)區(qū)間上的值域?yàn)?，…………?分）
由是的必要條件可知，…………（6分）
即且，解得.…………（8分）
（3）由題意，…………（9分）
對(duì)，使得成立，可得，…………（11分）
在區(qū)間上，的最大值為，…………（12分）
在區(qū)間上，的最大值為，…………（13分）
令，可得，解得（舍）或，即，
即正實(shí)數(shù)的最小值為1.…………（15分）
17.【詳解答案】
（1）由已知可得 ，…………（3分）
由題圖可知，正三角形的高即為函數(shù)的最大值，則.…………（6分）
（2）由（1）可知，由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得圖象可知：，…………（10分）
由得，，…………（11分）
由得，，
從而，…………（13分）
故.…………（15分）
18.【詳解答案】（1）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)闉檩^長(zhǎng)邊，所以，即.…………（3分）
設(shè)，則
因?yàn)?，?br>所以，所以，…………（5分）
在中，由勾股定理得，
即，解得，…………（7分）
所以，…………（8分）
所以的面積（單位：）
…………（10分）
（2）設(shè)一枚徽章的鍍金費(fèi)用為元，則…………（13分）
由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，…………（15分）
所以當(dāng)時(shí)，一枚徽章的鍍金部分所需的最大費(fèi)用為元.…………（17分）
19.【詳解答案】（1），，，，，（2分）
所以函數(shù)在點(diǎn)處的曲率為.…………（3分）
（2），，，
由定義知為非負(fù)數(shù)，由題意得，
，，，…………（5分）
令，，令，…………（6分）
則在上恒成立，…………（8分）
在上單調(diào)遞增，即，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，所以曲率的最大值為.…………（9分）
（3）證明：由題意可得，，
若曲率為0，則，即，即，…………（10分）
令，則，得，…………（11分）
所以在上，，單調(diào)遞增，且；
在上，，單調(diào)遞減，且.
又，所以有兩個(gè)解.
設(shè)為，，，…………（13分）
又，所以，可設(shè)，，
所以，，，
化簡(jiǎn)可得，則.…………（15分）
要證，即證，
需要證，即證，…………（16分）
令，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，得證.…………（17分）
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
C
A
B
C
題號(hào)
9
10
11
答案
ABD
AD
ACD

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