四川省閬中中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

這是一份四川省閬中中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析，共18頁(yè)。試卷主要包含了考試結(jié)束后，只將答題卡交回， 圓與圓的位置關(guān)系是， 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則， 已知圓， 設(shè)橢圓等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（滿分：150分 時(shí)間：120分鐘 ）
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如果需改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效；
3.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用斜率與傾斜角之間關(guān)系式得解.
【詳解】，則斜率為，由，則傾斜角.
故選：B.
2. 已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助復(fù)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)定義計(jì)算即可得.
詳解】，
故.
故選：C.
3. 已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知焦點(diǎn)在軸，所以，，，又因?yàn)?，解得，故選C.
考點(diǎn)：橢圓的基本性質(zhì)
4. 圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切
【答案】C
【解析】
【分析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑為，
圓，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，
可得兩圓的圓心距，
則，即，
所以圓與圓相交.
故選：C.
5. 如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.
【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
∴.
故選：B.
6. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用弦長(zhǎng)公式得圓心到直線的距離為1，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解出即可.
【詳解】圓的圓心，
所以圓心到直線的距離為，則，
而，所以，解得：.
故選：A.
7. 在四棱錐中，，則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)等于（ ）
A. 1B. 2C. 13D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)平面的法向量，則，令，得，
所以這個(gè)四棱錐的高.
故選：B
8. 已知圓：，若曲線上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合題意，得到圓心到直線的距離小于2，列出不等式，即可求解
【詳解】由圓：，可得圓心，半徑為4，
要使圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，
則滿足圓心到直線的距離小于2，可得，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. B. 橢圓的離心率
C. 的最大值是D. 面積的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由橢圓方程得出，由橢圓的定義判斷A；由離心率公式判斷B；設(shè)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；面積，結(jié)合的范圍判斷D
【詳解】因?yàn)闄E圓C的方程，故，
由橢圓的定義可知，故A正確；
離心率，故B錯(cuò)；
由橢圓性質(zhì)可知，所以的最大值是3，故C對(duì)；
因?yàn)?，又?br>當(dāng)時(shí)，即P在短軸的頂點(diǎn)時(shí)面積的取得最大值，
，故D對(duì)；
故選：ACD
10. 已知直線，直線，則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A. 直線過(guò)定點(diǎn)
B. 若，則
C. 若兩條平行直線與間的距離為，則
D. 點(diǎn)到直線距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可判斷A；結(jié)合題設(shè)直線的方程易得，進(jìn)而結(jié)合直線垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B；先根據(jù)直線平行與斜率的關(guān)系可得時(shí)，，再結(jié)合平行直線之間的距離公式求解判斷C；分析可得時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，進(jìn)而求出PQ即可判斷D
【詳解】由，
令，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A對(duì)；
若，所以，故B對(duì)；
若，則，即，
此時(shí)，即，，
因?yàn)橹本€與間的距離為，
所以或15，故C錯(cuò)；
由C知，直線過(guò)定點(diǎn)，要使點(diǎn)到直線距離最大，則，
則點(diǎn)到直線距離的最大值為，故D對(duì)；
故選：ABD
11. 中國(guó)結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線. 用數(shù)學(xué)的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線. 在平面上，把到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之積等于()的動(dòng)點(diǎn)軌跡稱為雙紐線.已知雙紐線：，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 曲線上滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)
B. 曲線經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C. 若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離都不超過(guò)3
【答案】AD
【解析】
【分析】由推得，代入曲線C方程求解即可判斷A；結(jié)合方程，求解整點(diǎn)坐標(biāo)可判斷B；聯(lián)立方程組，結(jié)合解的唯一性求出的取值范圍，判斷C；結(jié)合方程以及距離公式可判斷D
【詳解】若曲線C上點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P在的垂直平分線上，即y軸上，故，代入曲線C方程得，解得，
所以這樣的點(diǎn)僅有一個(gè)，故A正確；
令，則，解得，
令，則，解得，
令，則，解得，
故曲線C經(jīng)過(guò)整點(diǎn)只能是，故B錯(cuò)；
易知直線與曲線C：一定有公共點(diǎn)，
若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
則只有一個(gè)解，
即只有一個(gè)解為，
即時(shí)，無(wú)解
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為 ，故C錯(cuò)；
由可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故D對(duì)；
故選：AD
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出向量，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線得出與的關(guān)系，從而求出的值.
【詳解】因?yàn)?，已知，?br>所以.
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線，即存在實(shí)數(shù)，使得.
已知，，則.
根據(jù)向量相等的性質(zhì)，對(duì)于和前面的系數(shù)分別相等，可得.
由，解得，又因?yàn)?，所?
故答案為：.
13. 已知，，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系及兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.
【詳解】易知為圓上一點(diǎn)Ax1,y1與直線上一點(diǎn)Bx2,y2的距離的平方，
易知圓心C?2,0，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，
則，所以.
故答案為：
14. 閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為．利用上面的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)材料先求出三個(gè)平面的法向量，再根據(jù)交線的方向向量與平面和的法向量垂直求出直線的方向向量，在帶圖直線與平面夾角的正弦公式求值即可．
【詳解】解：因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的法向量可取?br>同理平面的法向量可取，
的法向量可取，
設(shè)平面與的交線的方向向量為，
則，令，則，，所以．
則直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：．
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知，兩點(diǎn)，直線：.
（1）求直線AB的垂直平分線方程；
（2）若圓過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，求圓的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)垂直平分線斜率，斜率，利用兩點(diǎn)式求出斜率，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求其中點(diǎn)坐標(biāo)，利用求斜率奇為，即可求解；
（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)到圓心距離相等以及圓心在直線上列方程組可得圓心坐標(biāo)，可求出半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)垂直平分線斜率，斜率，中點(diǎn)為
所以，所以C0,?3，
又因，所以可得，
所以根據(jù)點(diǎn)斜式可求出直線垂直平分線為，
即；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線，
所以，又因，兩點(diǎn)在圓上，則圓心到兩點(diǎn)距離相等
所以根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可知，
將兩式聯(lián)立可得
解之可得，根據(jù)圓心到點(diǎn)距離為半徑可得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
16. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)．請(qǐng)用向量方法解決以下問(wèn)題：
（1）證明：直線平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使直線平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）存在，1.
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出平面的法向量，若假設(shè)存在，由，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
在棱長(zhǎng)為2的正方體中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
于是，
即，而平面，
所以直線平面.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，
假定存在點(diǎn)，使直線平面，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，由，得，解得，
而平面，則平面，
所以存在點(diǎn)，使直線平面，此時(shí).
17. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，利用兩角和的正弦公式即可求解；
（2）由已知根據(jù)面積公式可求得，，由余弦定理即可求；由正弦定理可得，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得，由二倍角公式可得和，再根據(jù)兩角差的余弦公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，所以，，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
，
所以.
18. 如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，與相交于點(diǎn)，，平面平面，且，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若直線與平面所成的角的正弦值為.
①求的長(zhǎng)；
②求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）① 2；②
【解析】
【分析】（1）連接，利用中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行判定證明即可；
（2）①通過(guò)建系，寫出相關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)，求得平面的法向量坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式列方程，求解即得；
② 分別求出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
小問(wèn)1詳解】
如圖，連接,由于分別是中點(diǎn)，
則平面,平面,
則平面.
【小問(wèn)2詳解】
①因是矩形，故是的中點(diǎn)，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，
故平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，
過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，所以
故，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，又，
所以由，故可取，
因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，
所以，
解得，所以；
②如圖，因?yàn)椋?br>設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，又，
所以，故可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，
所以，故可取，
設(shè)平面與平面的夾角為，
所以.
即平面與平面的夾角的余弦值為.
19 已知圓和點(diǎn)，直線．
（1）點(diǎn)A在圓Q上運(yùn)動(dòng)，且A為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡曲線T的方程；
（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作（1）中曲線T的兩條切線、，切點(diǎn)為B，C，求直線所過(guò)定點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E為（1）中曲線T上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E向圓Q引一條切線，切點(diǎn)為F．試探究：x軸上是否存在定點(diǎn)G（異于點(diǎn)Q），使得為定值？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在；的最小值為
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則由A為線段的中點(diǎn)表示出，再由點(diǎn)A在圓Q上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程中化簡(jiǎn)可得點(diǎn)N的軌跡曲線T的方程，
（2）設(shè)，則，設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，則由圓的性質(zhì)可得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，再與圓的方程相減可得直線的方程，再將代入化簡(jiǎn)可求得答案，
（3）假設(shè)存在x軸上定點(diǎn)G（異于點(diǎn)Q）滿足條件，設(shè)，則化簡(jiǎn)得，對(duì)恒為定值，必有，求出的值，從而可求得此定值，則可得，進(jìn)而可得的最小值，
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則
由點(diǎn)A在圓Q上運(yùn)動(dòng)，有
∴即為點(diǎn)N的軌跡線T的方程
【小問(wèn)2詳解】
點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，
曲線是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓，
過(guò)P作的曲線T兩條切線，切點(diǎn)為B，C，易知B，C在以為直徑的圓上
設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，則
①
又切點(diǎn)B，C在曲線T上，有②
由②-①得B，C所在直線方程為
即對(duì)恒成立，
∴
故直線所過(guò)定點(diǎn)D的坐標(biāo)為
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
假設(shè)存在x軸上定點(diǎn)G（異于點(diǎn)Q）滿足條件，設(shè)
則
對(duì)恒為定值，
必有或（舍）
所以存在x軸上定點(diǎn)使得為定值，
即對(duì)于曲線T上任意一點(diǎn)E，恒有，
故，
所以隨的增大而增大，
所以的最小值為．