一、選擇題
1．下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是( )
A.B.C.D.
2．若集合,,則B中元素的最小值為( )
A.B.C.D.32
3．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
4．下列命題既是真命題又是全稱量詞命題的是( )
A.直角三角形的內(nèi)角是銳角或直角B.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使
C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使
5．已知集合,,若,則( )
A.1B.2C.3D.4
6．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是( )
A.B.C.D.
7．近來牛肉價(jià)格起伏較大,假設(shè)第一周、第二周的牛肉價(jià)格分別為a元/斤,b元/斤,,甲和乙購買牛肉的方式不同,甲每周購買30元錢的牛肉,乙每周購買6斤牛肉,甲、乙這兩周購買牛肉的平均單價(jià)分別記為,,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.,的大小無法確定
8．已知關(guān)于,,,的方程組,其中.則,,,的大小關(guān)系為( ).
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．對(duì)下列命題的否定,其中說法正確的是( )
A.p:不論m取何實(shí)數(shù)值,方程必有實(shí)數(shù)根;p的否定:存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,方程沒有實(shí)數(shù)根
B.p:非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù);p的否定:存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)
C.p:有的三角形為正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形
D.p:某班所有男生都愛踢足球;p的否定:某班至少有一個(gè)女生愛踢足球
10．下列說法正確的是( )
A.的最小值為B.的最大值為
C.若,,則D.若,則的最小值為
11．大數(shù)據(jù)時(shí)代,需要對(duì)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索,檢索過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象,而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù),對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力,為優(yōu)化檢索軟件,編程人員需要了解笛卡爾積.兩個(gè)集合A和B,用A中元素為第一元素,B中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作A與B的笛卡兒積,又稱直積,記為.即且.關(guān)于任意非空集合M,N,T,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．設(shè)U是全集,M、N是U的子集,則圖中陰影部分所表示的集合是________.（請(qǐng)用各集合的交,并,補(bǔ)表示）
13．如果,,則的取值范圍是________;的取值范圍是________.
14．已知,,且,則的最小值為________.
四、解答題
15．已知集合,,.
（1）求,,;
（2）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16．已知集合,,.
（1）若,求實(shí)數(shù)a,b的值;
（2）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．某學(xué)校為了開展勞動(dòng)教育,計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750的矩形種植園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路,中間A,B,C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植辣椒、茄子、小白菜（其中區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形種植園的一條邊長為xm,蔬菜種植的總面積為.
（1）用含有x的代數(shù)式表示a,并寫出x的取值范圍;
（2）當(dāng)x的值為多少時(shí),才能使蔬菜種植的總面積S最大?最大面積是多少?
18．設(shè)集合,;
（1）用列舉法表示集合A;
（2）若是的充分條件,求實(shí)數(shù)m的值;
（3）求,.
19．已知M是滿足下列條件的集合：①,；②若x,,則；③若且,則.
(1)判斷是否正確,并說明理由；
(2)證明：若x,,則；
(3)證明：若,則.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?，，，?br>所以正確的是．
故選C
2．答案：A
解析：
最小值為:
故選:A
3．答案：C
解析：解得,
,
故選:C
4．答案：A
解析：直角三角形的內(nèi)角是銳角或直角,原命題為真命題,屬于全稱量詞命題,A正確;
當(dāng)時(shí),滿足,原命題為真命題且是存在量詞命題,B錯(cuò)誤;
存在,原命題為全稱量詞命題且為假命題,C錯(cuò)誤;
對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有,原命題為存在量詞命題且為假命題,D錯(cuò)誤.
故選:A.
5．答案：C
解析：因?yàn)榧?,又,
所以,解得或.
當(dāng)時(shí),集合A互異性不成立舍去;
當(dāng)時(shí),,符合題意;
所以.
故選:C.
6．答案：A
解析：因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根,
所以,解得.
又是的真子集,
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選:A
7．答案：C
解析：由題意得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
又因?yàn)閍不等于b,
故,即.
故選:C.
8．答案：D
解析：由,得到,
即,令,
則,又,所以,
故選:D.
9．答案：AB
解析：對(duì)于A,p的否定:存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,方程沒有實(shí)數(shù)根,故A正確;
對(duì)于B,p:非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù);p的否定:存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù),故B正確;
對(duì)于C,p的否定為所有的三角形都不是正三角形,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,p的否定為某班至少有一個(gè)男生不愛踢足球,故D錯(cuò)誤.
故選:AB.
10．答案：BC
解析：對(duì)于A,,但無解,故不可能取等,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
所以的最大值為,故B正確;
對(duì)于C,,故C正確;
對(duì)于D,若有最小值,則其最小值為一個(gè)定值,故D錯(cuò)誤.
故選:BC.
11．答案：ABC
解析：對(duì)于A,若,,則,,,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,若,,,則,
而,,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若,,,則,
,,,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,任取元素,則且,則且,
于是且,即,
反之若任取元素,則且,
因此,且,即且,
所以,即,D正確.
故選:ABC
12．答案：
解析：陰影部分的元素屬于集合N但不屬于集合M,
換言之,陰影部分的元素屬于集合N且屬于集合M在全集U中的補(bǔ)集,
所以圖中陰影部分所表示的集合是.
故答案為:.
13．答案：;
解析：因?yàn)?
,
所以,,
從而的取值范圍是;的取值范圍是.
故答案為:;.
14．答案：
解析：顯然（否則矛盾）,從而,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,
綜上所述,的最小值為.
故答案為:.
15．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因?yàn)榧?,
所以,,,,.
（2）當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng),解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
16．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因?yàn)?所以或,
當(dāng)時(shí),,滿足,
當(dāng)時(shí),,滿足,
綜上所述,或;
（2）有解有解,
從而當(dāng)且僅當(dāng),解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
17．答案：（1）;
（2）當(dāng)時(shí),種植蔬菜的總面積最大,最大面積為:
解析：（1）矩形面積:
（2）由（1）可知;,則
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
當(dāng)時(shí),種植蔬菜的總面積最大,最大面積為:.
18．答案：（1）
（2）
（3）答案見解析
解析：（1）集合,即;
（2）由已知,,
若是的充分條件,則,
情形一:若,則,故滿足題意;
情形二:若,則,故滿足題意;
情形三:若且,則存在,但,這與矛盾,故此情形不符合題意;
綜上所述,滿足題意的m的值為1或2;
（3）,
情形一:當(dāng)時(shí),,此時(shí),;
情形二:當(dāng)時(shí),,此時(shí),;
情形三:當(dāng)且時(shí),,此時(shí),;
綜上所述,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)且時(shí),,.
19．答案：(1)正確,理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：(1)正確,理由如下：
由①知,,由②可得,,
由③可得.
(2)證明：由①知,由題意,
所以由②可知,又,所以即證.
(3)證明：,由②可知,由③可知,,
所以,即,所以,
由(2)結(jié)論可知,即,即證

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