第一次月考卷02（測試范圍：集合+不等式+函數(shù)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯題。錯誤要及時(shí)尋找錯因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
2025年高考一輪復(fù)習(xí)第一次月考卷02（測試范圍：集合+不等式+函數(shù)）
（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）
一?選擇題
1．已知全集，集合，，那么集合（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合，根據(jù)交集的定義即可.
【解析】由題意可知，，
，
所以.
故選：B.
2．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用奇函數(shù)的定義可得，計(jì)算可求的值.
【解析】，
得，所以.
故選：B.
3．已知，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，可得答案
【解析】由函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，
所以“”是“”的的充要條件，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題，
4．若，則的最小值為（）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】將和兩邊放，然后兩邊同時(shí)除以，湊出，再用基本不等式即可.
【解析】因?yàn)?，，兩邊同時(shí)除以，得到，
當(dāng)且僅當(dāng)即取“=”.
則，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.
兩邊取自然對數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.
故的最小值為.
故選：D.
5．5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公式：它表示：在受高斯白噪聲干攏的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W﹒信道內(nèi)所傳信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小．其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，在不改變W的情況下，將信噪比卡從1999提升至，使得C大約增加了20%，則入的值約為（）(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3，103.96≈9120)
A．9121B．9119C．9919D．10999
【答案】B
【分析】根據(jù)題意先建立數(shù)學(xué)模型，然后利用對數(shù)求值進(jìn)行計(jì)算.
【解析】解：由題意得：
，
又
故
故選：B
6．已知且，函數(shù)滿足對任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，從而可求出的取值范圍
【解析】解：因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，都有成立，
所以在上為增函數(shù)，
所以，解得，
所以的取值范圍為，
故選：C
7．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)條件有，令則有、，應(yīng)用基本不等式求范圍且恒成立，進(jìn)而求的范圍，即可得結(jié)果.
【解析】由，則，且，
所以，
令，則，且，
所以，即，僅當(dāng)時(shí)等號成立，
對于恒成立，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
綜上，若，則，
而，則，只需，
所以，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
綜上，，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.
所以目標(biāo)式最小值為.
故選：C
8．已知定義在R上的奇函數(shù)，對于都有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)所有的零點(diǎn)之和為（）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及對稱性，推出函數(shù)的周期，再結(jié)合時(shí)，，即可作出函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.
【解析】由題意定義在R上的奇函數(shù)，對于，都有，
圖象關(guān)于直線對稱；
且，即，
故，
即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
當(dāng)，則，則，
故，
當(dāng)，則，因?yàn)椋?br>則；
當(dāng)時(shí)，則，
由此可作出函數(shù)在內(nèi)的圖象，如圖示：

由可得，
由圖象可知的圖象與在內(nèi)僅有4個交點(diǎn)，
不妨設(shè)這4個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為，
由于為圖象對稱軸，且函數(shù)周期為4，故也為函數(shù)圖象的對稱軸，
故由圖象可知關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，
故，則，
即函數(shù)在內(nèi)所有的零點(diǎn)之和為12，
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的題目，要能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，比如奇偶性、對稱性，進(jìn)而推出函數(shù)的周期，進(jìn)而結(jié)合給定區(qū)間上的解析式，作出函數(shù)大致圖像，數(shù)形結(jié)合，解決問題.
二、多選題
9．已知，，，則下列結(jié)論中正確的有（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)不等性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).
【解析】對于A：因?yàn)椋?，所以，故A正確；
對于B：因?yàn)椋?，兩邊同乘以得，即，故B正確；
對于C：因?yàn)?，所以，所以?br>又，兩式相乘得，故C錯誤；
對于D：，因?yàn)?，所以，，所以，即，故D正確；
故選：ABD.
10．已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）
A．且
B．
C．不等式的解集為
D．不等式的解集為
【答案】AB
【分析】A選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為為一元二次方程的兩個根，且，由韋達(dá)定理得到答案；B選項(xiàng)，根據(jù)為一元二次方程的根，得到B正確；C選項(xiàng)，在A基礎(chǔ)上不等式變形為，解出解集；D選項(xiàng)，不等式變形為，求出解集.
【解析】A選項(xiàng)，由題意得為一元二次方程的兩個根，且，
故，即，A正確；
B選項(xiàng)，為一元二次方程的根，故，B正確；
C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，解得，C錯誤；
D選項(xiàng)，，
又，故，解得或，D錯誤.
故選：AB
11．定義區(qū)間的長度為，記函數(shù)（其中）的定義域的長度為，則下列說法正確的有（）
A．
B．的最大值為
C．在上單調(diào)遞增
D．給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為
【答案】ABD
【分析】求函數(shù)的定義域，得判斷選項(xiàng)A；利用單調(diào)性定義證明單調(diào)性判斷選項(xiàng)C，由單調(diào)性求判斷函數(shù)的最值判斷BD選項(xiàng)．
【解析】由，得，，，A選項(xiàng)正確；
設(shè)，則，
，，，，在上是增函數(shù)，
同理可證，在上是減函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，C選項(xiàng)錯誤；
為最大值，B選項(xiàng)正確；
，，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
的最小值為和中較小者，
．
的最小值為，D選項(xiàng)正確．
故選：．
三、填空題
12．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .
【答案】
【分析】由題意可得，根據(jù)基本不等式中“1”的用法計(jì)算即可求解.
【解析】由題意知，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
13．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?
【答案】
【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再利用抽象函數(shù)的定義域的求法求解
【解析】由值域?yàn)椋?br>得，所以，
解得即的定義域?yàn)椋?br>由得，
故的定義域?yàn)?
故答案為：
14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且對任意的，總有，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．
【答案】
【分析】先根據(jù)單調(diào)性求出的范圍，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間最值可得答案.
【解析】由于函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.
在區(qū)間上，0距對稱軸最遠(yuǎn)，故要使對任意的，都有，
只要即可，即，
解得.
又，所以.
故答案為：
四、解答題
15．計(jì)算：
(1)
(2).
(3)已知，求的值.
【答案】(1)；
(2)0；
(3)
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算化簡求值；
（2）利用對數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則化簡求值；
（3）由，兩邊同時(shí)平方，求出，由，求出，再由求值即可.
【解析】（1）.
（2）
.
（3），即，
，，
..
16．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)的概念列式求解，
（2）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解．
【解析】（1）由題知指數(shù)函數(shù)，則，得或，又，
圖象經(jīng)過，則，解得；
（2），以2為底的對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，
∴滿足條件，
∴不等式的解集為．
17．已知函數(shù).
(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）參變分離可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）若，，，
令，因?yàn)?，所以?br>令，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，，
所以，；
（2）因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?br>即在上恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，即的取值范圍是.
18．設(shè)函數(shù)
(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式：．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）對是否為零進(jìn)行討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
（2）不等式化簡為，根據(jù)一元二次不等式的解法，分類討論即可求解.
【解析】（1）對一切實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于恒成立.
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意.
當(dāng)，有，即，解得
所以的取值范圍是．
（2）依題意，等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為.
當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)，所以不等式的解集為.
當(dāng)時(shí)，不等式化為，
①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；
②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
19．設(shè)有兩個集合，如果對任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個的函數(shù)對任意，都有，則稱.
(1)對，分別求一個，使得對全體恒成立；
(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).
（i）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；
（ii）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且說明如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.
【答案】(1)，
(2)（i），；（ii），，說明見解析
【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題干條件求解；
（2）（i）利用常函數(shù)求解；（ii）結(jié)合（i）再證明唯一性即可.
【解析】（1）因?yàn)?，而?br>對全體恒成立；
故對所有成立.
（2）（i）考慮以及兩個函數(shù)，
對任意，因?yàn)椋?br>所以.
（ii）我們可以繼續(xù)使用（i）的構(gòu)造，
任意取，因?yàn)?，所以?br>所以，則，
因此存在滿足條件；
如果符合題意，即，
則，
由定義得到；
所以存在唯一的的函數(shù)滿足題意.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用題目定義的新函數(shù)證明唯一性是關(guān)鍵.

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