全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。
5．本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第一冊(cè)第一章~第三章。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A． B．C．D．
2．下列圖形中，不能作為函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C．D．
3．命題:的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各組函數(shù)相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
6．下列命題中，真命題是（ ）
A．命題“若，則
B．命題“當(dāng)時(shí)，”
C．命題“若兩個(gè)三角形有兩條邊和一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”
D．命題“若，則”
7．已知函數(shù)，若的最小值為－3，則的最大值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
8．函數(shù)，x滿足對(duì)任意，都有成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對(duì)應(yīng)
B．函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合
C．對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同
D．表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值，這是一個(gè)常量
10．下列選項(xiàng)中是的充分條件的是（ ）
A．B．C．D．
11．，0且，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．
12．已知正數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的值域?yàn)開_____．
14．已知，則的取值范圍為______．
15．若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
16．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值5和最小值2，則______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．
17．(本小題滿分10分)
已知函數(shù)．
(1)點(diǎn)在的圖象上嗎?
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；當(dāng)時(shí)，求x的值．
18．(本小題滿分12分)
求解下列問(wèn)題：
(1)已知，比較和的大小；
(2)已知，比較與的大小，
19．(本小題滿分12分)
已知一次函數(shù)滿足．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)令，求函數(shù)的解析式．
20．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(，)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義法證明；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
21．(本小題滿分12分)
如圖，計(jì)劃依靠一面墻建一個(gè)植物角．墻長(zhǎng)為18m．用柵欄圍成四個(gè)相同的長(zhǎng)方形區(qū)域種植若干種植物．
(1)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為，要使圍成四個(gè)區(qū)域的柵欄總長(zhǎng)度最小，每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域長(zhǎng)和寬分別是多少米?并求柵欄總長(zhǎng)度的最小值；
(2)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為xm()，寬為長(zhǎng)的一半．每米柵欄價(jià)格為5元，區(qū)域的重建費(fèi)用為每平方米10元．要使總費(fèi)用不超過(guò)180元，求長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)x的取值范圍．
22．(本小題滿分12分)
(1)已知集合，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)在R上定義運(yùn)算“*”：，若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高一期中考試·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．C由，有
2．CC選項(xiàng)中，當(dāng)x取小于0的一個(gè)值時(shí)，有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義．
3．A
4．DA、B、C選項(xiàng)中的定義域?yàn)镽，而A選項(xiàng)中的定義域?yàn)椋珺、C選項(xiàng)中的定義域?yàn)椋挥蠨選項(xiàng)相同．
5．D 要使函數(shù)有意義，必須解得x≥1且，則函數(shù)的定義域?yàn)?，故選D．
6．D 當(dāng)c＝0或時(shí)不成立，A選項(xiàng)是假命題；因?yàn)闀r(shí)，有，所以B選項(xiàng)是假命題；根據(jù)三角形全等的判定定理知，命題“若兩個(gè)三角形有兩條邊和一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”是假命題，所以C選項(xiàng)是假命題；若，兩邊平方可得，所以D選項(xiàng)是真命題．
7．B ，設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取到最小值，則有對(duì)恒成立，所以，假設(shè)存在，使得，則有，與“的最小值為－3”相矛盾，所以函數(shù)在處取到最大值．
8．B由題意知在R上是減函數(shù)，∴．又∵，∴．
9．AD函數(shù)是一個(gè)數(shù)集與另一個(gè)數(shù)集間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，所給出的對(duì)應(yīng)是否可以確定為y是x的函數(shù)，主要是看其是否滿足函數(shù)的三個(gè)特征，A項(xiàng)是正確的；函數(shù)的定義域和值域不一定是無(wú)限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，B項(xiàng)是錯(cuò)誤的；當(dāng)x不同時(shí)，函數(shù)y的值可能相同，如函數(shù)，當(dāng)和－1時(shí)，y都為1，C項(xiàng)是錯(cuò)誤的；表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是一個(gè)常量，D項(xiàng)是正確的．
10．ABD 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以A、B、D項(xiàng)是的充分條件．
11．ACD 當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得或(舍去)．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為或或．
12．ABD由，得，因?yàn)?，所?br>，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為9，故A、D項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，故B項(xiàng)正確，C項(xiàng)不正確．
13．由圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>14．根據(jù)題意，，∴，即的取值范圍為．
15．若，原不等式化為在R上恒成立；若，原不等式可化為，則解得．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
16．2 依題意，的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上隨著x的增大而增大，
故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即，
當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即，即，
∴聯(lián)立方程得解得．所以．
17．解:(1)∵．
∴點(diǎn)不在的圖象上
(2)當(dāng)時(shí)，．
若，則．
∴，∴
18．解:(1)因?yàn)?，所以?br>(2)因?yàn)椋?，，所以?br>19．解:(1)設(shè)，有，
又由，可得，
則；
(2)由，有
故函數(shù)的解析式為
20．解:(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下:
任取，且，
，
因?yàn)?，?br>所以，所以，所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
(2)當(dāng)時(shí)，，由(1)知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，最大值為．
21．解:(1)設(shè)每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為xm()，則寬為m，
則柵欄總長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別為6m和4m時(shí)，柵欄總長(zhǎng)度最小，且最小值為48m；
(2)由題可知每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為xm，寬為，，則長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為，柵欄總長(zhǎng)為，
∴總費(fèi)用，又總費(fèi)用不超過(guò)180元，
∴，
∴，
又∵，∴，
故，總費(fèi)用不超過(guò)180元．
22．解:(1)因?yàn)閷?duì)于任意，都有恒成立．
①當(dāng)，即時(shí)，不等式為對(duì)任意恒成立，∴符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于任意恒成立，
只需，
解得，所以．
綜合①②可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
(2)由題意知不等式化為，
即．
設(shè)，的最大值是
所以令，
即，解得，

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