一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）
1. 已知集合，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】依題意，，
所以.
故選：A
2. 如圖，梯形的腰的中點(diǎn)為，且，記，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，又，所以?br>又為腰的中點(diǎn)，所以，
故選：A.
3. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 25
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，
所以，解得或（舍，若成立則不滿(mǎn)足上面三項(xiàng)成等比數(shù)列），故A正確.
故選：A.
4. 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且存在這樣的x，y使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由題設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
要使不等式有解，則，
所以或.
故選：C
5. 若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增，且f'x也單調(diào)遞增，
若，則，顯然不符合題意；
設(shè)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以AB取得最小值
，
令，
則，
令，則且，
令，則，
顯然在0,+∞上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在使得，即，
所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值即最小值，
又
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)時(shí)，
所以，所以恒成立，
即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，
此時(shí)，所以AB取得最小值為.
故選：B.
6. 鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（ ）米.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題知，，，則，，
又，所以，所以，，
在中，，
根據(jù)正弦定理有，
且，
則，
在中，.
所以山高為米.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
可知當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，即或，解得；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增恒成立，
且，即；
解得，
所以若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，
故選：A.
8. 閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的法向量可取?br>平面的法向量為，
平面的法向量為，
設(shè)兩平面的交線的方向向量為，
由，令，則，
所以?xún)善矫娴慕痪€的方向向量為，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則.
故選：A．
二、多選題（共3小題，每題6分，全部選對(duì)得6分，共18分.部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分）
9. 下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
B. 若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
C. 若是復(fù)數(shù)，則一定有
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】A，由題意，整理得，
所以，解得，故，正確；
B，記，則，
所以，
圓的面積為，圓的面積為，
所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，正確.
C，當(dāng)，則，而，顯然不成立，錯(cuò)誤；
D，令，，
則，
故，
又，，則，
所以，正確.
故選：ABD
10. 如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（ ）
A. B. 直線與所成角的余弦值為
C. 平面D. 直線與平面所成角為
【答案】ABD
【解析】不妨設(shè)則.
對(duì)于A，因,
故
，故，故A正確；
對(duì)于B，因，,則，
，
設(shè)直線與所成角為，則故B正確；
對(duì)于C，因
，
即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因，,
因，，
則有因平面，故平面，
即平面的法向量可取為，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
因，，，
則，因，故，故D正確.
故選：ABD.
11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)分別為的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn)，則（ ）

A.
B. 圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
D. 將的圖象向右平移個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，即可得到的圖象
【答案】BCD
【解析】，
由圖象知,則，
由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法,所以，
由于所以，故
，故A錯(cuò)誤；
由得，
即圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直，故B正確；
，當(dāng)，則，
此時(shí)為增函數(shù)，故C正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到，
再將所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到，此時(shí)可以得到的圖象，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12. 在長(zhǎng)方體中，若，則直線到平面的距離是___________.
【答案】
【解析】易知，又面，面，所以面，
則直線到平面的距離，與點(diǎn)到平面的距離相等，
過(guò)作于，
因?yàn)槊妫?，所以?br>又，面，所以面，
又，則，
在中，，得到，
所以直線到平面的距離為，
故答案為：.
13. 已知平面向量，，，，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】4
【解析】因?yàn)椋?，?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為16，即的最小值為4.
故答案為：4.
14. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得到?br>令，，圖象如圖所示，
因函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖易知，，
且，得到，
所以，令，
則，又易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的取值范圍為，
故答案為：.
四、解答題（共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分）
15. 在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.
（1）求；
（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
解：（1）由題得，
因?yàn)椋?br>故，，所以
（2）由（1）得，故由和得，
所以，故，
所以的周長(zhǎng)為.
16. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求的取值范圍．
解：（1）∵，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)可得：,
即數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，
又∵，∴，解得，即，
設(shè)數(shù)列的公差為，，
∵成等比數(shù)列，∴，
解得或（舍去），即，
∴數(shù)列和的通項(xiàng)公式為，.
（2）由（1）得，
∴，
，
兩式相減得：
∴，即有恒成立，
恒成立，可得，
即的范圍是.
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，求a的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，而，
因此0是在上的唯一零點(diǎn)，
即0是在上的唯一零點(diǎn)，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
所以的極大值為，無(wú)極小值；
（2）由題意知，即，即，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以．
所以的取值范圍為．
18. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn).在五棱錐中，為棱上一點(diǎn)，平面與棱，分別交于點(diǎn)，.

（1）求證：；
（2）若底面，且，直線與平面所成角為.
（i）確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；
（ii）求線段的長(zhǎng).
（1）證明：
在正方形中，，又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
則；
（2）解：（i）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有直線與平面所成角為，
證明如下：由平面，可得
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，
又為中點(diǎn)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則有，即，令，則，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的大小為.
（ii）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，
即，所以，
因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?br>所以，即，
解得，故，則，
所以.
19. 定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為3，則稱(chēng)數(shù)列具有“性質(zhì)3”.已知項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)3”.
（1）若，且，，寫(xiě)出所有可能的的值；
（2）若，，證明：“”是“”的充要條件；
（3）若，，，證明：或，（）.
（1）解：依題意可知有如下三種情況：
若，此時(shí)，
若，此時(shí)，
若，此時(shí).
（2）證明：必要性：因?yàn)椋?br>故數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，公差為，
所以，必要性成立；
充分性：由于，，…，，
累加可得，，即，
因?yàn)?，故上述不等式的每個(gè)等號(hào)都取到，
所以，，所以，，充分性成立；
綜上所述，“”是“，”的充要條件；
（3）證明：令，依題意，，
因?yàn)椋?，…，?br>所以
，
因?yàn)?，所以為偶?shù)，
所以為偶數(shù);
所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，
亦即或，
當(dāng)時(shí)，
比如，，，
或，，時(shí)，有，；
當(dāng)時(shí)，
比如，，，，
或，，，，有，；
當(dāng)或時(shí)，不能被4整除，.0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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