一、選擇題（每題3分，共30分）
1. 下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、當時，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；
B、是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；
C、分母含有字母，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；
D、二次函數(shù)，故本選項符合題意；
故選：D．
2. 若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該圖象必經(jīng)過點（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，二次函數(shù)的對稱軸為軸，
關(guān)于軸對稱的點為，
該圖象必過點，故選：B．
3. 把一元二次方程化為一般形式，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】將一元二次方程化為一般形式之后，變?yōu)椋?br>故選：A．
4. 當時，二次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，∵，
∴拋物線的開口向下，與軸交于正半軸，對稱軸為：，故選D．
5. 三角形兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是（ ）
A. 11B. 14C. 11或8D. 11和14
【答案】B
【解析】解方程得或，
∵三角形兩邊長分別為3和6，
∴該三角形的第三邊一定滿足大于，小于，
∵第三邊長是方程的解，
∴第三邊長是5，∴該三角形的周長為，故選：B．
6. 已知拋物線與x軸的一個交點為，則代數(shù)式的值為（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】C
【解析】拋物線與x軸的一個交點為，
，故選C．
7. 如圖是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“鴨梨”，已知點A、B、C、D分別是“鴨梨”與坐標軸的交點，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，則圖中的長為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵，
當時，，解得：，，
點坐標為，點坐標為，
當時，，點坐標為，
，
，，
故選C．
8. 如圖所示，某市世紀廣場有一塊長方形綠地長，寬，在綠地中開辟三條道路后剩余綠地的面積為，則圖中的值為（ ）m．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），即圖中的值為，故選：A．
9. 如圖所示是拋物線的部分圖象，其頂點坐標為，且與x軸的一個交點在點和之間，則下列結(jié)論：①；②；③最大函數(shù)值為；④一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】D
【解析】∵拋物線頂點坐標為，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵圖象與x軸的一個交點在和之間，
∴圖象與x軸另一交點在和之間，
∴時，，
即，故①正確，符合題意；
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴時，，故②正確，符合題意；
∵拋物線頂點坐標，
∴最大函數(shù)值為；故③正確，符合題意；
∵的最大函數(shù)值為，
∴有兩個相等的實數(shù)根，故④正確，符合題意．
故選：D．
10. 如圖1，在中，，點D從點B出發(fā)，沿運動，速度為．點P在折線上，且于點D．點D運動時，點P與點A重合．的面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，E是函數(shù)圖象的最高點．當取最大值時，的長為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，點D運動時，點P，D的位置如圖1所示．
此時，在中，，，，
∴，
∴．
由函數(shù)圖象得，
∴，
∴．
由題圖2點E的位置可知，點P在上時，有最大值．
當時，點P在邊上，如圖2，
此時，，
∴．
∵，
又∵，
∴當時，的值最大，
此時．
故選：B．
二、填空題（每題3分，共15分）
11. 一元二次方程的一次項系數(shù)是______．
【答案】-2
【解析】一元二次方程的一次項系數(shù)是-2
故答案為：-2．
12. 一拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，頂點為，則此拋物線的解析式為______________．
【答案】
【解析】設(shè)此拋物線解析式為，
∵拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，
∴，
∴此拋物線解析式為，
故答案為：．
13. 下列表格是小江對方程的一個解進行近似計算所列的表格，若小江要進一步精確估算，則他要選擇的范圍是______________之間．
【答案】
【解析】由表格得：當時，，
當時，，
的近似根是，即他要選擇的范圍是之間．
故答案為：．
14. 對于實數(shù)，定義運算“※”為，例如，則關(guān)于的方程的解是______________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標系中，，，形狀相同的拋物線的頂點在直線上，其對稱軸與軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線的頂點坐標為______________．
【答案】
【解析】設(shè)直線的關(guān)系式為，根據(jù)題意，得
，
解得，
∴直線的關(guān)系式為．
拋物線的橫坐標為21，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為．
故答案為：．
三、解答題（共7小題，共55分）
16. 已知二次函數(shù)y＝ax2，當x＝3時，y＝3．
（1）求當x＝﹣2時，y的值．
（2）寫出它的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向．
解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2，當x＝3時，y＝3，∴，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為，
∴當時，；
（2）∵二次函數(shù)的解析式為，，
∴二次函數(shù)的開口向上，頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸．
17. 王明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程的過程如下：
解：移項，得． 第一步
二次項系數(shù)化為1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
（1）王明的解題過程從第______步開始出現(xiàn)了錯誤；
（2）請利用配方法正確地解方程．
解：（1）解題過程從第二步開始出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是系數(shù)化為1時，等式右邊的-3未除以2，
故答案為：二；
（2）．
移項，得：，
二次項系數(shù)化為1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
18. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）試說明不論實數(shù)取何值，方程總有實數(shù)根；
（2）如果當時，、為方程的兩個根，求的值．
解：（1）由題意得，
，
∴不論實數(shù)取何值，方程總有實數(shù)根；
（2）當時，原方程為，
∵、為方程的兩個根，
∴，，
∴，
∴
．
19. 中，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）填空： ________， ________（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）是否存在t的值，使得的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）由題意得：，，
，
故答案為：，；
（2）由題意得：，
解得：，，
當時，，符合題意，
當時，，不符合題意，舍去，
當時，使得的面積為．
20. 綜合與實踐．
某數(shù)學興趣小組對數(shù)學學習中有關(guān)汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進汽車研發(fā)中心考察，剎車距離．
【知識背景】“道路千萬條，安全第一條．”剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全的重要保障，由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱為剎車距離．
【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時，對它的剎車性能進行測試．興趣小組成員記錄其中一組數(shù)據(jù)如下：
發(fā)現(xiàn)：①開始剎車后行駛的距離y（單位：m）與剎車后行駛的時間t（單位：s）之間成二次函數(shù)關(guān)系；
②汽車剎車后行駛的距離隨剎車后行駛的時間t的增大而增大，當剎車后行駛的距離最遠時，汽車完全停止．
【問題解決】請根據(jù)以上信息，完成下列問題：
（1）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若汽車剎車后，行駛了多長距離；
（3）若汽車司機發(fā)現(xiàn)正前方處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的情況下是否會撞到拋錨的車？試說明理由．
解：（1）設(shè)，
將代入得：
，
解得：，
∴y關(guān)于t的函數(shù)解析式為；
（2）當時，，
答：汽車剎車后，行駛了；
（3）不會．理由如下：
∵，
∴當時，汽車停下，行駛了，
∵，
∴該車在不變道的情況下不會撞到拋錨的車．
21. 我們不妨約定：在平面直角坐標系中，橫，縱坐標相等點稱為“樸實點”，橫，縱坐標互為相反數(shù)的點稱為“沉毅點”，把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個“樸實點”和一個“沉毅點”的函數(shù)稱為“樸實沉毅函數(shù)”．
例如：函數(shù)是一個“樸實沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實點”和“沉毅點”
由題意得：，即，
解得：，
∴“樸實點”為，
當時，即，
解得：，
∴“沉毅點”為：；
（1）函數(shù)是一個“樸實沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實點”和“沉毅點”；
（2）已知二次函數(shù)圖象可以由二次函數(shù)平移得到，二次函數(shù)的頂點是一個“樸實點”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個“沉毅點”，求該二次函數(shù)的解析式．
解：（1）∵函數(shù)是一個“樸實沉毅函數(shù)”，
由題意得：，即，
解得：，
∴“樸實點”為，
當時，即，
解得：，
∴“沉毅點”為：；
（2）∵二次函數(shù)圖象可以由二次函數(shù)平移得到，
∴，
∴，
∴頂點坐標為，
∵頂點是一個“樸實點”，
∴，
∴，
∵該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個“沉毅點”，
∴，代入，得：，
解得：或，
∴或．
22. 如圖，點C為二次函數(shù)的頂點，直線與該二次函數(shù)圖象交于、B兩點(點B在y軸上)，與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點D．
（1）求m的值及點C坐標；
（2）連接，求
（3）在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，請求出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵直線過點，
∴，
∴，
∴，
∴，
二次函數(shù)解析式為，
頂點坐標為；
（2）由（1）知，直線的解析式為，，二次函數(shù)對稱軸為，
∵直線與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點D，
∴設(shè)點，
∴，
∴，
∴的面積
（3）存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．
∵頂點坐標為，
∴對稱軸為，
過點A作于點E，
在中，．
（1）當時，設(shè)，
在中，
∴
解之得
∴；
（2）當時，根據(jù)等腰三角形三線合一得：，
∴，
∴；
（3）當時，，
∴，．
綜上所述：點的坐標為或或或．
0
0.5
1
1.5
2
10
5.625
1.75
剎車后行駛的時間
0
1
2
3
剎車后行駛的距離y
0
27
48
63

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