1．下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝﹣x﹣4C．y=2x2-D．v＝3s2+s﹣2
2．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣6），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A．（﹣3，6） B．（﹣3，﹣6）C．（6，﹣3） D．（6，3）
3．把一元二次方程x（x+1）=3x+2化為一般形式，正確的是（ ）
A．x2-2x-2=0 B．x2-2x+2=0 C．x2-3x-1=0 D．x2+4x+3=0
4．當(dāng)a＜0，c＞0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象大致是（ ）
A． B．C．D．
5．三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣7x+10＝0的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．11B．14C．11或8D．11和14
6．已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2024的值為（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
7．如圖，是一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的“鴨梨”，已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“鴨梨”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，AB是半圓的直徑，拋物線的解析式為y＝2x2﹣2，則圖中CD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．4

第7題圖 第8題圖
8．如圖所示，某市世紀(jì)廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)方形綠地長(zhǎng)18m，寬15m，在綠地中開辟三條道路后，剩余綠地的面積為224m2，則圖中x的值為（ ）m．
A．1B．2C．3D．4
9．如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③y＝ax2+bx+c（a≠0）最大函數(shù)值為y=n；④一元二次方程ax2+bx+c＝n有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

第9題圖 第10題圖
10．如圖1，在△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．點(diǎn)P在折線BAC上，且PD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合．△PBD的面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，E是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)．當(dāng)S（cm2）取最大值時(shí)，PD的長(zhǎng)為（ ）cm．
A．B．C．D．
二、填空題（每題3分，共15分）
11．一元二次方程3x2﹣2x﹣5＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是 ．
12．一拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=-12x2+4x-3相同，頂點(diǎn)為（﹣3，2），則此拋物線的解析式為 ．
13．下列表格是小江對(duì)方程x2﹣9.25x+10＝0的一個(gè)解進(jìn)行近似計(jì)算所列的表格，若小江要進(jìn)一步精確估算，則他要選擇的范圍是 之間．
14．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“※”為a※b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，則關(guān)于x的方程
x※（x+1）＝5的解是 ．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，0），B（0，1），形狀相同的拋物線Cn（n=1，2，3，4，…）的頂點(diǎn)在直線AB上，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為2，3，5，8，13，…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線C6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
三、解答題（共7小題，共55分）
16．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3．
（1）求當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y的值；
（2）寫出它的圖象的開口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
17．（5分）王明在學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的過程如下：
解：移項(xiàng)，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步
因此（x﹣2）2＝1．第四步
由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步
解得x1＝3，x2＝1．第六步
（1）王明的解題過程從第 步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)利用配方法正確地解方程2x2﹣8x+3＝0．
18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m（m+2）＝0．
（1）試說明不論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）如果當(dāng)m＝2時(shí)，α、β為方程的兩個(gè)根，求α2+7α+β的值．
19．（7分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)．與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t s．（t＞0）
（1）填空：BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積為4cm2？若存在請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20．（9分）綜合與實(shí)踐．
某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有關(guān)汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進(jìn)汽車研發(fā)中心考查，剎車距離．
【知識(shí)背景】“道路千萬條，安全第一條．”剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全的重要保障，由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱為剎車距離．
【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設(shè)計(jì)了一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時(shí)，對(duì)它的剎車性能進(jìn)行測(cè)試．興趣小組成員記錄其中一組數(shù)據(jù)如下：
發(fā)現(xiàn)：①開始剎車后行駛的距離y（單位：m）與剎車后行駛的時(shí)間t（單位：s）之間成二次函數(shù)關(guān)系；
②汽車剎車后行駛的距離隨剎車后行駛的時(shí)間t的增大而增大，當(dāng)剎車后行駛的距離最遠(yuǎn)時(shí)，汽車完全停止．
【問題解決】請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問題：
（1）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）求汽車剎車4s后行駛了多長(zhǎng)距離；
（3）若汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方80m處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的情況下是否會(huì)撞到拋錨的車？試說明理由．
21．（9分）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，橫，縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“樸實(shí)點(diǎn)”，橫，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“沉毅點(diǎn)”，把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個(gè)“樸實(shí)點(diǎn)”和一個(gè)“沉毅點(diǎn)”的函數(shù)稱為“樸實(shí)沉毅函數(shù)”．
例如：函數(shù)y＝2x+4是一個(gè)“樸實(shí)沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實(shí)點(diǎn)”和“沉毅點(diǎn)”
由題意得：y＝x，即2x+4＝x，
解得：x＝-4，
∴“樸實(shí)點(diǎn)”為（-4，-4），
當(dāng)x+y＝0時(shí)，即2x+4+x＝0，
解得：x=-43，
∴“沉毅點(diǎn)”為：(-43，43)；
（1）函數(shù)y＝3x﹣2是一個(gè)“樸實(shí)沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實(shí)點(diǎn)”和“沉毅點(diǎn)”；
（2）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k圖象可以由二次函數(shù)y＝﹣x2平移得到，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)是一個(gè)“樸實(shí)點(diǎn)”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個(gè)“沉毅點(diǎn)”P（3，m），求該二次函數(shù)的解析式．
22．（11分）如圖，點(diǎn)C為二次函數(shù)y＝x2+2x+1的頂點(diǎn)，直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)圖象交于A（﹣3，4）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在y軸上），與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求m的值及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）連接AC、BC，求S△ABC；
（3）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
九年級(jí)數(shù)學(xué)答案
一、選擇題（每題3分，共30分）
1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B
二、填空題（每題3分，共15分）
11. -2；12. ； 13.1～1.5（其他形式都可）；
14.x1＝1，x2＝﹣4； 15.(21,8)
三、解答題（共55分）
16.（6分）
解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
32a＝3，
解得:a=13，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=13x2；----------------------3分
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y=13×(-2)2=43；
（2）∵y=13x2，a=13＞0，
∴圖象開口向上；對(duì)稱軸是直線x＝0或y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）．
-------------------------6分
（5分）
（1）二；----------------------1分
（2）2x2﹣8x+3＝0．
解：移項(xiàng)，得：2x2﹣8x＝﹣3，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2﹣4x=-32，
配方，得：x2﹣4x+4=-32+4，
因此（x﹣2）2=52，
由此得：x﹣2=102或x﹣2=-102，
解得：x1＝4+102，x2=4-102．---------------------5分
18.（8分）
解：（1）∵x2+2（m+1）x+m（m+2）＝0，
∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0，
∴不論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；------------------4分
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，其方程為x2+6x+8＝0，------------------5分
∵α、β為方程的兩個(gè)根，
∴α2+6α＝﹣8，α+β＝-6，
∴α2+7α+β＝（α2+6α）+（α+β）＝﹣8+(-6)＝﹣14．--------8分
(方法不唯一，只要合理即可）
19.（7分）
解：（1）2t，（5﹣t）；---------------2分
（2）存在---------------3分
理由如下：
由題意得：12×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不合題意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2，此時(shí)t的值為1．
-----------------------------7分
20.（9分）
解：（1）設(shè)y＝at2+bt+c，
將（0，0），（1，27），（2，48）代入，
得c=0a+b+c=274a+2b+c=48，
解得a=-3b=30c=0，
∴y關(guān)于t的函數(shù)解析式為：y＝﹣3t2+30t；----------------3分
（2）當(dāng)t＝4時(shí)，y＝﹣3×42+30×4＝72，
答：汽車剎車4s后，行駛了72m；----------------6分
（3）不會(huì)．----------------7分
理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75，
∴當(dāng)t＝5時(shí)，汽車停下，行駛了75m，
∵75＜80，
∴該車在不變道的情況下不會(huì)撞到拋錨的車．----------------9分
21.（9分）
解：（1）由題意得：y＝x，即y＝3x﹣2＝x，
解得：x＝1，
∴“樸實(shí)點(diǎn)”為（1，1），----------------2分
當(dāng)x+y＝0時(shí)，即3x﹣2+x＝0，
解得：x=12，
∴“沉毅點(diǎn)”為：(12，-12)；----------------4分
（2）二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k圖象可以由二次函數(shù)y＝﹣x2平移得到，
∴a＝﹣1 ----------------5分
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣h）2+k．
∵拋物線的頂點(diǎn)就是一個(gè)“樸實(shí)點(diǎn)”，即h＝k，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣h）2+h，
∵還經(jīng)過一個(gè)“沉毅點(diǎn)”P（3，m），
即m＝﹣3，----------------7分
將點(diǎn)（3，﹣3）代入拋物線表達(dá)式得：則﹣3＝﹣（3﹣h）2+h，
解得：h＝1或6，
即拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）2+1或y＝﹣（x﹣6）2+6；
----------------9分
22.（11分）
解：（1）∵直線y＝﹣x+m過點(diǎn)A（﹣3，4），
∴4＝3+m，
∴m＝1，----------------1分
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0）；----------------2分
（2）由（1）知，直線AB的解析式為y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵直線y＝﹣x+1與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，
∴設(shè)點(diǎn)D（﹣1，y），
∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2，
∴D（﹣1，2），----------------4分
∴△ABC的面積＝S△ACD+S△BCD
=12×2×2+12×2×1=3；----------------6分
（3）存在----------------7分
理由如下;
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0），
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=22+42=25．
①當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)（-1，m）
在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2
∴22+（4﹣m）2＝m2
解得：m=52
∴Q1(-1，52)；
②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一得：CE＝QE＝4，
∴CQ＝2CE＝8，
∴Q2（﹣1，8）；
③當(dāng)CA＝CQ時(shí)，CQ=AC=25，
∴Q3(-1，25)，Q4(-1，-25)．----------------10分
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1，52)或（﹣1，8）或(-1，25)或
(-1，-25)．----------------11分(方法不唯一，只要合理即可）.
x
0
0.5
1
1.5
2
x2﹣9.25x+10
10
5.625
1.75
﹣1.625
﹣4.5
剎車后行駛的時(shí)間t（單位：s）
0
1
2
3
剎車后行駛的距離y（單位：m）
0
27
48
63

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