一、選擇題（每小題4分，共40分）
1. 秦國(guó)法家代表人物商鞅發(fā)明了一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，如圖，升體是長(zhǎng)方體，手柄近似是圓柱體，它的俯視圖為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】從上面看到的是，
故選：B.
2. 方程的解為（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，
∴或，解得：，，
故選：D．
3. 若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】A
【解析】把點(diǎn)代入中得：，解得，
故選：A．
4. 已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中，
∴，即，解得：，
∴另一個(gè)根是，
故選：．
5. 在實(shí)驗(yàn)課上，為判斷地板瓷磚是否為菱形，甲、乙二人分別用儀器進(jìn)行了測(cè)量，甲測(cè)量出兩組對(duì)角分別相等，然后小亮測(cè)量出______，最后得到結(jié)論：地板瓷磚是菱形．則橫線處應(yīng)填（ ）
A. 兩組對(duì)邊分別相等B. 一組鄰邊相等
C. 兩條對(duì)角線相等D. 一組鄰角相等
【答案】B
【解析】∵甲測(cè)量出兩組對(duì)角分別相等，∴此地板瓷磚是平行四邊形，
A、兩組對(duì)邊分別相等，也只能說明四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、一組鄰角相等，不能說明平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
6. 甲口袋中有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，乙口袋中有1個(gè)紅球、1個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除顏色外其他都相同．從兩個(gè)口袋中各隨機(jī)取一個(gè)球，取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結(jié)果，取出的兩個(gè)球都是紅的有1種情況，
∴取出的兩個(gè)球都是紅的概率為：．
故選A．
7. 如題圖．在中．，若 則 的值為（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
8. 如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊，，測(cè)得邊離地面的高度，則樹高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故選A．
9. 如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，若，，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】如圖所示，過點(diǎn)B作于O，
由正方形的性質(zhì)可得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，∴，
∴，∴，
故選：D．
10. 如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)、交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，，成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∵，，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，故③正確；
如圖3所示，
∵，即P是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，故④正確；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，
同理可證明，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤錯(cuò)誤；
∴正確的有4個(gè)，
故選：C．
二、填空題
11. 若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則m的值為________．
【答案】2
【解析】根據(jù)題意得，
解得
故答案為：2.
12. 兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們的面積之比為________．
【答案】
【解析】∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，
∴它們的面積之比為，
故答案為：．
13. 若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為__________．
【答案】2
【解析】∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：．
故答案為：2．
14. 漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖中，四個(gè)直角三角形均全等，兩條直角邊之比均為1：2．若向該圖形內(nèi)隨機(jī)投擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為 __．
【答案】
【解析】設(shè)兩直角邊分別為x，2x，則斜邊即大正方形的邊長(zhǎng)為x，小正方形邊長(zhǎng)為x，
所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2，
則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．
故答案為：．
15. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，AC⊥AB，過點(diǎn)C作CD∥AB，交反比例函數(shù)于點(diǎn)D，且CD＝2AB，則k的值為____________．
【答案】
【解析】如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，過點(diǎn)D作DT⊥OH于T，過點(diǎn)C作CG⊥DT于G．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵AC⊥AB，
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠BAO＝∠ACH，
∴△BOA∽△AHC，
∴＝，
∴AH＝2CH，
設(shè)CH＝m，AH＝2m，
則OH=OA+AH=1+2m，
∴C（1+2m，m），
∵CD∥AB，CG∥OA，
∴∠DCG＝∠BAO，
∵∠DGC＝∠BOA＝90°，
∴△BOA∽△DGC，
∴＝＝＝，
∴CG＝2，DG＝4，
∵∠CGT=∠DTH=∠CHT=90゜，
∴四邊形CGTH是矩形，
∴GT=CH=m，TH=CG=2，
∴DT=GT+DG =m+4，OT=OH-TH =1+2m-2=2m-1，
∴D(2m﹣1，m+4)，
∵D，C在反比例函數(shù)y＝上，
∴（1+2m）?m＝（2m﹣1）?（m+4），
解得m＝，
∴，
∴k＝，
故答案為：．
三、解答題
16. 解方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
17. 為了測(cè)量水平地面上一棵不可攀的樹的高度，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子放在與樹底端B相距8米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE＝2米，觀察者目高CD＝1.5米，則樹AB的高度．
【答案】AB＝6米．
【解析】根據(jù)題意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
則△ABE∽△CDE，
則，即，
解得：AB＝6米．
答：樹AB的高度為6米．
18. 如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，．
（1）求證：；
（2）若，，求線段的長(zhǎng)．
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴或（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
19. 我校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容．為學(xué)生開設(shè)五類社團(tuán)活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）音樂社團(tuán)、體育社團(tuán)、美術(shù)社團(tuán)、文學(xué)社團(tuán)、電腦編程社團(tuán)．
（1）小明從中任選一類社團(tuán)活動(dòng)，選到“體育社團(tuán)”的概率是 ；
（2）現(xiàn)從“文學(xué)社團(tuán)”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．
解：（1）根據(jù)題意：小明從中任選一類社團(tuán)活動(dòng)，選到“體育社團(tuán)”的概率是；
（2）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果數(shù)為2種，
所以恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．
20. 已知的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）若，求的值及的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．
解：（1）∵的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
∴，
∴，
∴原方程為，
∴，
解得或，
∴，
∴的周長(zhǎng)為；
（2）∵四邊形是菱形，
∴，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，即，
∴，
∴原方程為，
∴，
解得，
∴，即菱形的邊長(zhǎng)為．
21. 如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，若墻長(zhǎng)為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)35m，圍成長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)四周不能有空隙．
（1）要圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為150m2，則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？
（2）圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到200m2？請(qǐng)說明理由．
解：（1）設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為x m，根據(jù)題意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
當(dāng)x1＝10時(shí)，35﹣2x＝15＜18，
當(dāng)x2＝7.5時(shí)35﹣2x＝20＞18，（舍去），
則養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是10m，長(zhǎng)為15m．
（2）設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm，根據(jù)題意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)根，
所以圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到200m2．
22. 如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)_______時(shí)，是以為頂角等腰三角形；
（2）當(dāng)_______時(shí)，是直角三角形；
（3）面積為，求的值．
解：（1）∵在中，，，，
∴．
由題意，，
∴，
∵是以為頂角的等腰三角形，
∴，
∴，解得，
故答案為：；
（2）當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，，
解得：．
綜上所述或時(shí)，是直角三角形；
故答案為：或；
（3）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
23. 閱讀材料:各類方程的解法
求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解，求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)，各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化”，把未知轉(zhuǎn)化為已知．
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．
例如：解方程
解：移項(xiàng)，得
兩邊平方，得
即
兩邊再平方，得
即
解這個(gè)方程得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，原方程左邊，右邊
不是原方程的根；
當(dāng)時(shí)，原方程左邊，右邊
原方程的根
原方程的根是．
（1）請(qǐng)仿照上述解法，求出方程的解；
（2）如圖已知矩形草坪的長(zhǎng)，寬，小華把一根長(zhǎng)為的繩子的一端固定在點(diǎn)，從草坪邊沿走到點(diǎn)處，把長(zhǎng)繩段拉直并固定在點(diǎn)，然后沿草坪邊沿走到點(diǎn)處，把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)，則 ．

解：（1）移項(xiàng)，得
方程兩邊平方，得，即，
解方程，得或
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解
所以原方程的解是．
（2）設(shè)AP=x米，則PD=(16-x) m，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6 m，
∵BP+CP=20，
BP=，
即
∴
兩邊平方得：
整理得：
兩邊平方得：
整理得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解
所以原方程的解是
故答案為：．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?4；
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出的解集；
（3）將直線：沿y向上平移后的直線與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C，如果的面積為30，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．
解：（1）∵直線：經(jīng)過點(diǎn)A，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵直線：與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，
∴，
∴不等式的解集為或；
（3）如圖，設(shè)平移后的直線與軸交于點(diǎn)，連接AD，BD，
，
的面積與的面積相等，
的面積為30，
，即，
，
，
，
設(shè)平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入，可得，
解得，
∴平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為．
25. （1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，寫出變化后線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長(zhǎng)．
解：（1）∵將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．故答案為：
（2）．
同（1）可得，，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
則，，，
由（1）同理可證，，
∴，，
∴，，
∴．

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